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Theorem dyadmaxlem 21769
Description: Lemma for dyadmax 21770. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
dyadmax.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dyadmax.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
dyadmax.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
dyadmax.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dyadmax.6  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
dyadmax.7  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
54dyadval 21764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
62, 3, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
76fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
8 df-ov 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
97, 8syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
124dyadss 21766 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
141, 13mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  C )
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
1611nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
173nn0red 10853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1816, 17eqleltd 9728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  =  C  <-> 
( D  <_  C  /\  -.  D  <  C
) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  =  C )
2019oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  ( B F C ) )
214dyadval 21764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2210, 3, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2320, 22eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2423fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
25 df-ov 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
271, 9, 263sstr3d 3546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  C_  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
282zred 10966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
29 2nn 10693 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
30 nnexpcl 12147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
3129, 3, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  NN )
3228, 31nndivred 10584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3332rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
34 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3635, 31nndivred 10584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3736rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
3828lep1d 10477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3931nnred 10551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  RR )
4031nngt0d 10579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2 ^ C ) )
41 lediv1 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4338, 42mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
44 ubicc2 11637 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
4533, 37, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4627, 45sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4710zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4847, 31nndivred 10584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
49 peano2re 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5150, 31nndivred 10584 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
52 elicc2 11589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
5348, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
5446, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5554simp3d 1010 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
56 lediv1 10407 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( B  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 )  <->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  ( B  +  1 )  <-> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5855, 57mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  <_  ( B  +  1 ) )
59 1red 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6028, 47, 59leadd1d 10146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 ) ) )
6158, 60mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
62 lbicc2 11636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6333, 37, 43, 62syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
6427, 63sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
65 elicc2 11589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
6648, 51, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
6764, 66mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6867simp2d 1009 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )
69 lediv1 10407 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ C
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( B  <_  A 
<->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
7047, 28, 39, 40, 69syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
7168, 70mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
7228, 47letri3d 9726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
7361, 71, 72mpbir2and 920 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
7419eqcomd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
7573, 74jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   [,]cicc 11532   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cmp 19681  df-ovol 21639
This theorem is referenced by:  dyadmax  21770
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