MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ebtwntg Structured version   Unicode version

Theorem ebtwntg 23958
Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as 
Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ebtwntg.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ebtwntg.2  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
ebtwntg.3  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
ebtwntg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
ebtwntg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
ebtwntg.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
Assertion
Ref Expression
ebtwntg  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )

Proof of Theorem ebtwntg
Dummy variables  x  i  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itvid 23563 . . . . . 6  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
2 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 ebtwntg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 eengstr 23956 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (EEG `  N ) Struct  <.
1 , ; 1 7 >. )
7 isstruct 14493 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
87simp2bi 1012 . . . . . . . 8  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
96, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
10 structcnvcnv 14494 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
116, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
1211funeqd 5607 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG
`  N )  \  { (/) } ) ) )
139, 12mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' (EEG
`  N ) )
14 opex 4711 . . . . . . . . 9  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  _V
1514prid1 4135 . . . . . . . 8  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
16 elun2 3672 . . . . . . . 8  |-  ( <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  { <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >. }  ->  <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
18 eengv 23955 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
194, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
2017, 19syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  (EEG `  N
) )
21 fvex 5874 . . . . . . . 8  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
2221, 21mpt2ex 6857 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } )  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  e.  _V )
241, 3, 13, 20, 23strfv2d 14515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  =  (Itv `  (EEG `  N ) ) )
25 ebtwntg.3 . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
2624, 25syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } ) )
27 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  x  =  X )
28 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
y  =  Y )
2927, 28opeq12d 4221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
3029breq2d 4459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( z  Btwn  <. x ,  y >.  <->  z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
3130rabbidv 3105 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. }  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. } )
32 ebtwntg.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
33 ebtwntg.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
3432, 33syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
35 eengbas 23957 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
364, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3734, 36eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( EE
`  N ) )
38 ebtwntg.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
3938, 33syl6eleq 2565 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4039, 36eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( EE
`  N ) )
4121rabex 4598 . . . . 5  |-  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V )
4326, 31, 37, 40, 42ovmpt2d 6412 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } )
4443eleq2d 2537 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X I Y )  <-> 
Z  e.  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } ) )
45 ebtwntg.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
4645, 33syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4746, 36eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( EE
`  N ) )
48 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
4948elrab 3261 . . . 4  |-  ( Z  e.  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <-> 
( Z  e.  ( EE `  N )  /\  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5049baib 901 . . 3  |-  ( Z  e.  ( EE `  N )  ->  ( Z  e.  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <-> 
Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5147, 50syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  {
z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5244, 51bitr2d 254 1  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   1c1 9489    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   7c7 10586  ;cdc 10972   ...cfz 11668   ^cexp 12129   sum_csu 13464   Struct cstr 14479   ndxcnx 14480   Basecbs 14483   distcds 14557  Itvcitv 23557  LineGclng 23558   EEcee 23864    Btwn cbtwn 23865  EEGceeng 23953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12071  df-sum 13465  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-ds 14570  df-itv 23559  df-lng 23560  df-eeng 23954
This theorem is referenced by:  elntg  23960  eengtrkg  23961  eengtrkge  23962
  Copyright terms: Public domain W3C validator