Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocct Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocct 28076
Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocct  |-  ran  R  ~<_  om
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I
Allowed substitution hints:    R( x, v, u, n)    I( n)    J( x, v, u, n)

Proof of Theorem dya2iocct
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2 znnen 13824 . . . . . 6  |-  ZZ  ~~  NN
3 nnct 27352 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
4 endomtr 7585 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN 
~<_  om )  ->  ZZ  ~<_  om )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  ZZ  ~<_  om
6 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
76rgen2w 2829 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  _V
87mpt2cti 27365 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~<_  om  /\  ZZ  ~<_  om )  ->  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ~<_  om )
95, 5, 8mp2an 672 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ~<_  om
101, 9eqbrtri 4472 . . 3  |-  I  ~<_  om
11 rnct 27362 . . 3  |-  ( I  ~<_  om  ->  ran  I  ~<_  om )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ran  I  ~<_  om
13 vex 3121 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
14 vex 3121 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
1513, 14xpex 6599 . . . . 5  |-  ( u  X.  v )  e. 
_V
1615rgen2w 2829 . . . 4  |-  A. u  e.  ran  I A. v  e.  ran  I ( u  X.  v )  e. 
_V
1716mpt2cti 27365 . . 3  |-  ( ( ran  I  ~<_  om  /\  ran  I  ~<_  om )  ->  (
u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om )
18 dya2ioc.2 . . . . 5  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
1918breq1i 4460 . . . 4  |-  ( R  ~<_  om  <->  ( u  e. 
ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om )
2019biimpri 206 . . 3  |-  ( ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om 
->  R  ~<_  om )
21 rnct 27362 . . 3  |-  ( R  ~<_  om  ->  ran  R  ~<_  om )
2217, 20, 213syl 20 . 2  |-  ( ( ran  I  ~<_  om  /\  ran  I  ~<_  om )  ->  ran  R  ~<_  om )
2312, 12, 22mp2an 672 1  |-  ran  R  ~<_  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   omcom 6695    ~~ cen 7525    ~<_ cdom 7526   1c1 9505    + caddc 9507    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876   (,)cioo 11541   [,)cico 11543   ^cexp 12146   topGenctg 14710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-ac2 8855  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  28081
  Copyright terms: Public domain W3C validator