Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocnei 26633
Description: For any point of an open set of the usual topology on  ( RR  X.  RR ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, b, v, x    A, b    R, b    X, b, x
Allowed substitution hints:    A( x, v, u, n)    R( x, v, u, n)    I( n, b)    J( x, v, u, n, b)    X( v, u, n)

Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables  e 
f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4093 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  A  e.  ( J  tX  J ) )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
21ancoms 450 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
3 sxbrsiga.0 . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
43tpr2uni 26271 . . 3  |-  U. ( J  tX  J )  =  ( RR  X.  RR )
52, 4syl6eleq 2531 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  ( RR 
X.  RR ) )
6 eqid 2441 . . 3  |-  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v
) ) )
7 eqid 2441 . . 3  |-  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )
83, 6, 7tpr2rico 26278 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) )
9 anass 644 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( r  e.  ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 26632 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,) , 
f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r ) )
13123expb 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
) )
1413anim1i 565 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )
)  /\  r  C_  A )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A ) )
1514anasss 642 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
169, 15sylan2br 473 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
17 r19.41v 2871 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
18 simpll 748 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  X  e.  b )
19 simplr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  r )
20 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  r  C_  A )
2119, 20sstrd 3363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  A )
2218, 21jca 529 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2322reximi 2821 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2417, 23sylbir 213 . . . 4  |-  ( ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2516, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2625rexlimdvaa 2840 . 2  |-  ( X  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( E. r  e.  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
275, 8, 26sylc 60 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714    C_ wss 3325   U.cuni 4088    X. cxp 4834   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   RRcr 9277   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283    / cdiv 9989   2c2 10367   ZZcz 10642   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   ^cexp 11861   topGenctg 14372    tX ctx 19092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-refld 17994  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-fcls 19473  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-cfil 20725  df-cmet 20727  df-cms 20805  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-logb 26386
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  26634
  Copyright terms: Public domain W3C validator