Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg Structured version   Unicode version

Theorem dya2icoseg 28606
 Description: For any point and any closed-below, open-above interval of centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0
dya2ioc.1
dya2icoseg.1 logb
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem dya2icoseg
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . . 5
2 ovex 6260 . . . . 5
31, 2fnmpt2i 6805 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 simpl 455 . . . . 5
6 2rp 11186 . . . . . . 7
7 dya2icoseg.1 . . . . . . . 8 logb
8 1red 9559 . . . . . . . . . 10
9 2z 10855 . . . . . . . . . . . 12
10 uzid 11057 . . . . . . . . . . . 12
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
12 relogbzcl 23331 . . . . . . . . . . 11 logb
1311, 12mpan 668 . . . . . . . . . 10 logb
148, 13resubcld 9946 . . . . . . . . 9 logb
1514flcld 11883 . . . . . . . 8 logb
167, 15syl5eqel 2492 . . . . . . 7
17 rpexpcl 12137 . . . . . . . 8
1817rpred 11220 . . . . . . 7
196, 16, 18sylancr 661 . . . . . 6
2019adantl 464 . . . . 5
215, 20remulcld 9572 . . . 4
2221flcld 11883 . . 3
24 fnovrn 6385 . . 3
254, 22, 23, 24syl3anc 1228 . 2
2622zred 10926 . . . . . 6
276, 23, 17sylancr 661 . . . . . 6
28 fllelt 11882 . . . . . . . 8
2921, 28syl 17 . . . . . . 7
3029simpld 457 . . . . . 6
3126, 21, 27, 30lediv1dd 11274 . . . . 5
325recnd 9570 . . . . . 6
3320recnd 9570 . . . . . 6
34 2cnd 10567 . . . . . . 7
35 2ne0 10587 . . . . . . . 8
3635a1i 11 . . . . . . 7
3734, 36, 23expne0d 12268 . . . . . 6
3832, 33, 37divcan4d 10285 . . . . 5
3931, 38breqtrd 4416 . . . 4
40 1red 9559 . . . . . . 7
4126, 40readdcld 9571 . . . . . 6
4229simprd 461 . . . . . 6
4321, 41, 27, 42ltdiv1dd 11273 . . . . 5
4438, 43eqbrtrrd 4414 . . . 4
4526, 20, 37redivcld 10331 . . . . 5
4641, 20, 37redivcld 10331 . . . . . 6
4746rexrd 9591 . . . . 5
48 elico2 11557 . . . . 5
4945, 47, 48syl2anc 659 . . . 4
505, 39, 44, 49mpbir3and 1178 . . 3
51 sxbrsiga.0 . . . . 5
5251, 1dya2iocival 28602 . . . 4
5323, 22, 52syl2anc 659 . . 3
5450, 53eleqtrrd 2491 . 2
55 simpr 459 . . . . . . 7
5655rpred 11220 . . . . . 6
575, 56resubcld 9946 . . . . 5
5857rexrd 9591 . . . 4
595, 56readdcld 9571 . . . . 5
6059rexrd 9591 . . . 4
6120, 37rereccld 10330 . . . . . 6
625, 61resubcld 9946 . . . . 5
637oveq2i 6243 . . . . . . . 8 logb
6463oveq2i 6243 . . . . . . 7 logb
65 dya2ub 28599 . . . . . . . 8 logb
6665adantl 464 . . . . . . 7 logb
6764, 66syl5eqbr 4425 . . . . . 6
6861, 56, 5, 67ltsub2dd 10123 . . . . 5
6932, 33mulcld 9564 . . . . . . . 8
70 1cnd 9560 . . . . . . . 8
7169, 70, 33, 37divsubdird 10318 . . . . . . 7
7238oveq1d 6247 . . . . . . 7
7371, 72eqtrd 2441 . . . . . 6
7421, 40resubcld 9946 . . . . . . 7
7521, 41, 40, 42ltsub1dd 10122 . . . . . . . . 9
7626recnd 9570 . . . . . . . . . 10
7776, 70pncand 9886 . . . . . . . . 9
7875, 77breqtrd 4416 . . . . . . . 8
7974, 26, 78ltled 9683 . . . . . . 7
8074, 26, 27, 79lediv1dd 11274 . . . . . 6
8173, 80eqbrtrrd 4414 . . . . 5
8257, 62, 45, 68, 81ltletrd 9694 . . . 4
835, 61readdcld 9571 . . . . . 6
8421, 40readdcld 9571 . . . . . . . 8
8526, 21, 40, 30leadd1dd 10124 . . . . . . . 8
8641, 84, 27, 85lediv1dd 11274 . . . . . . 7
8769, 70, 33, 37divdird 10317 . . . . . . . 8
8838oveq1d 6247 . . . . . . . 8
8987, 88eqtrd 2441 . . . . . . 7
9086, 89breqtrd 4416 . . . . . 6
9161, 56, 5, 67ltadd2dd 9693 . . . . . 6
9246, 83, 59, 90, 91lelttrd 9692 . . . . 5
9346, 59, 92ltled 9683 . . . 4
94 icossioo 11584 . . . 4
9558, 60, 82, 93, 94syl22anc 1229 . . 3
9653, 95eqsstrd 3473 . 2
97 eleq2 2473 . . . 4
98 sseq1 3460 . . . 4
9997, 98anbi12d 709 . . 3
10099rspcev 3157 . 2
10125, 54, 96, 100syl12anc 1226 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wrex 2752   wss 3411   class class class wbr 4392   cxp 4938   crn 4941   wfn 5518  cfv 5523  (class class class)co 6232   cmpt2 6234  cr 9439  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445  cxr 9575   clt 9576   cle 9577   cmin 9759   cdiv 10165  c2 10544  cz 10823  cuz 11043  crp 11181  cioo 11498  cico 11500  cfl 11875  cexp 12118  ctg 14942   logb clogb 23321 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126  df-cxp 23127  df-logb 23322 This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  28607
 Copyright terms: Public domain W3C validator