Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecovass Unicode version

Theorem ecovass 6975
 Description: Lemma used to transfer an associative law via an equivalence relation. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by David Abernethy, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ecovass.1
ecovass.2
ecovass.3
ecovass.4
ecovass.5
ecovass.6
ecovass.7
ecovass.8
ecovass.9
Assertion
Ref Expression
ecovass
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   , ,,,,,   , ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem ecovass
StepHypRef Expression
1 ecovass.1 . 2
2 oveq1 6047 . . . 4
32oveq1d 6055 . . 3
4 oveq1 6047 . . 3
53, 4eqeq12d 2418 . 2
6 oveq2 6048 . . . 4
76oveq1d 6055 . . 3
8 oveq1 6047 . . . 4
98oveq2d 6056 . . 3
107, 9eqeq12d 2418 . 2
11 oveq2 6048 . . 3
12 oveq2 6048 . . . 4
1312oveq2d 6056 . . 3
1411, 13eqeq12d 2418 . 2
15 ecovass.8 . . . 4
16 ecovass.9 . . . 4
17 opeq12 3946 . . . . 5
18 eceq1 6900 . . . . 5
1917, 18syl 16 . . . 4
2015, 16, 19mp2an 654 . . 3
21 ecovass.2 . . . . . . 7
2221oveq1d 6055 . . . . . 6
2322adantr 452 . . . . 5
24 ecovass.6 . . . . . 6
25 ecovass.4 . . . . . 6
2624, 25sylan 458 . . . . 5
2723, 26eqtrd 2436 . . . 4
28273impa 1148 . . 3
29 ecovass.3 . . . . . . 7
3029oveq2d 6056 . . . . . 6
3130adantl 453 . . . . 5
32 ecovass.7 . . . . . 6
33 ecovass.5 . . . . . 6
3432, 33sylan2 461 . . . . 5
3531, 34eqtrd 2436 . . . 4
36353impb 1149 . . 3
3720, 28, 363eqtr4a 2462 . 2
381, 5, 10, 14, 373ecoptocl 6955 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cop 3777   cxp 4835  (class class class)co 6040  cec 6862  cqs 6863 This theorem is referenced by:  addasssr  8919  mulasssr  8921  axaddass  8987  axmulass  8988 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fv 5421  df-ov 6043  df-ec 6866  df-qs 6870
 Copyright terms: Public domain W3C validator