MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadf Structured version   Unicode version

Theorem dyadf 21071
Description: The function  F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadf  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem dyadf
StepHypRef Expression
1 zre 10650 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
21adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
32lep1d 10264 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( x  + 
1 ) )
4 peano2re 9542 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
52, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
6 2nn 10479 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
7 nnexpcl 11878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
109nnred 10337 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  RR )
119nngt0d 10365 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ y ) )
12 lediv1 10194 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ y )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ y ) ) )  ->  ( x  <_  ( x  +  1 )  <->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  <_  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
132, 5, 10, 11, 12syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
x  +  1 )  <-> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
143, 13mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) )
15 df-br 4293 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ y ) )  <_  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  <->  <. ( x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
1614, 15sylib 196 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
17 nndivre 10357 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
181, 8, 17syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
191, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
20 nndivre 10357 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
2119, 8, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
22 opelxpi 4871 . . . . 5  |-  ( ( ( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR  /\  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )  ->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2318, 21, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2416, 23elind 3540 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2524rgen2 2812 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e. 
NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
26 dyadmbl.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
2726fmpt2 6641 . 2  |-  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2825, 27mpbi 208 1  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715    i^i cin 3327   <.cop 3883   class class class wbr 4292    X. cxp 4838   -->wf 5414  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-exp 11866
This theorem is referenced by:  dyaddisj  21076  dyadmax  21078  dyadmbllem  21079  dyadmbl  21080  opnmbllem  21081  opnmbllem0  28427  mblfinlem2  28429
  Copyright terms: Public domain W3C validator