Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Unicode version

Theorem dya2icoseg2 28122
 Description: For any point and any open interval of containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0
dya2ioc.1
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6
2 dya2ioc.1 . . . . . 6
3 eqid 2443 . . . . . 6 logb logb
41, 2, 3dya2icoseg 28121 . . . . 5
54ralrimiva 2857 . . . 4
7 simp3 999 . . . . 5
8 iooex 11561 . . . . . . . . . 10
98rnex 6719 . . . . . . . . 9
10 bastg 19340 . . . . . . . . 9
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8
12 simp2 998 . . . . . . . 8
1311, 12sseldi 3487 . . . . . . 7
1413, 1syl6eleqr 2542 . . . . . 6
15 eqid 2443 . . . . . . . . 9
1615rexmet 21169 . . . . . . . 8
17 recms 21685 . . . . . . . . . . 11 RRfld CMetSp
18 cmsms 21660 . . . . . . . . . . 11 RRfld CMetSp RRfld
19 msxms 20830 . . . . . . . . . . 11 RRfld RRfld
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 RRfld
21 retopn 21684 . . . . . . . . . . . 12 RRfld
221, 21eqtri 2472 . . . . . . . . . . 11 RRfld
23 rebase 18515 . . . . . . . . . . 11 RRfld
24 reds 18525 . . . . . . . . . . . 12 RRfld
2524reseq1i 5259 . . . . . . . . . . 11 RRfld
2622, 23, 25xmstopn 20827 . . . . . . . . . 10 RRfld
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9
2827elmopn2 20821 . . . . . . . 8
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7
3029simprbi 464 . . . . . 6
3114, 30syl 16 . . . . 5
32 oveq1 6288 . . . . . . . 8
3332sseq1d 3516 . . . . . . 7
3433rexbidv 2954 . . . . . 6
3534rspcva 3194 . . . . 5
367, 31, 35syl2anc 661 . . . 4
37 rpre 11235 . . . . . . 7
3815bl2ioo 21170 . . . . . . . 8
3938sseq1d 3516 . . . . . . 7
4037, 39sylan2 474 . . . . . 6
4140rexbidva 2951 . . . . 5
42413ad2ant1 1018 . . . 4
4336, 42mpbid 210 . . 3
44 r19.29 2978 . . 3
456, 43, 44syl2anc 661 . 2
46 r19.41v 2995 . . . 4
47 sstr 3497 . . . . . . 7
4847anim2i 569 . . . . . 6
4948anassrs 648 . . . . 5
5049reximi 2911 . . . 4
5146, 50sylbir 213 . . 3
5251rexlimivw 2932 . 2
5345, 52syl 16 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  wral 2793  wrex 2794  cvv 3095   wss 3461   cxp 4987   crn 4990   cres 4991   ccom 4993  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cr 9494  c1 9496   caddc 9498   cmin 9810   cdiv 10212  c2 10591  cz 10870  crp 11229  cioo 11538  cico 11540  cfl 11906  cexp 12145  cabs 13046  cds 14583  ctopn 14696  ctg 14712  cxmt 18277  cbl 18279  cmopn 18282  RRfldcrefld 18513  cxme 20693  cmt 20694  CMetSpccms 21644  logbclogb 27879 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-fac 12333  df-bc 12360  df-hash 12385  df-shft 12879  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-limsup 13273  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-ef 13681  df-sin 13683  df-cos 13684  df-pi 13686  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-refld 18514  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-fcls 20315  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-cfil 21567  df-cmet 21569  df-cms 21647  df-limc 22143  df-dv 22144  df-log 22816  df-cxp 22817  df-logb 27880 This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  28125
 Copyright terms: Public domain W3C validator