Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocuni 27880
Description: Every open set of  ( RR 
X.  RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 27877. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, c, v, A    R, c
Allowed substitution hints:    A( x, n)    R( x, v, u, n)    I( n, c)    J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables  m  p  b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3578 . . . 4  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  ran  R
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
52, 3, 4dya2iocrfn 27876 . . . . . . 7  |-  R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I )
6 zex 10862 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
76, 6mpt2ex 6850 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
_V
83, 7eqeltri 2544 . . . . . . . . 9  |-  I  e. 
_V
98rnex 6708 . . . . . . . 8  |-  ran  I  e.  _V
109, 9xpex 6704 . . . . . . 7  |-  ( ran  I  X.  ran  I
)  e.  _V
11 fnex 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I
)  /\  ( ran  I  X.  ran  I )  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 672 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
1312rnex 6708 . . . . 5  |-  ran  R  e.  _V
1413elpw2 4604 . . . 4  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R  <->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  ran  R )
151, 14mpbir 209 . . 3  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R
1615a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R )
17 rex0 3792 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )
18 rexeq 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )  <->  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
1917, 18mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2019ralrimivw 2872 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
21 rabeq0 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/)  <->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
2322unieqd 4248 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  U. (/) )
24 uni0 4265 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2523, 24syl6eq 2517 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
26 0ss 3807 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
2725, 26syl6eqss 3547 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
28 elequ2 1767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
z  e.  b  <->  z  e.  p ) )
29 sseq1 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
b  C_  A  <->  p  C_  A
) )
3028, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  p  ->  (
( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3130rexbidv 2966 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  p  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3231elrab 3254 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  <-> 
( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A )
3433reximi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. z  e.  A  p  C_  A )
35 r19.9rzv 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  C_  A  <->  E. z  e.  A  p  C_  A ) )
3634, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A ) )
3736adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( (
p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  C_  A
) )
3832, 37syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  p 
C_  A ) )
3938ralrimiv 2869 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } p  C_  A )
40 unissb 4270 . . . . . 6  |-  ( U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  A 
<-> 
A. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } p  C_  A )
4139, 40sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
4227, 41pm2.61ine 2773 . . . 4  |-  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
4342a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
442, 3, 4dya2iocnei 27879 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  ran  R ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
45 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  ran  R )
46 ssel2 3492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  C_  A  /\  m  e.  p )  ->  m  e.  A )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  m  e.  A )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  A )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
50 elequ1 1765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z  e.  p  <->  m  e.  p ) )
5150anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( z  e.  p  /\  p  C_  A )  <-> 
( m  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5251rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  A  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5348, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5445, 53jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5554, 32sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
56 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  p )
5755, 56jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  /\  m  e.  p )
)
5857reximi2 2924 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  ran  R
( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
5944, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
60 eluni2 4242 . . . . . 6  |-  ( m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  <->  E. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } m  e.  p )
6159, 60sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  (
m  e.  A  ->  m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } ) )
6362ssrdv 3503 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  A  C_ 
U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6443, 63eqssd 3514 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  A )
65 unieq 4246 . . . 4  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  U. c  =  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6665eqeq1d 2462 . . 3  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  ( U. c  =  A  <->  U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A ) )
6766rspcev 3207 . 2  |-  ( ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  e.  ~P ran  R  /\  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
6816, 64, 67syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238    X. cxp 4990   ran crn 4993    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   1c1 9482    + caddc 9484    / cdiv 10195   2c2 10574   ZZcz 10853   (,)cioo 11518   [,)cico 11520   ^cexp 12122   topGenctg 14682    tX ctx 19789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-refld 18401  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-fcls 20170  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-cfil 21422  df-cmet 21424  df-cms 21502  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-logb 27633
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  27881  sxbrsigalem1  27882
  Copyright terms: Public domain W3C validator