Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocct Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocct 26717
Description: The dyadic rectangle set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocct  |-  ran  R  ~<_  om
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I
Allowed substitution hints:    R( x, v, u, n)    I( n)    J( x, v, u, n)

Proof of Theorem dya2iocct
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2 znnen 13516 . . . . . 6  |-  ZZ  ~~  NN
3 nnct 26028 . . . . . 6  |-  NN  ~<_  om
4 endomtr 7388 . . . . . 6  |-  ( ( ZZ  ~~  NN  /\  NN 
~<_  om )  ->  ZZ  ~<_  om )
52, 3, 4mp2an 672 . . . . 5  |-  ZZ  ~<_  om
6 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
76rgen2w 2805 . . . . . 6  |-  A. x  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  _V
87mpt2cti 26041 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  ~<_  om  /\  ZZ  ~<_  om )  ->  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ~<_  om )
95, 5, 8mp2an 672 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )  ~<_  om
101, 9eqbrtri 4332 . . 3  |-  I  ~<_  om
11 rnct 26038 . . 3  |-  ( I  ~<_  om  ->  ran  I  ~<_  om )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ran  I  ~<_  om
13 vex 2996 . . . . . 6  |-  u  e. 
_V
14 vex 2996 . . . . . 6  |-  v  e. 
_V
1513, 14xpex 6529 . . . . 5  |-  ( u  X.  v )  e. 
_V
1615rgen2w 2805 . . . 4  |-  A. u  e.  ran  I A. v  e.  ran  I ( u  X.  v )  e. 
_V
1716mpt2cti 26041 . . 3  |-  ( ( ran  I  ~<_  om  /\  ran  I  ~<_  om )  ->  (
u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om )
18 dya2ioc.2 . . . . 5  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
1918breq1i 4320 . . . 4  |-  ( R  ~<_  om  <->  ( u  e. 
ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om )
2019biimpri 206 . . 3  |-  ( ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )  ~<_  om 
->  R  ~<_  om )
21 rnct 26038 . . 3  |-  ( R  ~<_  om  ->  ran  R  ~<_  om )
2217, 20, 213syl 20 . 2  |-  ( ( ran  I  ~<_  om  /\  ran  I  ~<_  om )  ->  ran  R  ~<_  om )
2312, 12, 22mp2an 672 1  |-  ran  R  ~<_  om
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993   class class class wbr 4313    X. cxp 4859   ran crn 4862   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   omcom 6497    ~~ cen 7328    ~<_ cdom 7329   1c1 9304    + caddc 9306    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   ZZcz 10667   (,)cioo 11321   [,)cico 11323   ^cexp 11886   topGenctg 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-ac2 8653  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  26722
  Copyright terms: Public domain W3C validator