Theorem dya2iocuni 28410

Description: Every open set of ( RR X. RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of ( RR X. RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 28407. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	|- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, c, v, A   R, c

Allowed substitution hints:   A( x, n)   R( x, v, u, n)   I( n, c)   J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables m p b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3499	. . . 4 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 28406	. . . . . . 7 |- R Fn ( ran I X. ran I )
6		zex 10790	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
7	6, 6	mpt2ex 6776	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
8	3, 7	eqeltri 2466	. . . . . . . . 9 |- I e. _V
9	8	rnex 6633	. . . . . . . 8 |- ran I e. _V
10	9, 9	xpex 6503	. . . . . . 7 |- ( ran I X. ran I ) e. _V
11		fnex 6040	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn ( ran I X. ran I ) /\ ( ran I X. ran I ) e. _V ) -> R e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 670	. . . . . 6 |- R e. _V
13	12	rnex 6633	. . . . 5 |- ran R e. _V
14	13	elpw2 4529	. . . 4 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R <-> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R )
15	1, 14	mpbir 209	. . 3 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R
16	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R )
17		rex0 3726	. . . . . . . . . . 11 |- -. E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A )
18		rexeq 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A ) ) )
19	17, 18	mtbiri 301	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
20	19	ralrimivw 2797	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
21		rabeq0 3734	. . . . . . . . 9 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) <-> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
22	20, 21	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
23	22	unieqd 4173	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = U. (/) )
24		uni0 4190	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
25	23, 24	syl6eq 2439	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
26		0ss 3741	. . . . . 6 |- (/) C_ A
27	25, 26	syl6eqss 3467	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
28		elequ2 1831	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( z e. b <-> z e. p ) )
29		sseq1 3438	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( b C_ A <-> p C_ A ) )
30	28, 29	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( b = p -> ( ( z e. b /\ b C_ A ) <-> ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
31	30	rexbidv 2893	. . . . . . . . 9 |- ( b = p -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
32	31	elrab 3182	. . . . . . . 8 |- ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
33		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A )
34	33	reximi 2850	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> E. z e. A p C_ A )
35		r19.9rzv 3839	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( p C_ A <-> E. z e. A p C_ A ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A ) )
37	36	adantld 465	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) -> p C_ A ) )
38	32, 37	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> p C_ A ) )
39	38	ralrimiv 2794	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
40		unissb 4194	. . . . . 6 |- ( U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A <-> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
41	39, 40	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
42	27, 41	pm2.61ine 2695	. . . 4 |- U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
44	2, 3, 4	dya2iocnei 28409	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) )
45		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. ran R )
46		ssel2 3412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p C_ A /\ m e. p ) -> m e. A )
47	46	ancoms 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. p /\ p C_ A ) -> m e. A )
48	47	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. A )
49		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( m e. p /\ p C_ A ) )
50		elequ1 1829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z e. p <-> m e. p ) )
51	50	anbi1d 702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( z e. p /\ p C_ A ) <-> ( m e. p /\ p C_ A ) ) )
52	51	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. A /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
53	48, 49, 52	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
54	45, 53	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
55	54, 32	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
56		simprl 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. p )
57	55, 56	jca 530	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } /\ m e. p ) )
58	57	reximi2 2849	. . . . . . 7 |- ( E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
59	44, 58	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
60		eluni2 4167	. . . . . 6 |- ( m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
61	59, 60	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
62	61	ex 432	. . . 4 |- ( A e. ( J tX J ) -> ( m e. A -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } ) )
63	62	ssrdv 3423	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> A C_ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
64	43, 63	eqssd 3434	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A )
65		unieq 4171	. . . 4 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> U. c = U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
66	65	eqeq1d 2384	. . 3 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> ( U. c = A <-> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) )
67	66	rspcev 3135	. 2 |- ( ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R /\ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )
68	16, 64, 67	syl2anc 659	1 |- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034   C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163   X. cxp 4911   ran crn 4914   Fn wfn 5491   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   |-> cmpt2 6198   1c1 9404   + caddc 9406   / cdiv 10123   2c2 10502   ZZcz 10781   (,)cioo 11450   [,)cico 11452   ^cexp 12069   topGenctg 14845   tX ctx 20146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-refld 18732  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-fcls 20527  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-cfil 21779  df-cmet 21781  df-cms 21859  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-logb 23223

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  28411  sxbrsigalem1  28412