MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmax Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dyadmax 22604
Description: Any nonempty set of dyadic rational intervals has a maximal element. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadmax  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Distinct variable groups:    x, y    z, w, x, y, A   
w, F, x, y, z

Proof of Theorem dyadmax
Dummy variables  c 
d  a  b  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltweuz 12206 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  We  ( ZZ>= `  0 )
)
3 nn0ex 10903 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
43rabex 4567 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V )
6 ssrab2 3525 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  NN0
7 nn0uz 11221 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
86, 7sseqtri 3475 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
11 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
1211dyadf 22597 . . . . . . . . . . 11  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
13 ffn 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 ) )
14 ovelrn 6471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) ) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) )
16 rexcom 2963 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. n  e.  NN0  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1715, 16sylbb 202 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1817rgen 2758 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )
19 ssralv 3504 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  ( A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) ) )
2018, 19mpi 20 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
21 r19.2z 3869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2210, 20, 21syl2anr 485 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
23 rexcom 2963 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2422, 23sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
25 rabn0 3763 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2624, 25sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) )
27 wereu 4848 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V  /\  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) ) )  ->  E! c  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
282, 5, 9, 26, 27syl13anc 1278 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
29 reurex 3020 . . 3  |-  ( E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. c  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
3028, 29syl 17 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
31 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( n  =  c  ->  (
a F n )  =  ( a F c ) )
3231eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( n  =  c  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  z  =  ( a F c ) ) )
33322rexbidv 2919 . . . . 5  |-  ( n  =  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
3433elrab 3207 . . . 4  |-  ( c  e.  { n  e. 
NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  <->  ( c  e. 
NN0  /\  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
35 eqeq1 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  w  =  ( a F n ) ) )
36 oveq1 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a F n )  =  ( b F n ) )
3736eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
w  =  ( a F n )  <->  w  =  ( b F n ) ) )
3835, 37cbvrex2v 3039 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n ) )
39 oveq2 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  d  ->  (
b F n )  =  ( b F d ) )
4039eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  d  ->  (
w  =  ( b F n )  <->  w  =  ( b F d ) ) )
41402rexbidv 2919 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  d  ->  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4238, 41syl5bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  d  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4342ralrab 3211 . . . . . . 7  |-  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
44 r19.23v 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <-> 
( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4544ralbii 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
46 ralcom 2962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4745, 46bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
48 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  A  C_  ran  F )
4948sselda 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ran  F )
50 ovelrn 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) ) )
5112, 13, 50mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
5249, 51sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
53 rexcom 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  <->  E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )
54 r19.29 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. d  e. 
NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
5554expcom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5653, 55sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5752, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
58 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  a  e.  ZZ )
5958ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
60 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
61 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
62 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
63 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  -.  d  <  c )
64 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) )
6511, 59, 60, 61, 62, 63, 64dyadmaxlem 22603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a  =  b  /\  c  =  d )
)
66 oveq12 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  =  b  /\  c  =  d )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) )
6867exp32 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
69 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  ( [,] `  w )  =  ( [,] `  (
b F d ) ) )
7069sseq2d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )
71 eqeq2 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( a F c )  =  w  <->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) )
7270, 71imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
7372imbi2d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )  <->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) ) )
7468, 73syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( w  =  ( b F d )  ->  ( -.  d  <  c  -> 
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7574anassrs 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7675rexlimdva 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7776a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7877impd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
7978rexlimdva 2890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8057, 79syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  -> 
( a F c )  =  w ) ) )
8180ralimdva 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8247, 81syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8382imp 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )
8483an32s 818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) )
85 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  (
a F c ) ) )
8685sseq1d 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w ) ) )
87 eqeq1 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
z  =  w  <->  ( a F c )  =  w ) )
8886, 87imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8988ralbidv 2838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
9084, 89syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9190anassrs 658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9291rexlimdva 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9392reximdva 2873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9493ex 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9543, 94syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9695com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9796expimpd 612 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( c  e.  NN0  /\ 
E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9834, 97syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9998rexlimdv 2888 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
10030, 99mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   E!wreu 2750   {crab 2752   _Vcvv 3056    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   <.cop 3985   class class class wbr 4415    We wwe 4810    X. cxp 4850   ran crn 4853    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    < clt 9700    <_ cle 9701    / cdiv 10296   2c2 10686   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ZZ>=cuz 11187   [,]cicc 11666   ^cexp 12303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464
This theorem is referenced by:  dyadmbllem  22605
  Copyright terms: Public domain W3C validator