MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ebtwntg Structured version   Unicode version

Theorem ebtwntg 23400
Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as 
Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ebtwntg.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ebtwntg.2  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
ebtwntg.3  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
ebtwntg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
ebtwntg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
ebtwntg.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
Assertion
Ref Expression
ebtwntg  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )

Proof of Theorem ebtwntg
Dummy variables  x  i  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itvid 23038 . . . . . 6  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
2 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 ebtwntg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 eengstr 23398 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (EEG `  N ) Struct  <.
1 , ; 1 7 >. )
7 isstruct 14305 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
87simp2bi 1004 . . . . . . . 8  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
96, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
10 structcnvcnv 14306 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
116, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
1211funeqd 5550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG
`  N )  \  { (/) } ) ) )
139, 12mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' (EEG
`  N ) )
14 opex 4667 . . . . . . . . 9  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  _V
1514prid1 4094 . . . . . . . 8  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
16 elun2 3635 . . . . . . . 8  |-  ( <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  { <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >. }  ->  <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
18 eengv 23397 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
194, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
2017, 19syl5eleqr 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  (EEG `  N
) )
21 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
2221, 21mpt2ex 6763 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } )  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  e.  _V )
241, 3, 13, 20, 23strfv2d 14327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  =  (Itv `  (EEG `  N ) ) )
25 ebtwntg.3 . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
2624, 25syl6reqr 2514 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } ) )
27 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  x  =  X )
28 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
y  =  Y )
2927, 28opeq12d 4178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
3029breq2d 4415 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( z  Btwn  <. x ,  y >.  <->  z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
3130rabbidv 3070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. }  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. } )
32 ebtwntg.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
33 ebtwntg.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
3432, 33syl6eleq 2552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
35 eengbas 23399 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
364, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3734, 36eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( EE
`  N ) )
38 ebtwntg.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
3938, 33syl6eleq 2552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4039, 36eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( EE
`  N ) )
4121rabex 4554 . . . . 5  |-  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V )
4326, 31, 37, 40, 42ovmpt2d 6331 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } )
4443eleq2d 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X I Y )  <-> 
Z  e.  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } ) )
45 ebtwntg.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
4645, 33syl6eleq 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4746, 36eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( EE
`  N ) )
48 breq1 4406 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
4948elrab 3224 . . . 4  |-  ( Z  e.  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <-> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5049baib 896 . . 3  |-  ( Z  e.  ( EE `  N )  ->  ( Z  e.  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <-> 
Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5147, 50syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  {
z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5244, 51bitr2d 254 1  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   Fun wfun 5523   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   1c1 9397    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   2c2 10485   7c7 10490  ;cdc 10869   ...cfz 11557   ^cexp 11985   sum_csu 13284   Struct cstr 14291   ndxcnx 14292   Basecbs 14295   distcds 14369  Itvcitv 23032  LineGclng 23033   EEcee 23306    Btwn cbtwn 23307  EEGceeng 23395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-seq 11927  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-ds 14382  df-itv 23034  df-lng 23035  df-eeng 23396
This theorem is referenced by:  elntg  23402  eengtrkg  23403  eengtrkge  23404
  Copyright terms: Public domain W3C validator