MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ebtwntg Structured version   Unicode version

Theorem ebtwntg 24689
Description: The betweenness relation used in the Tarski structure for the Euclidean geometry is the same as 
Btwn. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ebtwntg.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ebtwntg.2  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
ebtwntg.3  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
ebtwntg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
ebtwntg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
ebtwntg.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
Assertion
Ref Expression
ebtwntg  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )

Proof of Theorem ebtwntg
Dummy variables  x  i  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itvid 24216 . . . . . 6  |- Itv  = Slot  (Itv ` 
ndx )
2 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  (EEG `  N )  e.  _V
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  e.  _V )
4 ebtwntg.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 eengstr 24687 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >. )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (EEG `  N ) Struct  <.
1 , ; 1 7 >. )
7 isstruct 14849 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  <->  ( (
1  e.  NN  /\ ; 1 7  e.  NN  /\  1  <_ ; 1
7 )  /\  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } )  /\  dom  (EEG `  N )  C_  ( 1 ...; 1 7 ) ) )
87simp2bi 1013 . . . . . . . 8  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/) } ) )
96, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
10 structcnvcnv 14850 . . . . . . . . 9  |-  ( (EEG
`  N ) Struct  <. 1 , ; 1 7 >.  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
116, 10syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' `' (EEG `  N )  =  ( (EEG `  N )  \  { (/)
} ) )
1211funeqd 5589 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Fun  `' `' (EEG `  N )  <->  Fun  ( (EEG
`  N )  \  { (/) } ) ) )
139, 12mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' (EEG
`  N ) )
14 opex 4654 . . . . . . . . 9  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  _V
1514prid1 4079 . . . . . . . 8  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  { <. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( EE `  N
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <.
x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( ( EE `  N ) 
\  { x }
)  |->  { z  e.  ( EE `  N
)  |  ( z 
Btwn  <. x ,  y
>.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. }
16 elun2 3610 . . . . . . . 8  |-  ( <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  { <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N
) ,  y  e.  ( ( EE `  N )  \  {
x } )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  ( z  Btwn  <. x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y
>.  \/  y  Btwn  <. x ,  z >. ) } ) >. }  ->  <.
(Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  <. (Itv ` 
ndx ) ,  ( x  e.  ( EE
`  N ) ,  y  e.  ( EE
`  N )  |->  { z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } ) >.  e.  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } )
18 eengv 24686 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  ( EE `  N ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
194, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (EEG `  N )  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  ( EE `  N
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( x `
 i )  -  ( y `  i
) ) ^ 2 ) ) >. }  u.  {
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>. ,  <. (LineG `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( ( EE
`  N )  \  { x } ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  ( z  Btwn  <.
x ,  y >.  \/  x  Btwn  <. z ,  y >.  \/  y  Btwn  <. x ,  z
>. ) } ) >. } ) )
2017, 19syl5eleqr 2497 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. (Itv `  ndx ) ,  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )
>.  e.  (EEG `  N
) )
21 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( EE
`  N )  e. 
_V
2221, 21mpt2ex 6860 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } )  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  e.  _V )
241, 3, 13, 20, 23strfv2d 14873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N ) 
|->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. } )  =  (Itv `  (EEG `  N ) ) )
25 ebtwntg.3 . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  (EEG `  N
) )
2624, 25syl6reqr 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  =  ( x  e.  ( EE `  N ) ,  y  e.  ( EE `  N )  |->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. x ,  y
>. } ) )
27 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  x  =  X )
28 simprr 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
y  =  Y )
2927, 28opeq12d 4166 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  <. x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
3029breq2d 4406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  -> 
( z  Btwn  <. x ,  y >.  <->  z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
3130rabbidv 3050 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  X  /\  y  =  Y ) )  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. x ,  y >. }  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. } )
32 ebtwntg.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
33 ebtwntg.2 . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  (EEG `  N ) )
3432, 33syl6eleq 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
35 eengbas 24688 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( EE `  N )  =  ( Base `  (EEG `  N ) ) )
364, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( EE `  N
)  =  ( Base `  (EEG `  N )
) )
3734, 36eleqtrrd 2493 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( EE
`  N ) )
38 ebtwntg.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
3938, 33syl6eleq 2500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4039, 36eleqtrrd 2493 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( EE
`  N ) )
4121rabex 4544 . . . . 5  |-  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( EE `  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  e.  _V )
4326, 31, 37, 40, 42ovmpt2d 6410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X I Y )  =  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } )
4443eleq2d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  ( X I Y )  <-> 
Z  e.  { z  e.  ( EE `  N )  |  z 
Btwn  <. X ,  Y >. } ) )
45 ebtwntg.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
4645, 33syl6eleq 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( Base `  (EEG `  N )
) )
4746, 36eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( EE
`  N ) )
48 breq1 4397 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
4948elrab3 3207 . . 3  |-  ( Z  e.  ( EE `  N )  ->  ( Z  e.  { z  e.  ( EE `  N
)  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <-> 
Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5047, 49syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  {
z  e.  ( EE
`  N )  |  z  Btwn  <. X ,  Y >. }  <->  Z  Btwn  <. X ,  Y >. ) )
5144, 50bitr2d 254 1  |-  ( ph  ->  ( Z  Btwn  <. X ,  Y >. 
<->  Z  e.  ( X I Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 973    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   class class class wbr 4394   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   Fun wfun 5562   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   1c1 9522    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   2c2 10625   7c7 10630  ;cdc 11018   ...cfz 11724   ^cexp 12208   sum_csu 13655   Struct cstr 14835   ndxcnx 14836   Basecbs 14839   distcds 14916  Itvcitv 24210  LineGclng 24211   EEcee 24595    Btwn cbtwn 24596  EEGceeng 24684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-sum 13656  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-ds 14929  df-itv 24212  df-lng 24213  df-eeng 24685
This theorem is referenced by:  elntg  24691  eengtrkg  24692  eengtrkge  24693
  Copyright terms: Public domain W3C validator