MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dyadf 22549
Description: The function  F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadf  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem dyadf
StepHypRef Expression
1 zre 10941 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
21adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
32lep1d 10538 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( x  + 
1 ) )
4 peano2re 9806 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
52, 4syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
6 2nn 10767 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
7 nnexpcl 12285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
86, 7mpan 676 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
98adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
109nnred 10624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  RR )
119nngt0d 10653 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ y ) )
12 lediv1 10470 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ y )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ y ) ) )  ->  ( x  <_  ( x  +  1 )  <->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  <_  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
132, 5, 10, 11, 12syl112anc 1272 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
x  +  1 )  <-> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
143, 13mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) )
15 df-br 4403 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ y ) )  <_  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  <->  <. ( x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
1614, 15sylib 200 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
17 nndivre 10645 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
181, 8, 17syl2an 480 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
191, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
20 nndivre 10645 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
2119, 8, 20syl2an 480 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
22 opelxpi 4866 . . . . 5  |-  ( ( ( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR  /\  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )  ->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2318, 21, 22syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2416, 23elind 3618 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2524rgen2 2813 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e. 
NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
26 dyadmbl.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
2726fmpt2 6860 . 2  |-  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2825, 27mpbi 212 1  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    i^i cin 3403   <.cop 3974   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   -->wf 5578  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-seq 12214  df-exp 12273
This theorem is referenced by:  dyaddisj  22554  dyadmax  22556  dyadmbllem  22557  dyadmbl  22558  opnmbllem  22559  opnmbllem0  31976  mblfinlem2  31978
  Copyright terms: Public domain W3C validator