Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icobrsiga Structured version   Unicode version

Theorem dya2icobrsiga 27887
Description: Dyadic intervals are Borel sets of  RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dya2icobrsiga  |-  ran  I  C_ 𝔅
Distinct variable group:    x, n
Allowed substitution hints:    I( x, n)    J( x, n)

Proof of Theorem dya2icobrsiga
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dya2ioc.1 . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
2 ovex 6307 . . . 4  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 
_V
31, 2elrnmpt2 6397 . . 3  |-  ( d  e.  ran  I  <->  E. x  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  d  =  ( ( x  /  (
2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  d  =  ( ( x  /  (
2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  d  =  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
5 mnfxr 11319 . . . . . . . . . 10  |- -oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  -> -oo  e.  RR* )
7 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
87zred 10962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
9 2rp 11221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR+
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  2  e.  RR+ )
11 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
1210, 11rpexpcld 12297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2 ^ n
)  e.  RR+ )
138, 12rerpdivcld 11279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR )
1413rexrd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR* )
15 1re 9591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
178, 16readdcld 9619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
1817, 12rerpdivcld 11279 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR )
1918rexrd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR* )
20 mnflt 11329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR  -> -oo  <  ( x  /  ( 2 ^ n ) ) )
2113, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  -> -oo  <  ( x  /  ( 2 ^ n ) ) )
22 difioo 27261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo  e.  RR*  /\  ( x  /  (
2 ^ n ) )  e.  RR*  /\  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR* )  /\ -oo  <  ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  (
( -oo (,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) ) )  =  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
236, 14, 19, 21, 22syl31anc 1231 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  \  ( -oo (,) ( x  / 
( 2 ^ n
) ) ) )  =  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) ) )
24 brsigarn 27795 . . . . . . . . . 10  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
25 elrnsiga 27766 . . . . . . . . . 10  |-  (𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )  -> 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |- 𝔅  e.  U. ran sigAlgebra
27 retop 21003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
28 iooretop 21008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
29 elsigagen 27787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3027, 28, 29mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
31 df-brsiga 27793 . . . . . . . . . 10  |- 𝔅  =  (sigaGen `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3230, 31eleqtrri 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e. 𝔅
33 iooretop 21008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
34 elsigagen 27787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3527, 33, 34mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e.  (sigaGen `  ( topGen `  ran  (,) )
)
3635, 31eleqtrri 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e. 𝔅
37 difelsiga 27773 . . . . . . . . 9  |-  ( (𝔅  e.  U.
ran sigAlgebra  /\  ( -oo (,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  e. 𝔅  /\  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) )  e. 𝔅 )  ->  ( ( -oo (,) ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  \ 
( -oo (,) ( x  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  e. 𝔅 )
3826, 32, 36, 37mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) 
\  ( -oo (,) ( x  /  (
2 ^ n ) ) ) )  e. 𝔅
3923, 38syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  e. 𝔅 )
4039adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  d  =  ( ( x  /  (
2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  ( (
x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ n
) ) )  e. 𝔅 )
414, 40eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  d  =  ( ( x  /  (
2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  d  e. 𝔅 )
4241ex 434 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( d  =  ( ( x  /  (
2 ^ n ) ) [,) ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) )  ->  d  e. 𝔅 ) )
4342rexlimivv 2960 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  d  =  ( ( x  /  ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ n ) ) )  ->  d  e. 𝔅 )
443, 43sylbi 195 . 2  |-  ( d  e.  ran  I  -> 
d  e. 𝔅 )
4544ssriv 3508 1  |-  ran  I  C_ 𝔅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    \ cdif 3473    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   ^cexp 12130   topGenctg 14689   Topctop 19161  sigAlgebracsiga 27747  sigaGencsigagen 27778  𝔅cbrsiga 27792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-ac 8493  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-seq 12072  df-exp 12131  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-siga 27748  df-sigagen 27779  df-brsiga 27793
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  27897  sxbrsigalem5  27899
  Copyright terms: Public domain W3C validator