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Theorem dyadmax 21053
Description: Any nonempty set of dyadic rational intervals has a maximal element. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadmax  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Distinct variable groups:    x, y    z, w, x, y, A   
w, F, x, y, z

Proof of Theorem dyadmax
Dummy variables  c 
d  a  b  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11776 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  We  ( ZZ>= `  0 )
)
3 nn0ex 10577 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
43rabex 4438 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V )
6 ssrab2 3432 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  NN0
7 nn0uz 10887 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
86, 7sseqtri 3383 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
11 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
1211dyadf 21046 . . . . . . . . . . 11  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
13 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 ) )
14 ovelrn 6234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) ) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) )
16 rexcom 2877 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. n  e.  NN0  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1715, 16sylbb 197 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1817rgen 2776 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )
19 ssralv 3411 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  ( A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) ) )
2018, 19mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
21 r19.2z 3764 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2210, 20, 21syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
23 rexcom 2877 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2422, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
25 rabn0 3652 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2624, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) )
27 wereu 4711 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V  /\  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) ) )  ->  E! c  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
282, 5, 9, 26, 27syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
29 reurex 2932 . . 3  |-  ( E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. c  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
3028, 29syl 16 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
31 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( n  =  c  ->  (
a F n )  =  ( a F c ) )
3231eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  c  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  z  =  ( a F c ) ) )
33322rexbidv 2753 . . . . 5  |-  ( n  =  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
3433elrab 3112 . . . 4  |-  ( c  e.  { n  e. 
NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  <->  ( c  e. 
NN0  /\  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
35 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  w  =  ( a F n ) ) )
36 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a F n )  =  ( b F n ) )
3736eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
w  =  ( a F n )  <->  w  =  ( b F n ) ) )
3835, 37cbvrex2v 2951 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n ) )
39 oveq2 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  d  ->  (
b F n )  =  ( b F d ) )
4039eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  d  ->  (
w  =  ( b F n )  <->  w  =  ( b F d ) ) )
41402rexbidv 2753 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  d  ->  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4238, 41syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  d  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4342ralrab 3116 . . . . . . 7  |-  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
44 r19.23v 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <-> 
( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4544ralbii 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
46 ralcom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4745, 46bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
48 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  A  C_  ran  F )
4948sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ran  F )
50 ovelrn 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) ) )
5112, 13, 50mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
5249, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
53 rexcom 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  <->  E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )
54 r19.29 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. d  e. 
NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
5554expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5653, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5752, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
58 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  a  e.  ZZ )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
60 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
61 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
62 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  -.  d  <  c )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) )
6511, 59, 60, 61, 62, 63, 64dyadmaxlem 21052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a  =  b  /\  c  =  d )
)
66 oveq12 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  =  b  /\  c  =  d )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) )
6867exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
69 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  ( [,] `  w )  =  ( [,] `  (
b F d ) ) )
7069sseq2d 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )
71 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( a F c )  =  w  <->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) )
7270, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
7372imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )  <->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) ) )
7468, 73syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( w  =  ( b F d )  ->  ( -.  d  <  c  -> 
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7574anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7675rexlimdva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7776a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7877impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
7978rexlimdva 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8057, 79syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  -> 
( a F c )  =  w ) ) )
8180ralimdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8247, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )
8483an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) )
85 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  (
a F c ) ) )
8685sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w ) ) )
87 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
z  =  w  <->  ( a F c )  =  w ) )
8886, 87imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8988ralbidv 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
9084, 89syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9190anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9291rexlimdva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9392reximdva 2823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9493ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9543, 94syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9695com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9796expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( c  e.  NN0  /\ 
E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9834, 97syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9998rexlimdv 2835 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
10030, 99mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711   E!wreu 2712   {crab 2714   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   <.cop 3878   class class class wbr 4287    We wwe 4673    X. cxp 4833   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    / cdiv 9985   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   [,]cicc 11295   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cmp 18965  df-ovol 20923
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