Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Unicode version

Theorem dya2iocbrsiga 24578
Description: Dyadic intervals are Borel sets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)    N( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31, 2dya2iocival 24576 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
4 mnfxr 10670 . . . . 5  |-  -oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  -oo  e.  RR* )
6 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  ZZ )
76zred 10331 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
8 2rp 10573 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
119, 10rpexpcld 11501 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1312rexrd 9090 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
14 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
167, 15readdcld 9071 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  +  1 )  e.  RR )
1716, 11rerpdivcld 10631 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1817rexrd 9090 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
19 mnflt 10678 . . . . 5  |-  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
2012, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
21 difioo 24098 . . . 4  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR*  /\  (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR* )  /\  -oo  <  ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
(  -oo (,) ( ( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) 
\  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) ) )  =  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
225, 13, 18, 20, 21syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  \  (  -oo (,) ( X  / 
( 2 ^ N
) ) ) )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
23 brsigarn 24491 . . . . 5  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
24 elrnsiga 24462 . . . . 5  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
2523, 24ax-mp 8 . . . 4  |- 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra
26 retop 18748 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
27 iooretop 18753 . . . . . 6  |-  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
28 elsigagen 24483 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2926, 27, 28mp2an 654 . . . . 5  |-  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
30 df-brsiga 24489 . . . . 5  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3129, 30eleqtrri 2477 . . . 4  |-  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
32 iooretop 18753 . . . . . 6  |-  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
33 elsigagen 24483 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3426, 32, 33mp2an 654 . . . . 5  |-  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
3534, 30eleqtrri 2477 . . . 4  |-  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
36 difelsiga 24469 . . . 4  |-  ( (𝔅  e.  U.
ran sigAlgebra  /\  (  -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅  /\  (  -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )  ->  ( (  -oo (,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) )  \ 
(  -oo (,) ( X  /  ( 2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅 )
3725, 31, 35, 36mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( 
-oo (,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) )  \ 
(  -oo (,) ( X  /  ( 2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅
3822, 37syl6eqelr 2493 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )
393, 38eqeltrd 2478 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    / cdiv 9633   2c2 10005   ZZcz 10238   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,)cico 10874   ^cexp 11337   topGenctg 13620   Topctop 16913  sigAlgebracsiga 24443  sigaGencsigagen 24474  𝔅cbrsiga 24488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-ac2 8299  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-ac 7953  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-seq 11279  df-exp 11338  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-siga 24444  df-sigagen 24475  df-brsiga 24489
  Copyright terms: Public domain W3C validator