Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocbrsiga 26854
Description: Dyadic intervals are Borel sets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)    N( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31, 2dya2iocival 26852 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
4 mnfxr 11208 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  -> -oo  e.  RR* )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  ZZ )
76zred 10861 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
8 2rp 11110 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
119, 10rpexpcld 12151 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 11168 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1312rexrd 9547 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
14 1re 9499 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
167, 15readdcld 9527 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  +  1 )  e.  RR )
1716, 11rerpdivcld 11168 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1817rexrd 9547 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
19 mnflt 11218 . . . . 5  |-  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
2012, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  -> -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
21 difioo 26237 . . . 4  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR*  /\  (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR* )  /\ -oo  <  ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( -oo (,) ( ( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) ) )  =  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
225, 13, 18, 20, 21syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  \  ( -oo (,) ( X  / 
( 2 ^ N
) ) ) )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
23 brsigarn 26763 . . . . 5  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
24 elrnsiga 26734 . . . . 5  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |- 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra
26 retop 20475 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
27 iooretop 20480 . . . . . 6  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
28 elsigagen 26755 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . 5  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
30 df-brsiga 26761 . . . . 5  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3129, 30eleqtrri 2541 . . . 4  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
32 iooretop 20480 . . . . . 6  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
33 elsigagen 26755 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3426, 32, 33mp2an 672 . . . . 5  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
3534, 30eleqtrri 2541 . . . 4  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
36 difelsiga 26741 . . . 4  |-  ( (𝔅  e.  U.
ran sigAlgebra  /\  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅  /\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )  ->  ( ( -oo (,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) )  \ 
( -oo (,) ( X  /  ( 2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅 )
3725, 31, 35, 36mp3an 1315 . . 3  |-  ( ( -oo (,) ( ( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅
3822, 37syl6eqelr 2551 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )
393, 38eqeltrd 2542 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399   -oocmnf 9530   RR*cxr 9531    < clt 9532    / cdiv 10107   2c2 10485   ZZcz 10760   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   [,)cico 11416   ^cexp 11985   topGenctg 14498   Topctop 18633  sigAlgebracsiga 26715  sigaGencsigagen 26746  𝔅cbrsiga 26760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-ac2 8746  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-ac 8400  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-seq 11927  df-exp 11986  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-siga 26716  df-sigagen 26747  df-brsiga 26761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator