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Theorem e2ebindALT 37300
Description: Absorption of an existential quantifier of a double existential quantifier of non-distinct variables. The proof is derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in e2ebindVD 37283. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
e2ebindALT  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)

Proof of Theorem e2ebindALT
StepHypRef Expression
1 axc11n 2108 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
2 nfe1 1894 . . . 4  |-  F/ y E. y ph
3219.9 1947 . . 3  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
4 excom 1903 . . . 4  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
5 nfa1 1956 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  y  =  x
6 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  y  =  x )
7 biid 239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  <->  ph )
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
98drex1 2128 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
106, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
115, 10alrimi 1932 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
12 exbi 1710 . . . . 5  |-  ( A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
14 bitr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph )  /\  ( E. y E. x ph 
<->  E. x E. y ph ) )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )
1514ex 435 . . . . 5  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. x ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1615impcom 431 . . . 4  |-  ( ( ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )  /\  ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph ) )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )
174, 13, 16sylancr 667 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )
18 bitr3 36838 . . . 4  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y ph )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
) )
1918impcom 431 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )  /\  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph ) )
203, 17, 19sylancr 667 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
211, 20syl 17 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187   A.wal 1435   E.wex 1657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662
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