Theorem ecoprcom 5378

Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprcom.1	|- C = ((S X. S)/.R)
ecoprcom.2	|- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
ecoprcom.3	|- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
ecoprcom.4	|- D = H
ecoprcom.5	|- G = J

Assertion

Ref	Expression
ecoprcom	|- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,F,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w   z,C,w

Proof of Theorem ecoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprcom.1	. 2 |- C = ((S X. S)/.R)
2		opreq1 4889	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = (AF[<.z, w>.]R))
3		opreq2 4890	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = ([<.z, w>.]RFA))
4	2, 3	eqeq12d 1899	. 2 |- ([<.x, y>.]R = A -> (([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) <-> (AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA)))
5		opreq2 4890	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> (AF[<.z, w>.]R) = (AFB))
6		opreq1 4889	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> ([<.z, w>.]RFA) = (BFA))
7	5, 6	eqeq12d 1899	. 2 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA) <-> (AFB) = (BFA)))
8		ecoprcom.4	. . . 4 |- D = H
9		ecoprcom.5	. . . 4 |- G = J
10		opeq12 3160	. . . . 5 |- ((D = H /\ G = J) -> <.D, G>. = <.H, J>.)
11		eceq2 5336	. . . . 5 |- (<.D, G>. = <.H, J>. -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
12	10, 11	syl 12	. . . 4 |- ((D = H /\ G = J) -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
13	8, 9, 12	mp2an 761	. . 3 |- [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R
14		ecoprcom.2	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
15		ecoprcom.3	. . . 4 |- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
16	15	ancoms 484	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
17	13, 14, 16	3eqtr4a 1954	. 2 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R))
18	1, 4, 7, 17	2ecoptocl 5363	1 |- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984  (class class class)co 4884  [cec 5316  /.cqs 5317

This theorem is referenced by:  addcompq 6214  mulcompq 6216  addcomsr 6348  mulcomsr 6350  axaddcom 6428  axmulcom 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-ec 5320  df-qs 5323

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