Theorem dya2iocuni 27880

Description: Every open set of ( RR X. RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of ( RR X. RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 27877. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	|- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, c, v, A   R, c

Allowed substitution hints:   A( x, n)   R( x, v, u, n)   I( n, c)   J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables m p b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3578	. . . 4 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 27876	. . . . . . 7 |- R Fn ( ran I X. ran I )
6		zex 10862	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
7	6, 6	mpt2ex 6850	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
8	3, 7	eqeltri 2544	. . . . . . . . 9 |- I e. _V
9	8	rnex 6708	. . . . . . . 8 |- ran I e. _V
10	9, 9	xpex 6704	. . . . . . 7 |- ( ran I X. ran I ) e. _V
11		fnex 6118	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn ( ran I X. ran I ) /\ ( ran I X. ran I ) e. _V ) -> R e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 672	. . . . . 6 |- R e. _V
13	12	rnex 6708	. . . . 5 |- ran R e. _V
14	13	elpw2 4604	. . . 4 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R <-> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R )
15	1, 14	mpbir 209	. . 3 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R
16	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R )
17		rex0 3792	. . . . . . . . . . 11 |- -. E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A )
18		rexeq 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A ) ) )
19	17, 18	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
20	19	ralrimivw 2872	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
21		rabeq0 3800	. . . . . . . . 9 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) <-> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
22	20, 21	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
23	22	unieqd 4248	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = U. (/) )
24		uni0 4265	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
25	23, 24	syl6eq 2517	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
26		0ss 3807	. . . . . 6 |- (/) C_ A
27	25, 26	syl6eqss 3547	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
28		elequ2 1767	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( z e. b <-> z e. p ) )
29		sseq1 3518	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( b C_ A <-> p C_ A ) )
30	28, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( b = p -> ( ( z e. b /\ b C_ A ) <-> ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
31	30	rexbidv 2966	. . . . . . . . 9 |- ( b = p -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
32	31	elrab 3254	. . . . . . . 8 |- ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
33		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A )
34	33	reximi 2925	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> E. z e. A p C_ A )
35		r19.9rzv 3915	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( p C_ A <-> E. z e. A p C_ A ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A ) )
37	36	adantld 467	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) -> p C_ A ) )
38	32, 37	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> p C_ A ) )
39	38	ralrimiv 2869	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
40		unissb 4270	. . . . . 6 |- ( U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A <-> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
41	39, 40	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
42	27, 41	pm2.61ine 2773	. . . 4 |- U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
44	2, 3, 4	dya2iocnei 27879	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) )
45		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. ran R )
46		ssel2 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p C_ A /\ m e. p ) -> m e. A )
47	46	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. p /\ p C_ A ) -> m e. A )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. A )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( m e. p /\ p C_ A ) )
50		elequ1 1765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z e. p <-> m e. p ) )
51	50	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( z e. p /\ p C_ A ) <-> ( m e. p /\ p C_ A ) ) )
52	51	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. A /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
53	48, 49, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
54	45, 53	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
55	54, 32	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
56		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. p )
57	55, 56	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } /\ m e. p ) )
58	57	reximi2 2924	. . . . . . 7 |- ( E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
59	44, 58	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
60		eluni2 4242	. . . . . 6 |- ( m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
61	59, 60	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
62	61	ex 434	. . . 4 |- ( A e. ( J tX J ) -> ( m e. A -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } ) )
63	62	ssrdv 3503	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> A C_ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
64	43, 63	eqssd 3514	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A )
65		unieq 4246	. . . 4 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> U. c = U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
66	65	eqeq1d 2462	. . 3 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> ( U. c = A <-> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) )
67	66	rspcev 3207	. 2 |- ( ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R /\ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )
68	16, 64, 67	syl2anc 661	1 |- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   X. cxp 4990   ran crn 4993   Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   1c1 9482   + caddc 9484   / cdiv 10195   2c2 10574   ZZcz 10853   (,)cioo 11518   [,)cico 11520   ^cexp 12122   topGenctg 14682   tX ctx 19789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-refld 18401  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-fcls 20170  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-cfil 21422  df-cmet 21424  df-cms 21502  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-logb 27633

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  27881  sxbrsigalem1  27882