MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadovol Structured version   Unicode version

Theorem dyadovol 21085
Description: Volume of a dyadic rational interval. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadovol  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, A, y    x, F, y

Proof of Theorem dyadovol
StepHypRef Expression
1 dyadmbl.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
21dyadval 21084 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A F B )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) >. )
32fveq2d 5707 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [,] `  ( A F B ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) >. )
)
4 df-ov 6106 . . . 4  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) ) >. )
53, 4syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( [,] `  ( A F B ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) ) )
65fveq2d 5707 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( vol* `  ( ( A  /  ( 2 ^ B ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) ) ) ) )
7 zre 10662 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
8 2nn 10491 . . . . 5  |-  2  e.  NN
9 nnexpcl 11890 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  NN )
108, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( 2 ^ B )  e.  NN )
11 nndivre 10369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2 ^ B
)  e.  NN )  ->  ( A  / 
( 2 ^ B
) )  e.  RR )
127, 10, 11syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR )
13 peano2re 9554 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
15 nndivre 10369 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ B
)  e.  NN )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) )  e.  RR )
1614, 10, 15syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR )
177adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
1817lep1d 10276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  <_  ( A  + 
1 ) )
1917, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
2010adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  NN )
2120nnred 10349 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  RR )
2220nngt0d 10377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ B ) )
23 lediv1 10206 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ B )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ B ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ B
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2417, 19, 21, 22, 23syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2518, 24mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) )
26 ovolicc 21018 . . 3  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ B ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) )  ->  ( vol* `  ( ( A  / 
( 2 ^ B
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )  =  ( ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2712, 16, 25, 26syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( ( A  / 
( 2 ^ B
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) ) ) )  =  ( ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ B ) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) ) )
2819recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  +  1 )  e.  CC )
2917recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
3021recnd 9424 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  e.  CC )
3120nnne0d 10378 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ B
)  =/=  0 )
3228, 29, 30, 31divsubdird 10158 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  -  A )  /  (
2 ^ B ) )  =  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ B ) )  -  ( A  / 
( 2 ^ B
) ) ) )
33 ax-1cn 9352 . . . . 5  |-  1  e.  CC
34 pncan2 9629 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  A
)  =  1 )
3529, 33, 34sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( A  + 
1 )  -  A
)  =  1 )
3635oveq1d 6118 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  -  A )  /  (
2 ^ B ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
3732, 36eqtr3d 2477 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ B
) )  -  ( A  /  ( 2 ^ B ) ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ B
) ) )
386, 27, 373eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( vol* `  ( [,] `  ( A F B ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3895   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    e. cmpt2 6105   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    < clt 9430    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   NNcn 10334   2c2 10383   NN0cn0 10591   ZZcz 10658   [,]cicc 11315   ^cexp 11877   vol*covol 20958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cmp 19002  df-ovol 20960
This theorem is referenced by:  dyadss  21086
  Copyright terms: Public domain W3C validator