Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocress Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocress 27873
Description: Dyadic intervals are subsets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocress  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  C_  RR )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)    N( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocress
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31, 2dya2iocival 27872 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  ZZ )
54zred 10957 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
6 2rp 11216 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
97, 8rpexpcld 12290 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
105, 9rerpdivcld 11274 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
11 1re 9586 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
135, 12readdcld 9614 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  +  1 )  e.  RR )
1413, 9rerpdivcld 11274 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1514rexrd 9634 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
16 icossre 11596 . . 3  |-  ( ( ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  C_  RR )
1710, 15, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  C_  RR )
183, 17eqsstrd 3533 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   ran crn 4995   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   RRcr 9482   1c1 9484    + caddc 9486   RR*cxr 9618    / cdiv 10197   2c2 10576   ZZcz 10855   RR+crp 11211   (,)cioo 11520   [,)cico 11522   ^cexp 12124   topGenctg 14684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-ico 11526  df-seq 12066  df-exp 12125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator