Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecovdi Unicode version

Theorem ecovdi 6976
 Description: Lemma used to transfer a distributive law via an equivalence relation. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by David Abernethy, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ecovdi.1
ecovdi.2
ecovdi.3
ecovdi.4
ecovdi.5
ecovdi.6
ecovdi.7
ecovdi.8
ecovdi.9
ecovdi.10
ecovdi.11
Assertion
Ref Expression
ecovdi
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,   ,,,   , ,,,,,   , ,,,,,   ,,,,,,   , ,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem ecovdi
StepHypRef Expression
1 ecovdi.1 . 2
2 oveq1 6047 . . 3
3 oveq1 6047 . . . 4
4 oveq1 6047 . . . 4
53, 4oveq12d 6058 . . 3
62, 5eqeq12d 2418 . 2
7 oveq1 6047 . . . 4
87oveq2d 6056 . . 3
9 oveq2 6048 . . . 4
109oveq1d 6055 . . 3
118, 10eqeq12d 2418 . 2
12 oveq2 6048 . . . 4
1312oveq2d 6056 . . 3
14 oveq2 6048 . . . 4
1514oveq2d 6056 . . 3
1613, 15eqeq12d 2418 . 2
17 ecovdi.10 . . . 4
18 ecovdi.11 . . . 4
19 opeq12 3946 . . . . 5
20 eceq1 6900 . . . . 5
2119, 20syl 16 . . . 4
2217, 18, 21mp2an 654 . . 3
23 ecovdi.2 . . . . . . 7
2423oveq2d 6056 . . . . . 6
2524adantl 453 . . . . 5
26 ecovdi.7 . . . . . 6
27 ecovdi.3 . . . . . 6
2826, 27sylan2 461 . . . . 5
2925, 28eqtrd 2436 . . . 4
30293impb 1149 . . 3
31 ecovdi.4 . . . . . 6
32 ecovdi.5 . . . . . 6
3331, 32oveqan12d 6059 . . . . 5
34 ecovdi.8 . . . . . 6
35 ecovdi.9 . . . . . 6
36 ecovdi.6 . . . . . 6
3734, 35, 36syl2an 464 . . . . 5
3833, 37eqtrd 2436 . . . 4
39383impdi 1239 . . 3
4022, 30, 393eqtr4a 2462 . 2
411, 6, 11, 16, 403ecoptocl 6955 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cop 3777   cxp 4835  (class class class)co 6040  cec 6862  cqs 6863 This theorem is referenced by:  distrsr  8922  axdistr  8989 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-ec 6866  df-qs 6870
 Copyright terms: Public domain W3C validator