Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecgrtg Structured version   Unicode version

Theorem ecgrtg 24059
 Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ecgrtg.1
ecgrtg.2 EEG
ecgrtg.3 EEG
ecgrtg.a
ecgrtg.b
ecgrtg.c
ecgrtg.d
Assertion
Ref Expression
ecgrtg Cgr

Proof of Theorem ecgrtg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ecgrtg.a . . . 4
2 ecgrtg.1 . . . . . 6
3 eengbas 24057 . . . . . 6 EEG
42, 3syl 16 . . . . 5 EEG
5 ecgrtg.2 . . . . 5 EEG
64, 5syl6eqr 2526 . . . 4
71, 6eleqtrrd 2558 . . 3
8 ecgrtg.b . . . 4
98, 6eleqtrrd 2558 . . 3
10 ecgrtg.c . . . 4
1110, 6eleqtrrd 2558 . . 3
12 ecgrtg.d . . . 4
1312, 6eleqtrrd 2558 . . 3
14 brcgr 23976 . . 3 Cgr
157, 9, 11, 13, 14syl22anc 1229 . 2 Cgr
16 dsid 14662 . . . . . . 7 Slot
17 fvex 5876 . . . . . . . 8 EEG
1817a1i 11 . . . . . . 7 EEG
19 eengstr 24056 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ;
202, 19syl 16 . . . . . . . . 9 EEG Struct ;
21 isstruct 14503 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ; ; ; EEG EEG ;
2221simp2bi 1012 . . . . . . . . 9 EEG Struct ; EEG
2320, 22syl 16 . . . . . . . 8 EEG
24 structcnvcnv 14504 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ; EEG EEG
2520, 24syl 16 . . . . . . . . 9 EEG EEG
2625funeqd 5609 . . . . . . . 8 EEG EEG
2723, 26mpbird 232 . . . . . . 7 EEG
28 opex 4711 . . . . . . . . . 10
2928prid2 4136 . . . . . . . . 9
30 elun1 3671 . . . . . . . . 9 Itv LineG
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8 Itv LineG
32 eengv 24055 . . . . . . . . 9 EEG Itv LineG
332, 32syl 16 . . . . . . . 8 EEG Itv LineG
3431, 33syl5eleqr 2562 . . . . . . 7 EEG
35 fvex 5876 . . . . . . . . 9
3635, 35mpt2ex 6861 . . . . . . . 8
3736a1i 11 . . . . . . 7
3816, 18, 27, 34, 37strfv2d 14525 . . . . . 6 EEG
39 ecgrtg.3 . . . . . 6 EEG
4038, 39syl6reqr 2527 . . . . 5
41 simplrl 759 . . . . . . . . 9
4241fveq1d 5868 . . . . . . . 8
43 simplrr 760 . . . . . . . . 9
4443fveq1d 5868 . . . . . . . 8
4542, 44oveq12d 6303 . . . . . . 7
4645oveq1d 6300 . . . . . 6
4746sumeq2dv 13491 . . . . 5
48 sumex 13476 . . . . . 6
4948a1i 11 . . . . 5
5040, 47, 7, 9, 49ovmpt2d 6415 . . . 4
51 eqcom 2476 . . . . 5
5251imbi2i 312 . . . 4
5350, 52mpbi 208 . . 3
54 simplrl 759 . . . . . . . . 9
5554fveq1d 5868 . . . . . . . 8
56 simplrr 760 . . . . . . . . 9
5756fveq1d 5868 . . . . . . . 8
5855, 57oveq12d 6303 . . . . . . 7
5958oveq1d 6300 . . . . . 6
6059sumeq2dv 13491 . . . . 5
61 sumex 13476 . . . . . 6
6261a1i 11 . . . . 5
6340, 60, 11, 13, 62ovmpt2d 6415 . . . 4
64 eqcom 2476 . . . . 5
6564imbi2i 312 . . . 4
6663, 65mpbi 208 . . 3
6753, 66eqeq12d 2489 . 2
6815, 67bitrd 253 1 Cgr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   wss 3476  c0 3785  csn 4027  cpr 4029  cop 4033   class class class wbr 4447  ccnv 4998   cdm 4999   wfun 5582  cfv 5588  (class class class)co 6285   cmpt2 6287  c1 9494   cle 9630   cmin 9806  cn 10537  c2 10586  c7 10591  ;cdc 10977  cfz 11673  cexp 12135  csu 13474   Struct cstr 14489  cnx 14490  cbs 14493  cds 14567  Itvcitv 23657  LineGclng 23658  cee 23964   cbtwn 23965  Cgrccgr 23966  EEGceeng 24053 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-ds 14580  df-itv 23659  df-lng 23660  df-ee 23967  df-cgr 23969  df-eeng 24054 This theorem is referenced by:  eengtrkg  24061
 Copyright terms: Public domain W3C validator