Theorem ecelqsdm 5358

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set.

Hypotheses

Ref	Expression
ecelqsdm.1	|- B e. _V
ecelqsdm.2	|- dom R = A

Assertion

Ref	Expression
ecelqsdm	|- ([B]R e. (A/.R) -> B e. A)

Proof of Theorem ecelqsdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsdm.2	. . . 4 |- dom R = A
2	1	0nelqs 5357	. . 3 |- -. (/) e. (A/.R)
3		ecelqsdm.1	. . . . . . 7 |- B e. _V
4	3	ecdmn0 5338	. . . . . 6 |- (B e. dom R <-> [B]R =/= (/))
5	1	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (B e. dom R <-> B e. A)
6	4, 5	bitr3i 192	. . . . 5 |- ([B]R =/= (/) <-> B e. A)
7	6	necon1bbii 2060	. . . 4 |- (-. B e. A <-> [B]R = (/))
8		eleq1 1957	. . . 4 |- ([B]R = (/) -> ([B]R e. (A/.R) <-> (/) e. (A/.R)))
9	7, 8	sylbi 216	. . 3 |- (-. B e. A -> ([B]R e. (A/.R) <-> (/) e. (A/.R)))
10	2, 9	mtbiri 785	. 2 |- (-. B e. A -> -. [B]R e. (A/.R))
11	10	con4i 90	1 |- ([B]R e. (A/.R) -> B e. A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  dom cdm 3986  [cec 5316  /.cqs 5317

This theorem is referenced by:  brecop2 5366  th3qlem1 5373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-ec 5320  df-qs 5323

Copyright terms: Public domain