Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Unicode version

Theorem dya2iocnei 24585
Description: For any point of an open set of the usual topology on  ( RR  X.  RR ) there is a closed below opened above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, b, v, x    A, b    R, b    X, b, x
Allowed substitution hints:    A( x, v, u, n)    R( x, v, u, n)    I( n, b)    J( x, v, u, n, b)    X( v, u, n)

Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables  e 
f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 3980 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  A  e.  ( J  tX  J ) )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
21ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
3 sxbrsiga.0 . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
43tpr2uni 24256 . . 3  |-  U. ( J  tX  J )  =  ( RR  X.  RR )
52, 4syl6eleq 2494 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  ( RR 
X.  RR ) )
6 eqid 2404 . . 3  |-  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v
) ) )
7 eqid 2404 . . 3  |-  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )
83, 6, 7tpr2rico 24263 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) )
9 anass 631 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( r  e.  ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 24584 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,) , 
f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r ) )
13123expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
) )
1413anim1i 552 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )
)  /\  r  C_  A )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A ) )
1514anasss 629 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
169, 15sylan2br 463 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
17 r19.41v 2821 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
18 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  X  e.  b )
19 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  r )
20 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  r  C_  A )
2119, 20sstrd 3318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  A )
2218, 21jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2322reximi 2773 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2417, 23sylbir 205 . . . 4  |-  ( ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2516, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2625rexlimdvaa 2791 . 2  |-  ( X  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( E. r  e.  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
275, 8, 26sylc 58 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   RRcr 8945   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ^cexp 11337   topGenctg 13620    tX ctx 17545
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  24586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-logb 24342
  Copyright terms: Public domain W3C validator