Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocnei Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocnei 28493
Description: For any point of an open set of the usual topology on  ( RR  X.  RR ) there is a closed-below open-above dyadic rational square which contains that point and is entirely in the open set. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocnei  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, b, v, x    A, b    R, b    X, b, x
Allowed substitution hints:    A( x, v, u, n)    R( x, v, u, n)    I( n, b)    J( x, v, u, n, b)    X( v, u, n)

Proof of Theorem dya2iocnei
Dummy variables  e 
f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunii 4240 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  A  e.  ( J  tX  J ) )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
21ancoms 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  U. ( J  tX  J ) )
3 sxbrsiga.0 . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
43tpr2uni 28125 . . 3  |-  U. ( J  tX  J )  =  ( RR  X.  RR )
52, 4syl6eleq 2552 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  ( RR 
X.  RR ) )
6 eqid 2454 . . 3  |-  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v ) ) )  =  ( u  e.  RR ,  v  e.  RR  |->  ( u  +  ( _i  x.  v
) ) )
7 eqid 2454 . . 3  |-  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )
83, 6, 7tpr2rico 28132 . 2  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) )
9 anass 647 . . . . 5  |-  ( ( ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( r  e.  ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )
10 dya2ioc.1 . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
11 dya2ioc.2 . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
123, 10, 11, 7dya2iocnrect 28492 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,) , 
f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r ) )
13123expb 1195 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  X  e.  r ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
) )
1413anim1i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )
)  /\  r  C_  A )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A ) )
1514anasss 645 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( ( r  e. 
ran  ( e  e. 
ran  (,) ,  f  e. 
ran  (,)  |->  ( e  X.  f ) )  /\  X  e.  r )  /\  r  C_  A ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
169, 15sylan2br 474 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
17 r19.41v 3006 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  <->  ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A ) )
18 simpll 751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  X  e.  b )
19 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  r )
20 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  r  C_  A )
2119, 20sstrd 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  b  C_  A )
2218, 21jca 530 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2322reximi 2922 . . . . 5  |-  ( E. b  e.  ran  R
( ( X  e.  b  /\  b  C_  r )  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2417, 23sylbir 213 . . . 4  |-  ( ( E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  r
)  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2516, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( RR 
X.  RR )  /\  ( r  e.  ran  ( e  e.  ran  (,)
,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) )  /\  ( X  e.  r  /\  r  C_  A ) ) )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) )
2625rexlimdvaa 2947 . 2  |-  ( X  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( E. r  e.  ran  (
e  e.  ran  (,) ,  f  e.  ran  (,)  |->  ( e  X.  f
) ) ( X  e.  r  /\  r  C_  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A ) ) )
275, 8, 26sylc 60 1  |-  ( ( A  e.  ( J 
tX  J )  /\  X  e.  A )  ->  E. b  e.  ran  R ( X  e.  b  /\  b  C_  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    C_ wss 3461   U.cuni 4235    X. cxp 4986   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   RRcr 9480   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   ^cexp 12151   topGenctg 14930    tX ctx 20230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-refld 18817  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-fcls 20611  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-cfil 21863  df-cmet 21865  df-cms 21943  df-limc 22439  df-dv 22440  df-log 23113  df-cxp 23114  df-logb 23307
This theorem is referenced by:  dya2iocuni  28494
  Copyright terms: Public domain W3C validator