MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadf Structured version   Unicode version

Theorem dyadf 21827
Description: The function  F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadf  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem dyadf
StepHypRef Expression
1 zre 10869 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
32lep1d 10478 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( x  + 
1 ) )
4 peano2re 9753 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
6 2nn 10694 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
7 nnexpcl 12148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
109nnred 10552 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  RR )
119nngt0d 10580 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ y ) )
12 lediv1 10408 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ y )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ y ) ) )  ->  ( x  <_  ( x  +  1 )  <->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  <_  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
132, 5, 10, 11, 12syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
x  +  1 )  <-> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
143, 13mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) )
15 df-br 4448 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ y ) )  <_  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  <->  <. ( x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
1614, 15sylib 196 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
17 nndivre 10572 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
181, 8, 17syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
191, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
20 nndivre 10572 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
2119, 8, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
22 opelxpi 5031 . . . . 5  |-  ( ( ( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR  /\  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )  ->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2318, 21, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2416, 23elind 3688 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2524rgen2 2889 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e. 
NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
26 dyadmbl.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
2726fmpt2 6852 . 2  |-  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2825, 27mpbi 208 1  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    i^i cin 3475   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5584  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629    <_ cle 9630    / cdiv 10207   NNcn 10537   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ^cexp 12135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-seq 12077  df-exp 12136
This theorem is referenced by:  dyaddisj  21832  dyadmax  21834  dyadmbllem  21835  dyadmbl  21836  opnmbllem  21837  opnmbllem0  29903  mblfinlem2  29905
  Copyright terms: Public domain W3C validator