Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocress Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocress 28735
Description: Dyadic intervals are subsets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocress  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  C_  RR )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)    N( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocress
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31, 2dya2iocival 28734 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
4 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  ZZ )
54zred 11010 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
6 2rp 11272 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
97, 8rpexpcld 12379 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
105, 9rerpdivcld 11333 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
11 1red 9643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
125, 11readdcld 9655 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  +  1 )  e.  RR )
1312, 9rerpdivcld 11333 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1413rexrd 9675 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
15 icossre 11661 . . 3  |-  ( ( ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR  /\  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  C_  RR )
1610, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  C_  RR )
173, 16eqsstrd 3478 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  C_  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   ran crn 4826   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    |-> cmpt2 6282   RRcr 9523   1c1 9525    + caddc 9527   RR*cxr 9659    / cdiv 10249   2c2 10628   ZZcz 10907   RR+crp 11267   (,)cioo 11584   [,)cico 11586   ^cexp 12212   topGenctg 15054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-ico 11590  df-seq 12154  df-exp 12213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator