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Theorem dyadmax 21204
Description: Any nonempty set of dyadic rational intervals has a maximal element. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadmax  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Distinct variable groups:    x, y    z, w, x, y, A   
w, F, x, y, z

Proof of Theorem dyadmax
Dummy variables  c 
d  a  b  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11894 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  We  ( ZZ>= `  0 )
)
3 nn0ex 10689 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
43rabex 4544 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V )
6 ssrab2 3538 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  NN0
7 nn0uz 10999 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
86, 7sseqtri 3489 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
11 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
1211dyadf 21197 . . . . . . . . . . 11  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
13 ffn 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 ) )
14 ovelrn 6342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) ) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) )
16 rexcom 2981 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. n  e.  NN0  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1715, 16sylbb 197 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1817rgen 2892 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )
19 ssralv 3517 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  ( A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) ) )
2018, 19mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
21 r19.2z 3870 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2210, 20, 21syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
23 rexcom 2981 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2422, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
25 rabn0 3758 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2624, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) )
27 wereu 4817 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V  /\  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) ) )  ->  E! c  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
282, 5, 9, 26, 27syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
29 reurex 3036 . . 3  |-  ( E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. c  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
3028, 29syl 16 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
31 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( n  =  c  ->  (
a F n )  =  ( a F c ) )
3231eqeq2d 2465 . . . . . 6  |-  ( n  =  c  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  z  =  ( a F c ) ) )
33322rexbidv 2872 . . . . 5  |-  ( n  =  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
3433elrab 3217 . . . 4  |-  ( c  e.  { n  e. 
NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  <->  ( c  e. 
NN0  /\  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
35 eqeq1 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  w  =  ( a F n ) ) )
36 oveq1 6200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a F n )  =  ( b F n ) )
3736eqeq2d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
w  =  ( a F n )  <->  w  =  ( b F n ) ) )
3835, 37cbvrex2v 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n ) )
39 oveq2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  d  ->  (
b F n )  =  ( b F d ) )
4039eqeq2d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  d  ->  (
w  =  ( b F n )  <->  w  =  ( b F d ) ) )
41402rexbidv 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  d  ->  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4238, 41syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  d  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4342ralrab 3221 . . . . . . 7  |-  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
44 r19.23v 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <-> 
( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4544ralbii 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
46 ralcom 2980 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4745, 46bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
48 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  A  C_  ran  F )
4948sselda 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ran  F )
50 ovelrn 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) ) )
5112, 13, 50mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
5249, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
53 rexcom 2981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  <->  E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )
54 r19.29 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. d  e. 
NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
5554expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5653, 55sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5752, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
58 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  a  e.  ZZ )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
60 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
61 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
62 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  -.  d  <  c )
64 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) )
6511, 59, 60, 61, 62, 63, 64dyadmaxlem 21203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a  =  b  /\  c  =  d )
)
66 oveq12 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  =  b  /\  c  =  d )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) )
6867exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
69 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  ( [,] `  w )  =  ( [,] `  (
b F d ) ) )
7069sseq2d 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )
71 eqeq2 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( a F c )  =  w  <->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) )
7270, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
7372imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )  <->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) ) )
7468, 73syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( w  =  ( b F d )  ->  ( -.  d  <  c  -> 
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7574anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7675rexlimdva 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7776a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7877impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
7978rexlimdva 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8057, 79syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  -> 
( a F c )  =  w ) ) )
8180ralimdva 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8247, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )
8483an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) )
85 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  (
a F c ) ) )
8685sseq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w ) ) )
87 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
z  =  w  <->  ( a F c )  =  w ) )
8886, 87imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8988ralbidv 2841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
9084, 89syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9190anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9291rexlimdva 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9392reximdva 2927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9493ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9543, 94syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9695com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9796expimpd 603 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( c  e.  NN0  /\ 
E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9834, 97syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9998rexlimdv 2939 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
10030, 99mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   E!wreu 2797   {crab 2799   _Vcvv 3071    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   <.cop 3984   class class class wbr 4393    We wwe 4779    X. cxp 4939   ran crn 4942    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523    / cdiv 10097   2c2 10475   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   [,]cicc 11407   ^cexp 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-cmp 19115  df-ovol 21073
This theorem is referenced by:  dyadmbllem  21205
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