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Theorem dyaddisjlem 21055
Description: Lemma for dyaddisj 21056. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  ZZ )
2 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  NN0 )
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
43dyadval 21052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
51, 2, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
65fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
7 df-ov 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
86, 7syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  NN0 )
113dyadval 21052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
1312fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
14 df-ov 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
1513, 14syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
168, 15ineq12d 3548 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) ) )
17 incom 3538 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
1816, 17syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
201zred 10739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  RR )
2120recnd 9404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  CC )
22 2nn 10471 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
23 nnexpcl 11870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2422, 2, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2524nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  CC )
26 nnexpcl 11870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2722, 10, 26sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2827nncnd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  CC )
2924nnne0d 10358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  =/=  0 )
3021, 25, 28, 29div13d 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  A ) )
31 2cnd 10386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  e.  CC )
32 2ne0 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  =/=  0 )
342nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  ZZ )
3510nn0zd 10737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  ZZ )
3631, 33, 34, 35expsubd 12011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  =  ( ( 2 ^ D )  /  ( 2 ^ C ) ) )
37 2z 10670 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
38 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  <_  D )
39 znn0sub 10684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4034, 35, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4138, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( D  -  C
)  e.  NN0 )
42 zexpcl 11872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( D  -  C
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4337, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4436, 43eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( 2 ^ D )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ZZ )
4544, 1zmulcld 10745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  A
)  e.  ZZ )
4630, 45eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
47 zltp1le 10686 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
489, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D
) ) ) )
499zred 10739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  RR )
5020, 24nndivred 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
5127nnred 10329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  RR )
5227nngt0d 10357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
0  <  ( 2 ^ D ) )
53 ltdivmul2 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
5449, 50, 51, 52, 53syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
55 peano2re 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5649, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  +  1 )  e.  RR )
57 ledivmul2 10201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
5856, 50, 51, 52, 57syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
5948, 54, 583bitr4d 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) ) ) )
6049, 27nndivred 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6160rexrd 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6256, 27nndivred 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6362rexrd 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6450rexrd 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
65 peano2re 9534 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
6620, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
6766, 24nndivred 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
6867rexrd 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
69 ioodisj 11407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR*  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR* )  /\  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7069ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  ->  (
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )  =  (/) ) )
7161, 63, 64, 68, 70syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7259, 71sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7372imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7419, 73eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
75 3mix3 1159 . . 3  |-  ( ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/)  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
7674, 75syl 16 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
7750adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
7867adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
79 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )
8066recnd 9404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  CC )
8180, 25, 28, 29div13d 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( A  + 
1 ) ) )
821peano2zd 10742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  ZZ )
8344, 82zmulcld 10745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
8481, 83eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
85 zltp1le 10686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
869, 84, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
87 ltdivmul2 10199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
8849, 67, 51, 52, 87syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
B  <  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
89 ledivmul2 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
9056, 67, 51, 52, 89syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
9186, 88, 903bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9291biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
9392adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )
94 iccss 11355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  /\  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) )  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  C_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9577, 78, 79, 93, 94syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  C_  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9612fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
97 df-ov 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
9896, 97syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
9998adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )
1005fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
101 df-ov 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
102100, 101syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
103102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
10495, 99, 1033sstr4d 3394 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  C_  ( [,] `  ( A F C ) ) )
105 3mix2 1158 . . . . 5  |-  ( ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
106104, 105syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
107106anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
10816adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) ) )
109 ioodisj 11407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR*  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR* )  /\  (
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR*  /\  (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
110109ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )  /\  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  ->  (
( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) ) )  =  (/) ) )
11164, 68, 61, 63, 110syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  -> 
( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  i^i  (
( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) ) )
112111imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
113108, 112eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
114113, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
115114adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) ) )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
11660adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR )
11767adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR )
118107, 115, 116, 117ltlecasei 9474 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
11976, 118, 60, 50ltlecasei 9474 1  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587    / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  dyaddisj  21056
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