Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  edgnbusgreu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem edgnbusgreu 39605
 Description: For each edge incident to a vertex there is exactly one neighbor of the vertex also incident to this edge in a simple graph. (Contributed by AV, 28-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
edgnbusgreu.v Vtx
edgnbusgreu.e Edg
edgnbusgreu.n NeighbVtx
Assertion
Ref Expression
edgnbusgreu USGraph
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem edgnbusgreu
StepHypRef Expression
1 simpl 464 . . . . . 6 USGraph USGraph
21adantr 472 . . . . 5 USGraph USGraph
3 edgnbusgreu.e . . . . . . . 8 Edg
43eleq2i 2541 . . . . . . 7 Edg
54biimpi 199 . . . . . 6 Edg
65ad2antrl 742 . . . . 5 USGraph Edg
7 simprr 774 . . . . 5 USGraph
8 usgredg2vtxeu 39462 . . . . 5 USGraph Edg Vtx
92, 6, 7, 8syl3anc 1292 . . . 4 USGraph Vtx
10 df-reu 2763 . . . . 5 Vtx Vtx
11 prcom 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1211eqeq2i 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14
1413eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
1514biimpcd 232 . . . . . . . . . . . 12
1615ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11 USGraph
1716adantld 474 . . . . . . . . . 10 USGraph Vtx
1817imp 436 . . . . . . . . 9 USGraph Vtx
19 simprr 774 . . . . . . . . 9 USGraph Vtx
2018, 19jca 541 . . . . . . . 8 USGraph Vtx
21 simpl 464 . . . . . . . . . 10
22 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 Vtx Vtx
233, 22usgrpredgav 39442 . . . . . . . . . . 11 USGraph Vtx Vtx
2423simpld 466 . . . . . . . . . 10 USGraph Vtx
252, 21, 24syl2an 485 . . . . . . . . 9 USGraph Vtx
26 simprr 774 . . . . . . . . 9 USGraph
2725, 26jca 541 . . . . . . . 8 USGraph Vtx
2820, 27impbida 850 . . . . . . 7 USGraph Vtx
2928eubidv 2339 . . . . . 6 USGraph Vtx
3029biimpd 212 . . . . 5 USGraph Vtx
3110, 30syl5bi 225 . . . 4 USGraph Vtx
329, 31mpd 15 . . 3 USGraph
33 edgnbusgreu.n . . . . . . . 8 NeighbVtx
3433eleq2i 2541 . . . . . . 7 NeighbVtx
353nbusgreledg 39585 . . . . . . 7 USGraph NeighbVtx
3634, 35syl5bb 265 . . . . . 6 USGraph
3736anbi1d 719 . . . . 5 USGraph
3837ad2antrr 740 . . . 4 USGraph
3938eubidv 2339 . . 3 USGraph
4032, 39mpbird 240 . 2 USGraph
41 df-reu 2763 . 2
4240, 41sylibr 217 1 USGraph
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  weu 2319  wreu 2758  cpr 3961  cfv 5589  (class class class)co 6308  Vtxcvtx 39251  Edgcedga 39371   USGraph cusgr 39397   NeighbVtx cnbgr 39561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-upgr 39328  df-umgr 39329  df-edga 39372  df-uspgr 39398  df-usgr 39399  df-nbgr 39565 This theorem is referenced by:  nbusgrf1o0  39607
 Copyright terms: Public domain W3C validator