Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocuni 28410
Description: Every open set of  ( RR 
X.  RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 28407. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, c, v, A    R, c
Allowed substitution hints:    A( x, n)    R( x, v, u, n)    I( n, c)    J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables  m  p  b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3499 . . . 4  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  ran  R
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
52, 3, 4dya2iocrfn 28406 . . . . . . 7  |-  R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I )
6 zex 10790 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
76, 6mpt2ex 6776 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
_V
83, 7eqeltri 2466 . . . . . . . . 9  |-  I  e. 
_V
98rnex 6633 . . . . . . . 8  |-  ran  I  e.  _V
109, 9xpex 6503 . . . . . . 7  |-  ( ran  I  X.  ran  I
)  e.  _V
11 fnex 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I
)  /\  ( ran  I  X.  ran  I )  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 670 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
1312rnex 6633 . . . . 5  |-  ran  R  e.  _V
1413elpw2 4529 . . . 4  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R  <->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  ran  R )
151, 14mpbir 209 . . 3  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R
1615a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R )
17 rex0 3726 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )
18 rexeq 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )  <->  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
1917, 18mtbiri 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2019ralrimivw 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
21 rabeq0 3734 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/)  <->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
2322unieqd 4173 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  U. (/) )
24 uni0 4190 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2523, 24syl6eq 2439 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
26 0ss 3741 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
2725, 26syl6eqss 3467 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
28 elequ2 1831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
z  e.  b  <->  z  e.  p ) )
29 sseq1 3438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
b  C_  A  <->  p  C_  A
) )
3028, 29anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  p  ->  (
( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3130rexbidv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  p  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3231elrab 3182 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  <-> 
( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
33 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A )
3433reximi 2850 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. z  e.  A  p  C_  A )
35 r19.9rzv 3839 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  C_  A  <->  E. z  e.  A  p  C_  A ) )
3634, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A ) )
3736adantld 465 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( (
p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  C_  A
) )
3832, 37syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  p 
C_  A ) )
3938ralrimiv 2794 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } p  C_  A )
40 unissb 4194 . . . . . 6  |-  ( U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  A 
<-> 
A. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } p  C_  A )
4139, 40sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
4227, 41pm2.61ine 2695 . . . 4  |-  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
4342a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
442, 3, 4dya2iocnei 28409 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  ran  R ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
45 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  ran  R )
46 ssel2 3412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  C_  A  /\  m  e.  p )  ->  m  e.  A )
4746ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  m  e.  A )
4847adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  A )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
50 elequ1 1829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z  e.  p  <->  m  e.  p ) )
5150anbi1d 702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( z  e.  p  /\  p  C_  A )  <-> 
( m  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5251rspcev 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  A  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5348, 49, 52syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5445, 53jca 530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5554, 32sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
56 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  p )
5755, 56jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  /\  m  e.  p )
)
5857reximi2 2849 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  ran  R
( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
5944, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
60 eluni2 4167 . . . . . 6  |-  ( m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  <->  E. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } m  e.  p )
6159, 60sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
6261ex 432 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  (
m  e.  A  ->  m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } ) )
6362ssrdv 3423 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  A  C_ 
U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6443, 63eqssd 3434 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  A )
65 unieq 4171 . . . 4  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  U. c  =  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6665eqeq1d 2384 . . 3  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  ( U. c  =  A  <->  U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A ) )
6766rspcev 3135 . 2  |-  ( ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  e.  ~P ran  R  /\  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
6816, 64, 67syl2anc 659 1  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   U.cuni 4163    X. cxp 4911   ran crn 4914    Fn wfn 5491   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   1c1 9404    + caddc 9406    / cdiv 10123   2c2 10502   ZZcz 10781   (,)cioo 11450   [,)cico 11452   ^cexp 12069   topGenctg 14845    tX ctx 20146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-refld 18732  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-fcls 20527  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-cfil 21779  df-cmet 21781  df-cms 21859  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-logb 23223
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  28411  sxbrsigalem1  28412
  Copyright terms: Public domain W3C validator