Theorem dya2iocuni 26835

Description: Every open set of ( RR X. RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of ( RR X. RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 26832. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	|- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, c, v, A   R, c

Allowed substitution hints:   A( x, n)   R( x, v, u, n)   I( n, c)   J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables m p b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3538	. . . 4 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 26831	. . . . . . 7 |- R Fn ( ran I X. ran I )
6		zex 10759	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
7	6, 6	mpt2ex 6753	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
8	3, 7	eqeltri 2535	. . . . . . . . 9 |- I e. _V
9	8	rnex 6615	. . . . . . . 8 |- ran I e. _V
10	9, 9	xpex 6611	. . . . . . 7 |- ( ran I X. ran I ) e. _V
11		fnex 6046	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn ( ran I X. ran I ) /\ ( ran I X. ran I ) e. _V ) -> R e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 672	. . . . . 6 |- R e. _V
13	12	rnex 6615	. . . . 5 |- ran R e. _V
14	13	elpw2 4557	. . . 4 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R <-> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R )
15	1, 14	mpbir 209	. . 3 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R
16	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R )
17		rex0 3752	. . . . . . . . . . 11 |- -. E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A )
18		rexeq 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A ) ) )
19	17, 18	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
20	19	ralrimivw 2826	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
21		rabeq0 3760	. . . . . . . . 9 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) <-> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
22	20, 21	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
23	22	unieqd 4202	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = U. (/) )
24		uni0 4219	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
25	23, 24	syl6eq 2508	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
26		0ss 3767	. . . . . 6 |- (/) C_ A
27	25, 26	syl6eqss 3507	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
28		elequ2 1763	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( z e. b <-> z e. p ) )
29		sseq1 3478	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( b C_ A <-> p C_ A ) )
30	28, 29	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( b = p -> ( ( z e. b /\ b C_ A ) <-> ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
31	30	rexbidv 2855	. . . . . . . . 9 |- ( b = p -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
32	31	elrab 3217	. . . . . . . 8 |- ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
33		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A )
34	33	reximi 2922	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> E. z e. A p C_ A )
35		r19.9rzv 3875	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( p C_ A <-> E. z e. A p C_ A ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A ) )
37	36	adantld 467	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) -> p C_ A ) )
38	32, 37	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> p C_ A ) )
39	38	ralrimiv 2823	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
40		unissb 4224	. . . . . 6 |- ( U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A <-> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
41	39, 40	sylibr 212	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
42	27, 41	pm2.61ine 2761	. . . 4 |- U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
44	2, 3, 4	dya2iocnei 26834	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) )
45		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. ran R )
46		ssel2 3452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p C_ A /\ m e. p ) -> m e. A )
47	46	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. p /\ p C_ A ) -> m e. A )
48	47	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. A )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( m e. p /\ p C_ A ) )
50		elequ1 1761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z e. p <-> m e. p ) )
51	50	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( z e. p /\ p C_ A ) <-> ( m e. p /\ p C_ A ) ) )
52	51	rspcev 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. A /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
53	48, 49, 52	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
54	45, 53	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
55	54, 32	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
56		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. p )
57	55, 56	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } /\ m e. p ) )
58	57	reximi2 2921	. . . . . . 7 |- ( E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
59	44, 58	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
60		eluni2 4196	. . . . . 6 |- ( m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
61	59, 60	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
62	61	ex 434	. . . 4 |- ( A e. ( J tX J ) -> ( m e. A -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } ) )
63	62	ssrdv 3463	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> A C_ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
64	43, 63	eqssd 3474	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A )
65		unieq 4200	. . . 4 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> U. c = U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
66	65	eqeq1d 2453	. . 3 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> ( U. c = A <-> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) )
67	66	rspcev 3172	. 2 |- ( ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R /\ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )
68	16, 64, 67	syl2anc 661	1 |- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   (/)c0 3738   ~Pcpw 3961   U.cuni 4192   X. cxp 4939   ran crn 4942   Fn wfn 5514   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   |-> cmpt2 6195   1c1 9387   + caddc 9389   / cdiv 10097   2c2 10475   ZZcz 10750   (,)cioo 11404   [,)cico 11406   ^cexp 11975   topGenctg 14487   tX ctx 19258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-refld 18153  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-fcls 19639  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-cfil 20891  df-cmet 20893  df-cms 20971  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135  df-logb 26588

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  26836  sxbrsigalem1  26837