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Theorem dyaddisjlem 22173
Description: Lemma for dyaddisj 22174. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  ZZ )
2 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  NN0 )
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
43dyadval 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
51, 2, 4syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
65fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
7 df-ov 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
86, 7syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  NN0 )
113dyadval 22170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
129, 10, 11syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
1312fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
14 df-ov 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
1513, 14syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
168, 15ineq12d 3687 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) ) )
17 incom 3677 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
1816, 17syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
1918adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
201zred 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  RR )
2120recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  CC )
22 2nn 10689 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
23 nnexpcl 12164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2422, 2, 23sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2524nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  CC )
26 nnexpcl 12164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2722, 10, 26sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2827nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  CC )
2924nnne0d 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  =/=  0 )
3021, 25, 28, 29div13d 10340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  A ) )
31 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  e.  CC )
32 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  =/=  0 )
342nn0zd 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  ZZ )
3510nn0zd 10963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  ZZ )
3631, 33, 34, 35expsubd 12306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  =  ( ( 2 ^ D )  /  ( 2 ^ C ) ) )
37 2z 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
38 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  <_  D )
39 znn0sub 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4034, 35, 39syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4138, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( D  -  C
)  e.  NN0 )
42 zexpcl 12166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( D  -  C
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4337, 41, 42sylancr 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4436, 43eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( 2 ^ D )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ZZ )
4544, 1zmulcld 10971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  A
)  e.  ZZ )
4630, 45eqeltrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
47 zltp1le 10909 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
489, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D
) ) ) )
499zred 10965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  RR )
5020, 24nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
5127nnred 10546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  RR )
5227nngt0d 10575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
0  <  ( 2 ^ D ) )
53 ltdivmul2 10415 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
55 peano2re 9742 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5649, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  +  1 )  e.  RR )
57 ledivmul2 10417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
5948, 54, 583bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) ) ) )
6049, 27nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6160rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6256, 27nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6362rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6450rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
65 peano2re 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
6620, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
6766, 24nndivred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
6867rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
69 ioodisj 11653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR*  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR* )  /\  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7069ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  ->  (
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )  =  (/) ) )
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7259, 71sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7372imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7419, 73eqtrd 2495 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
75743mix3d 1171 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
7650adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
7767adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
78 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )
7966recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  CC )
8079, 25, 28, 29div13d 10340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( A  + 
1 ) ) )
811peano2zd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  ZZ )
8244, 81zmulcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
8380, 82eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
84 zltp1le 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
859, 83, 84syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
86 ltdivmul2 10415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
8749, 67, 51, 52, 86syl112anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
B  <  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
88 ledivmul2 10417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
8956, 67, 51, 52, 88syl112anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
9085, 87, 893bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9190biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
9291adantrl 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )
93 iccss 11595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  /\  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) )  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  C_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9476, 77, 78, 92, 93syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  C_  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9512fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
96 df-ov 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
9795, 96syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
9897adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )
995fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
100 df-ov 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
10199, 100syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
102101adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
10394, 98, 1023sstr4d 3532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  C_  ( [,] `  ( A F C ) ) )
1041033mix2d 1170 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
105104anassrs 646 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
10616adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) ) )
107 ioodisj 11653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR*  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR* )  /\  (
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR*  /\  (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
108107ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )  /\  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  ->  (
( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) ) )  =  (/) ) )
10964, 68, 61, 63, 108syl22anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  -> 
( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  i^i  (
( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) ) )
110109imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
111106, 110eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
1121113mix3d 1171 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
113112adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) ) )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
11460adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR )
11567adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR )
116105, 113, 114, 115ltlecasei 9681 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
11775, 116, 60, 50ltlecasei 9681 1  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    \/ w3o 970    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   ^cexp 12151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-seq 12093  df-exp 12152
This theorem is referenced by:  dyaddisj  22174
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