Theorem dya2iocuni 29178

Description: Every open set of ( RR X. RR ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of ( RR X. RR ). This union must be a countable union by dya2iocct 29175. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2iocuni	|- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, c, v, A   R, c

Allowed substitution hints:   A( x, n)   R( x, v, u, n)   I( n, c)   J( x, v, u, n, c)

Proof of Theorem dya2iocuni

Dummy variables m p b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3500	. . . 4 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R
2		sxbrsiga.0	. . . . . . . 8 |- J = ( topGen ` ran (,) )
3		dya2ioc.1	. . . . . . . 8 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		dya2ioc.2	. . . . . . . 8 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
5	2, 3, 4	dya2iocrfn 29174	. . . . . . 7 |- R Fn ( ran I X. ran I )
6		zex 10970	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ e. _V
7	6, 6	mpt2ex 6889	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. _V
8	3, 7	eqeltri 2545	. . . . . . . . 9 |- I e. _V
9	8	rnex 6746	. . . . . . . 8 |- ran I e. _V
10	9, 9	xpex 6614	. . . . . . 7 |- ( ran I X. ran I ) e. _V
11		fnex 6148	. . . . . . 7 |- ( ( R Fn ( ran I X. ran I ) /\ ( ran I X. ran I ) e. _V ) -> R e. _V )
12	5, 10, 11	mp2an 686	. . . . . 6 |- R e. _V
13	12	rnex 6746	. . . . 5 |- ran R e. _V
14	13	elpw2 4565	. . . 4 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R <-> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ ran R )
15	1, 14	mpbir 214	. . 3 |- { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R
16	15	a1i 11	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R )
17		rex0 3737	. . . . . . . . . . 11 |- -. E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A )
18		rexeq 2974	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = (/) -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. (/) ( z e. b /\ b C_ A ) ) )
19	17, 18	mtbiri 310	. . . . . . . . . 10 |- ( A = (/) -> -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
20	19	ralrimivw 2810	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
21		rabeq0 3757	. . . . . . . . 9 |- ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) <-> A. b e. ran R -. E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) )
22	20, 21	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
23	22	unieqd 4200	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = U. (/) )
24		uni0 4217	. . . . . . 7 |- U. (/) = (/)
25	23, 24	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = (/) )
26		0ss 3766	. . . . . 6 |- (/) C_ A
27	25, 26	syl6eqss 3468	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
28		elequ2 1918	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( z e. b <-> z e. p ) )
29		sseq1 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = p -> ( b C_ A <-> p C_ A ) )
30	28, 29	anbi12d 725	. . . . . . . . . 10 |- ( b = p -> ( ( z e. b /\ b C_ A ) <-> ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
31	30	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( b = p -> ( E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) <-> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
32	31	elrab 3184	. . . . . . . 8 |- ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
33		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A )
34	33	reximi 2852	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> E. z e. A p C_ A )
35		r19.9rzv 3854	. . . . . . . . . 10 |- ( A =/= (/) -> ( p C_ A <-> E. z e. A p C_ A ) )
36	34, 35	syl5ibr 229	. . . . . . . . 9 |- ( A =/= (/) -> ( E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) -> p C_ A ) )
37	36	adantld 474	. . . . . . . 8 |- ( A =/= (/) -> ( ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) -> p C_ A ) )
38	32, 37	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- ( A =/= (/) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> p C_ A ) )
39	38	ralrimiv 2808	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
40		unissb 4221	. . . . . 6 |- ( U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A <-> A. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } p C_ A )
41	39, 40	sylibr 217	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
42	27, 41	pm2.61ine 2726	. . . 4 |- U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A
43	42	a1i 11	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } C_ A )
44	2, 3, 4	dya2iocnei 29177	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) )
45		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. ran R )
46		ssel2 3413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p C_ A /\ m e. p ) -> m e. A )
47	46	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. p /\ p C_ A ) -> m e. A )
48	47	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. A )
49		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( m e. p /\ p C_ A ) )
50		elequ1 1911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = m -> ( z e. p <-> m e. p ) )
51	50	anbi1d 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = m -> ( ( z e. p /\ p C_ A ) <-> ( m e. p /\ p C_ A ) ) )
52	51	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. A /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
53	48, 49, 52	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) )
54	45, 53	jca 541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. ran R /\ E. z e. A ( z e. p /\ p C_ A ) ) )
55	54, 32	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
56		simprl 772	. . . . . . . . 9 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> m e. p )
57	55, 56	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. ran R /\ ( m e. p /\ p C_ A ) ) -> ( p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } /\ m e. p ) )
58	57	reximi2 2851	. . . . . . 7 |- ( E. p e. ran R ( m e. p /\ p C_ A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
59	44, 58	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
60		eluni2 4194	. . . . . 6 |- ( m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } <-> E. p e. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } m e. p )
61	59, 60	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( A e. ( J tX J ) /\ m e. A ) -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
62	61	ex 441	. . . 4 |- ( A e. ( J tX J ) -> ( m e. A -> m e. U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } ) )
63	62	ssrdv 3424	. . 3 |- ( A e. ( J tX J ) -> A C_ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
64	43, 63	eqssd 3435	. 2 |- ( A e. ( J tX J ) -> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A )
65		unieq 4198	. . . 4 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> U. c = U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } )
66	65	eqeq1d 2473	. . 3 |- ( c = { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } -> ( U. c = A <-> U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) )
67	66	rspcev 3136	. 2 |- ( ( { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } e. ~P ran R /\ U. { b e. ran R | E. z e. A ( z e. b /\ b C_ A ) } = A ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )
68	16, 64, 67	syl2anc 673	1 |- ( A e. ( J tX J ) -> E. c e. ~P ran R U. c = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   X. cxp 4837   ran crn 4840   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   1c1 9558   + caddc 9560   / cdiv 10291   2c2 10681   ZZcz 10961   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   ^cexp 12310   topGenctg 15414   tX ctx 20652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-refld 19250  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-fcls 21034  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-cfil 22303  df-cmet 22305  df-cms 22381  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-logb 23781

This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  29179  sxbrsigalem1  29180