Theorem dya2icobrsiga 27887

Description: Dyadic intervals are Borel sets of RR. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 13-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dya2icobrsiga	|- ran I C_ 𝔅ℝ

Distinct variable group:   x, n

Allowed substitution hints:   I( x, n)   J( x, n)

Proof of Theorem dya2icobrsiga

Dummy variable d is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . 4 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
2		ovex 6307	. . . 4 |- ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. _V
3	1, 2	elrnmpt2 6397	. . 3 |- ( d e. ran I <-> E. x e. ZZ E. n e. ZZ d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
4		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
5		mnfxr 11319	. . . . . . . . . 10 |- -oo e. RR*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> -oo e. RR* )
7		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> x e. ZZ )
8	7	zred 10962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> x e. RR )
9		2rp 11221	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR+ )
11		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
12	10, 11	rpexpcld 12297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
13	8, 12	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( x / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
14	13	rexrd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( x / ( 2 ^ n ) ) e. RR* )
15		1re 9591	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> 1 e. RR )
17	8, 16	readdcld 9619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( x + 1 ) e. RR )
18	17, 12	rerpdivcld 11279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
19	18	rexrd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR* )
20		mnflt 11329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / ( 2 ^ n ) ) e. RR -> -oo < ( x / ( 2 ^ n ) ) )
21	13, 20	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> -oo < ( x / ( 2 ^ n ) ) )
22		difioo 27261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -oo e. RR* /\ ( x / ( 2 ^ n ) ) e. RR* /\ ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) e. RR* ) /\ -oo < ( x / ( 2 ^ n ) ) ) -> ( ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) \ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) ) = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
23	6, 14, 19, 21, 22	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) \ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) ) = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
24		brsigarn 27795	. . . . . . . . . 10 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
25		elrnsiga 27766	. . . . . . . . . 10 |- (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) -> 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- 𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra
27		retop 21003	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
28		iooretop 21008	. . . . . . . . . . 11 |- ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
29		elsigagen 27787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
30	27, 28, 29	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
31		df-brsiga 27793	. . . . . . . . . 10 |- 𝔅ℝ = (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
32	30, 31	eleqtrri 2554	. . . . . . . . 9 |- ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ
33		iooretop 21008	. . . . . . . . . . 11 |- ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) )
34		elsigagen 27787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
35	27, 33, 34	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. (sigaGen ` ( topGen ` ran (,) ) )
36	35, 31	eleqtrri 2554	. . . . . . . . 9 |- ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ
37		difelsiga 27773	. . . . . . . . 9 |- ( (𝔅ℝ e. U. ran sigAlgebra /\ ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ /\ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ ) -> ( ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) \ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. 𝔅ℝ )
38	26, 32, 36, 37	mp3an 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( -oo (,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) \ ( -oo (,) ( x / ( 2 ^ n ) ) ) ) e. 𝔅ℝ
39	23, 38	syl6eqelr 2564	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ )
40	39	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) e. 𝔅ℝ )
41	4, 40	eqeltrd 2555	. . . . 5 |- ( ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) ) -> d e. 𝔅ℝ )
42	41	ex 434	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) -> d e. 𝔅ℝ ) )
43	42	rexlimivv 2960	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. n e. ZZ d = ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) -> d e. 𝔅ℝ )
44	3, 43	sylbi 195	. 2 |- ( d e. ran I -> d e. 𝔅ℝ )
45	44	ssriv 3508	1 |- ran I C_ 𝔅ℝ

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   \ cdif 3473   C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   RRcr 9487   1c1 9489   + caddc 9491   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623   < clt 9624   / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   ^cexp 12130   topGenctg 14689   Topctop 19161  sigAlgebracsiga 27747  sigaGencsigagen 27778  𝔅_ℝcbrsiga 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-ac2 8839  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-ac 8493  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-seq 12072  df-exp 12131  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-siga 27748  df-sigagen 27779  df-brsiga 27793

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem2  27897  sxbrsigalem5  27899