Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ecgrtg Structured version   Unicode version

Theorem ecgrtg 24859
 Description: The congruence relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as Cgr. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ecgrtg.1
ecgrtg.2 EEG
ecgrtg.3 EEG
ecgrtg.a
ecgrtg.b
ecgrtg.c
ecgrtg.d
Assertion
Ref Expression
ecgrtg Cgr

Proof of Theorem ecgrtg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ecgrtg.a . . . 4
2 ecgrtg.1 . . . . . 6
3 eengbas 24857 . . . . . 6 EEG
42, 3syl 17 . . . . 5 EEG
5 ecgrtg.2 . . . . 5 EEG
64, 5syl6eqr 2488 . . . 4
71, 6eleqtrrd 2520 . . 3
8 ecgrtg.b . . . 4
98, 6eleqtrrd 2520 . . 3
10 ecgrtg.c . . . 4
1110, 6eleqtrrd 2520 . . 3
12 ecgrtg.d . . . 4
1312, 6eleqtrrd 2520 . . 3
14 brcgr 24776 . . 3 Cgr
157, 9, 11, 13, 14syl22anc 1265 . 2 Cgr
16 dsid 15260 . . . . . . 7 Slot
17 fvex 5891 . . . . . . . 8 EEG
1817a1i 11 . . . . . . 7 EEG
19 eengstr 24856 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ;
202, 19syl 17 . . . . . . . . 9 EEG Struct ;
21 isstruct 15094 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ; ; ; EEG EEG ;
2221simp2bi 1021 . . . . . . . . 9 EEG Struct ; EEG
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 EEG
24 structcnvcnv 15095 . . . . . . . . . 10 EEG Struct ; EEG EEG
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9 EEG EEG
2625funeqd 5622 . . . . . . . 8 EEG EEG
2723, 26mpbird 235 . . . . . . 7 EEG
28 opex 4686 . . . . . . . . . 10
2928prid2 4112 . . . . . . . . 9
30 elun1 3639 . . . . . . . . 9 Itv LineG
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8 Itv LineG
32 eengv 24855 . . . . . . . . 9 EEG Itv LineG
332, 32syl 17 . . . . . . . 8 EEG Itv LineG
3431, 33syl5eleqr 2524 . . . . . . 7 EEG
35 fvex 5891 . . . . . . . . 9
3635, 35mpt2ex 6884 . . . . . . . 8
3736a1i 11 . . . . . . 7
3816, 18, 27, 34, 37strfv2d 15118 . . . . . 6 EEG
39 ecgrtg.3 . . . . . 6 EEG
4038, 39syl6reqr 2489 . . . . 5
41 simplrl 768 . . . . . . . . 9
4241fveq1d 5883 . . . . . . . 8
43 simplrr 769 . . . . . . . . 9
4443fveq1d 5883 . . . . . . . 8
4542, 44oveq12d 6323 . . . . . . 7
4645oveq1d 6320 . . . . . 6
4746sumeq2dv 13747 . . . . 5
48 sumex 13732 . . . . . 6
4948a1i 11 . . . . 5
5040, 47, 7, 9, 49ovmpt2d 6438 . . . 4
5150eqcomd 2437 . . 3
52 simplrl 768 . . . . . . . . 9
5352fveq1d 5883 . . . . . . . 8
54 simplrr 769 . . . . . . . . 9
5554fveq1d 5883 . . . . . . . 8
5653, 55oveq12d 6323 . . . . . . 7
5756oveq1d 6320 . . . . . 6
5857sumeq2dv 13747 . . . . 5
59 sumex 13732 . . . . . 6
6059a1i 11 . . . . 5
6140, 58, 11, 13, 60ovmpt2d 6438 . . . 4
6261eqcomd 2437 . . 3
6351, 62eqeq12d 2451 . 2
6415, 63bitrd 256 1 Cgr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3o 981   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  crab 2786  cvv 3087   cdif 3439   cun 3440   wss 3442  c0 3767  csn 4002  cpr 4004  cop 4008   class class class wbr 4426  ccnv 4853   cdm 4854   wfun 5595  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1 9539   cle 9675   cmin 9859  cn 10609  c2 10659  c7 10664  ;cdc 11051  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730   Struct cstr 15080  cnx 15081  cbs 15084  cds 15161  Itvcitv 24347  LineGclng 24348  cee 24764   cbtwn 24765  Cgrccgr 24766  EEGceeng 24853 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-ds 15174  df-itv 24349  df-lng 24350  df-ee 24767  df-cgr 24769  df-eeng 24854 This theorem is referenced by:  eengtrkg  24861
 Copyright terms: Public domain W3C validator