MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadovol Structured version   Unicode version

Theorem dyadovol 22128
Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadovol  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, A, y    x, F, y

Proof of Theorem dyadovol
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
21dyadval 22127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A F B )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) >. )
32fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [,] `  ( A F B ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) >. )
)
4 df-ov 6299 . . . 4  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) >. )
53, 4syl6eqr 2516 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [,] `  ( A F B ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) ) )
65fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( vol* `  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) ) ) )
7 zre 10889 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
8 2nn 10714 . . . . 5  |-  2  e.  NN
9 nnexpcl 12182 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  NN )
108, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( 2 ^ B )  e.  NN )
11 nndivre 10592 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2 ^ B
)  e.  NN )  ->  ( A  / 
( 2 ^ B
) )  e.  RR )
127, 10, 11syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR )
13 peano2re 9770 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
15 nndivre 10592 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ B
)  e.  NN )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) )  e.  RR )
1614, 10, 15syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR )
177adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
1817lep1d 10497 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( A  + 
1 ) )
1917, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
2010adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  NN )
2120nnred 10571 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  RR )
2220nngt0d 10600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ B ) )
23 lediv1 10428 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ B )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ B ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ B
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2417, 19, 21, 22, 23syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2518, 24mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) )
26 ovolicc 22060 . . 3  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( A  / 
( 2 ^ B
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )  =  ( ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2712, 16, 25, 26syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( ( A  / 
( 2 ^ B
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )  =  ( ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2819recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  1 )  e.  CC )
2917recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3021recnd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  CC )
3120nnne0d 10601 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  =/=  0 )
3228, 29, 30, 31divsubdird 10380 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  -  A )  /  (
2 ^ B ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) )  -  ( A  / 
( 2 ^ B
) ) ) )
33 ax-1cn 9567 . . . . 5  |-  1  e.  CC
34 pncan2 9846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  A
)  =  1 )
3529, 33, 34sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 )  -  A
)  =  1 )
3635oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  -  A )  /  (
2 ^ B ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
3732, 36eqtr3d 2500 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ B
) ) )
386, 27, 373eqtrd 2502 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   <.cop 4038   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   [,]cicc 11557   ^cexp 12169   vol*covol 22000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002
This theorem is referenced by:  dyadss  22129
  Copyright terms: Public domain W3C validator