Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocuni 28231
Description: Every open set of  ( RR 
X.  RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 28228. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, c, v, A    R, c
Allowed substitution hints:    A( x, n)    R( x, v, u, n)    I( n, c)    J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables  m  p  b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3570 . . . 4  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  ran  R
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
52, 3, 4dya2iocrfn 28227 . . . . . . 7  |-  R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I )
6 zex 10880 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
76, 6mpt2ex 6862 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 
_V
83, 7eqeltri 2527 . . . . . . . . 9  |-  I  e. 
_V
98rnex 6719 . . . . . . . 8  |-  ran  I  e.  _V
109, 9xpex 6589 . . . . . . 7  |-  ( ran  I  X.  ran  I
)  e.  _V
11 fnex 6124 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Fn  ( ran  I  X.  ran  I
)  /\  ( ran  I  X.  ran  I )  e.  _V )  ->  R  e.  _V )
125, 10, 11mp2an 672 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
1312rnex 6719 . . . . 5  |-  ran  R  e.  _V
1413elpw2 4601 . . . 4  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R  <->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  ran  R )
151, 14mpbir 209 . . 3  |-  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R
1615a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  e.  ~P ran  R )
17 rex0 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )
18 rexeq 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  (/)  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A )  <->  E. z  e.  (/)  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
1917, 18mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2019ralrimivw 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
21 rabeq0 3793 . . . . . . . . 9  |-  ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/)  <->  A. b  e.  ran  R  -.  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2220, 21sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
2322unieqd 4244 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  U. (/) )
24 uni0 4261 . . . . . . 7  |-  U. (/)  =  (/)
2523, 24syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  (/) )
26 0ss 3800 . . . . . 6  |-  (/)  C_  A
2725, 26syl6eqss 3539 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
28 elequ2 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
z  e.  b  <->  z  e.  p ) )
29 sseq1 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  p  ->  (
b  C_  A  <->  p  C_  A
) )
3028, 29anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  p  ->  (
( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3130rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  p  ->  ( E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
)  <->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
3231elrab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  <-> 
( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A )
3433reximi 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. z  e.  A  p  C_  A )
35 r19.9rzv 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  C_  A  <->  E. z  e.  A  p  C_  A ) )
3634, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  p  C_  A ) )
3736adantld 467 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( (
p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  C_  A
) )
3832, 37syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  p 
C_  A ) )
3938ralrimiv 2855 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } p  C_  A )
40 unissb 4266 . . . . . 6  |-  ( U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  C_  A 
<-> 
A. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } p  C_  A )
4139, 40sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
4227, 41pm2.61ine 2756 . . . 4  |-  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
4342a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  C_  A
)
442, 3, 4dya2iocnei 28230 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  ran  R ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
45 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  ran  R )
46 ssel2 3484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  C_  A  /\  m  e.  p )  ->  m  e.  A )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  m  e.  A )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  A )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )
50 elequ1 1807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  m  ->  (
z  e.  p  <->  m  e.  p ) )
5150anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  m  ->  (
( z  e.  p  /\  p  C_  A )  <-> 
( m  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5251rspcev 3196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  A  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5348, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  E. z  e.  A  ( z  e.  p  /\  p  C_  A ) )
5445, 53jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  ran  R  /\  E. z  e.  A  (
z  e.  p  /\  p  C_  A ) ) )
5554, 32sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
56 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  m  e.  p )
5755, 56jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  ran  R  /\  ( m  e.  p  /\  p  C_  A ) )  ->  ( p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  /\  m  e.  p )
)
5857reximi2 2910 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  ran  R
( m  e.  p  /\  p  C_  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
5944, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  E. p  e.  {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } m  e.  p )
60 eluni2 4238 . . . . . 6  |-  ( m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  <->  E. p  e.  { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } m  e.  p )
6159, 60sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } )
6261ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  (
m  e.  A  ->  m  e.  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) } ) )
6362ssrdv 3495 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  A  C_ 
U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6443, 63eqssd 3506 . 2  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  U. {
b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A
) }  =  A )
65 unieq 4242 . . . 4  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  U. c  =  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) } )
6665eqeq1d 2445 . . 3  |-  ( c  =  { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  ->  ( U. c  =  A  <->  U. { b  e. 
ran  R  |  E. z  e.  A  (
z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A ) )
6766rspcev 3196 . 2  |-  ( ( { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  e.  ~P ran  R  /\  U. { b  e.  ran  R  |  E. z  e.  A  ( z  e.  b  /\  b  C_  A ) }  =  A )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
6816, 64, 67syl2anc 661 1  |-  ( A  e.  ( J  tX  J )  ->  E. c  e.  ~P  ran  R U. c  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234    X. cxp 4987   ran crn 4990    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   1c1 9496    + caddc 9498    / cdiv 10213   2c2 10592   ZZcz 10871   (,)cioo 11539   [,)cico 11541   ^cexp 12147   topGenctg 14816    tX ctx 20038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ioc 11544  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-bc 12362  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786  df-cos 13787  df-pi 13789  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-starv 14693  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-unif 14701  df-hom 14702  df-cco 14703  df-rest 14801  df-topn 14802  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-topgen 14822  df-pt 14823  df-prds 14826  df-xrs 14880  df-qtop 14885  df-imas 14886  df-xps 14888  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-submnd 15945  df-mulg 16038  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-cnfld 18399  df-refld 18618  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-cld 19497  df-ntr 19498  df-cls 19499  df-nei 19576  df-lp 19614  df-perf 19615  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-haus 19793  df-cmp 19864  df-tx 20040  df-hmeo 20233  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-fcls 20419  df-xms 20800  df-ms 20801  df-tms 20802  df-cncf 21359  df-cfil 21671  df-cmet 21673  df-cms 21751  df-limc 22247  df-dv 22248  df-log 22920  df-cxp 22921  df-logb 27984
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  28232  sxbrsigalem1  28233
  Copyright terms: Public domain W3C validator