Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dya2iocuni 29117
Description: Every open set of  ( RR 
X.  RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 29114. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, c, v, A    R, c
Allowed substitution hints:    A( x, n)    R( x, v, u, n)    I( n, c)    J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables  m  p  b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3516 . . . 4  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  ran  R
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
52, 3, 4dya2iocrfn 29113 . . . . . . 7  |-  R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I )
6 zex 10953 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
76, 6mpt2ex 6875 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
_V
83, 7eqeltri 2527 . . . . . . . . 9  |-  I  e. 
_V
98rnex 6732 . . . . . . . 8  |-  ran  I  e.  _V
109, 9xpex 6600 . . . . . . 7  |-  ( ran  I  X.  ran  I
)  e.  _V
11 fnex 6137 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I
)  /\  ( ran  I  X.  ran  I )  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 679 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
1312rnex 6732 . . . . 5  |-  ran  R  e.  _V
1413elpw2 4570 . . . 4  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R  <->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  ran  R )
151, 14mpbir 213 . . 3  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R
1615a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R )
17 rex0 3748 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )
18 rexeq 2990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )  <->  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
1917, 18mtbiri 305 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2019ralrimivw 2805 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
21 rabeq0 3756 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/)  <->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2220, 21sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
2322unieqd 4211 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  U. (/) )
24 uni0 4228 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2523, 24syl6eq 2503 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
26 0ss 3765 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
2725, 26syl6eqss 3484 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
28 elequ2 1903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
z  e.  b  <->  z  e.  p ) )
29 sseq1 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
b  C_  A  <->  p  C_  A
) )
3028, 29anbi12d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  p  ->  (
( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3130rexbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  p  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3231elrab 3198 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  <-> 
( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
33 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A )
3433reximi 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. z  e.  A  p  C_  A )
35 r19.9rzv 3865 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  C_  A  <->  E. z  e.  A  p  C_  A ) )
3634, 35syl5ibr 225 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A ) )
3736adantld 469 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( (
p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  C_  A
) )
3832, 37syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  p 
C_  A ) )
3938ralrimiv 2802 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } p  C_  A )
40 unissb 4232 . . . . . 6  |-  ( U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  A 
<-> 
A. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } p  C_  A )
4139, 40sylibr 216 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
4227, 41pm2.61ine 2709 . . . 4  |-  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
4342a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
442, 3, 4dya2iocnei 29116 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  ran  R ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
45 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  ran  R )
46 ssel2 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  C_  A  /\  m  e.  p )  ->  m  e.  A )
4746ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  m  e.  A )
4847adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  A )
49 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
50 elequ1 1896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z  e.  p  <->  m  e.  p ) )
5150anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( z  e.  p  /\  p  C_  A )  <-> 
( m  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5251rspcev 3152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  A  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5348, 49, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5445, 53jca 535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5554, 32sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
56 simprl 765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  p )
5755, 56jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  /\  m  e.  p )
)
5857reximi2 2856 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  ran  R
( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
5944, 58syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
60 eluni2 4205 . . . . . 6  |-  ( m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  <->  E. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } m  e.  p )
6159, 60sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
6261ex 436 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  (
m  e.  A  ->  m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } ) )
6362ssrdv 3440 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  A  C_ 
U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6443, 63eqssd 3451 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  A )
65 unieq 4209 . . . 4  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  U. c  =  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6665eqeq1d 2455 . . 3  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  ( U. c  =  A  <->  U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A ) )
6766rspcev 3152 . 2  |-  ( ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  e.  ~P ran  R  /\  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
6816, 64, 67syl2anc 667 1  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5580   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1c1 9545    + caddc 9547    / cdiv 10276   2c2 10666   ZZcz 10944   (,)cioo 11642   [,)cico 11644   ^cexp 12279   topGenctg 15348    tX ctx 20587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13142  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-limsup 13538  df-clim 13564  df-rlim 13565  df-sum 13765  df-ef 14133  df-sin 14135  df-cos 14136  df-pi 14138  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-refld 19185  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-fcls 20968  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-cfil 22237  df-cmet 22239  df-cms 22315  df-limc 22833  df-dv 22834  df-log 23518  df-cxp 23519  df-logb 23714
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  29118  sxbrsigalem1  29119
  Copyright terms: Public domain W3C validator