Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Structured version   Unicode version

Theorem dya2iocbrsiga 28071
Description: Dyadic intervals are Borel sets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)    N( x, n)    X( x, n)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . 3  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
31, 2dya2iocival 28069 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) ) )
4 mnfxr 11335 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  -> -oo  e.  RR* )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  ZZ )
76zred 10978 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  X  e.  RR )
8 2rp 11237 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR+
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
119, 10rpexpcld 12313 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ N
)  e.  RR+ )
127, 11rerpdivcld 11295 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1312rexrd 9655 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
14 1re 9607 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
167, 15readdcld 9635 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X  +  1 )  e.  RR )
1716, 11rerpdivcld 11295 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR )
1817rexrd 9655 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR* )
19 mnflt 11345 . . . . 5  |-  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
2012, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  -> -oo  <  ( X  /  ( 2 ^ N ) ) )
21 difioo 27416 . . . 4  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( X  /  (
2 ^ N ) )  e.  RR*  /\  (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) )  e.  RR* )  /\ -oo  <  ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  ->  (
( -oo (,) ( ( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) ) )  =  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) )
225, 13, 18, 20, 21syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  \  ( -oo (,) ( X  / 
( 2 ^ N
) ) ) )  =  ( ( X  /  ( 2 ^ N ) ) [,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) ) )
23 brsigarn 27980 . . . . 5  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
24 elrnsiga 27951 . . . . 5  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |- 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra
26 retop 21136 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
27 iooretop 21141 . . . . . 6  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
28 elsigagen 27972 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
2926, 27, 28mp2an 672 . . . . 5  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
30 df-brsiga 27978 . . . . 5  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3129, 30eleqtrri 2554 . . . 4  |-  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
32 iooretop 21141 . . . . . 6  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
33 elsigagen 27972 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3426, 32, 33mp2an 672 . . . . 5  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
3534, 30eleqtrri 2554 . . . 4  |-  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅
36 difelsiga 27958 . . . 4  |-  ( (𝔅  e.  U.
ran sigAlgebra  /\  ( -oo (,) ( ( X  + 
1 )  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅  /\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )  ->  ( ( -oo (,) ( ( X  +  1 )  / 
( 2 ^ N
) ) )  \ 
( -oo (,) ( X  /  ( 2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅 )
3725, 31, 35, 36mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( -oo (,) ( ( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( X  /  (
2 ^ N ) ) ) )  e. 𝔅
3822, 37syl6eqelr 2564 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( ( X  / 
( 2 ^ N
) ) [,) (
( X  +  1 )  /  ( 2 ^ N ) ) )  e. 𝔅 )
393, 38eqeltrd 2555 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( X I N )  e. 𝔅 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   RRcr 9503   1c1 9505    + caddc 9507   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    / cdiv 10218   2c2 10597   ZZcz 10876   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,)cico 11543   ^cexp 12146   topGenctg 14710   Topctop 19263  sigAlgebracsiga 27932  sigaGencsigagen 27963  𝔅cbrsiga 27977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-ac2 8855  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-seq 12088  df-exp 12147  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-siga 27933  df-sigagen 27964  df-brsiga 27978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator