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Theorem dyadmaxlem 21075
Description: Lemma for dyadmax 21076. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
dyadmax.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dyadmax.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
dyadmax.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
dyadmax.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dyadmax.6  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
dyadmax.7  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
54dyadval 21070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
62, 3, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
76fveq2d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
8 df-ov 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
97, 8syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
124dyadss 21072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
141, 13mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  C )
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
1611nn0red 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
173nn0red 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1816, 17eqleltd 9516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  =  C  <-> 
( D  <_  C  /\  -.  D  <  C
) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  =  C )
2019oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  ( B F C ) )
214dyadval 21070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2210, 3, 21syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2320, 22eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2423fveq2d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
25 df-ov 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
2624, 25syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
271, 9, 263sstr3d 3396 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  C_  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
282zred 10745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
29 2nn 10477 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
30 nnexpcl 11876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
3129, 3, 30sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  NN )
3228, 31nndivred 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3332rexrd 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
34 peano2re 9540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3635, 31nndivred 10368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3736rexrd 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
3828lep1d 10262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3931nnred 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  RR )
4031nngt0d 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2 ^ C ) )
41 lediv1 10192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4338, 42mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
44 ubicc2 11400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
4533, 37, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4627, 45sseldd 3355 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4710zred 10745 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4847, 31nndivred 10368 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
49 peano2re 9540 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5150, 31nndivred 10368 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
52 elicc2 11358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
5348, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
5446, 53mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5554simp3d 1002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
56 lediv1 10192 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( B  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 )  <->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  ( B  +  1 )  <-> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5855, 57mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  <_  ( B  +  1 ) )
59 1red 9399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6028, 47, 59leadd1d 9931 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 ) ) )
6158, 60mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
62 lbicc2 11399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6333, 37, 43, 62syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
6427, 63sseldd 3355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
65 elicc2 11358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
6648, 51, 65syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
6764, 66mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6867simp2d 1001 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )
69 lediv1 10192 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ C
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( B  <_  A 
<->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
7047, 28, 39, 40, 69syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
7168, 70mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
7228, 47letri3d 9514 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
7361, 71, 72mpbir2and 913 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
7419eqcomd 2446 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
7573, 74jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3326   <.cop 3881   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283   RR*cxr 9415    < clt 9416    <_ cle 9417    / cdiv 9991   NNcn 10320   2c2 10369   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   [,]cicc 11301   ^cexp 11863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-rest 14359  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cmp 18988  df-ovol 20946
This theorem is referenced by:  dyadmax  21076
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