Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadss Structured version   Unicode version

 Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6
2 simpllr 760 . . . . . . . . . 10
3 simplrr 762 . . . . . . . . . 10
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11
54dyadval 22126 . . . . . . . . . 10
62, 3, 5syl2anc 661 . . . . . . . . 9
76fveq2d 5876 . . . . . . . 8
8 df-ov 6299 . . . . . . . 8
97, 8syl6eqr 2516 . . . . . . 7
102zred 10990 . . . . . . . . 9
11 2nn 10714 . . . . . . . . . 10
12 nnexpcl 12181 . . . . . . . . . 10
1311, 3, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9
1410, 13nndivred 10605 . . . . . . . 8
15 peano2re 9770 . . . . . . . . . 10
1610, 15syl 16 . . . . . . . . 9
1716, 13nndivred 10605 . . . . . . . 8
18 iccssre 11631 . . . . . . . 8
1914, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7
209, 19eqsstrd 3533 . . . . . 6
21 ovolss 22021 . . . . . 6
221, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5
23 simplll 759 . . . . . 6
24 simplrl 761 . . . . . 6
254dyadovol 22127 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5
274dyadovol 22127 . . . . . 6
282, 3, 27syl2anc 661 . . . . 5
2922, 26, 283brtr3d 4485 . . . 4
30 nnexpcl 12181 . . . . . 6
3111, 24, 30sylancr 663 . . . . 5
32 nnre 10563 . . . . . . 7
33 nngt0 10585 . . . . . . 7
3432, 33jca 532 . . . . . 6
35 nnre 10563 . . . . . . 7
36 nngt0 10585 . . . . . . 7
3735, 36jca 532 . . . . . 6
38 lerec 10447 . . . . . 6
3934, 37, 38syl2an 477 . . . . 5
4013, 31, 39syl2anc 661 . . . 4
4129, 40mpbird 232 . . 3
42 2re 10626 . . . . 5
4342a1i 11 . . . 4
443nn0zd 10988 . . . 4
4524nn0zd 10988 . . . 4
46 1lt2 10723 . . . . 5
4746a1i 11 . . . 4
4843, 44, 45, 47leexp2d 12342 . . 3
4941, 48mpbird 232 . 2
5049ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wss 3471  cop 4038   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cr 9508  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   clt 9645   cle 9646   cdiv 10227  cn 10556  c2 10606  cn0 10816  cz 10885  cicc 11557  cexp 12168  covol 21999 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cmp 20013  df-ovol 22001 This theorem is referenced by:  dyadmaxlem  22131
 Copyright terms: Public domain W3C validator