MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvtaylp Unicode version

Theorem dvtaylp 20239
Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvtaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvtaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvtaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvtaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvtaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvtaylp  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )

Proof of Theorem dvtaylp
Dummy variables  j 
k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  _V
2 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18770 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
43toponunii 16952 . . . . . . 7  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
54restid 13616 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  _V  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
61, 5ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
76eqcomi 2408 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
8 cnex 9027 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
98prid2 3873 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
11 toponmax 16948 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
123, 11mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
13 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
14 dvtaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
1514adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
168a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
17 dvtaylp.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
18 dvtaylp.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
19 elpm2r 6993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2016, 14, 17, 18, 19syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
2120adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
22 elfznn0 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
24 dvnf 19766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n F ) `
 k ) : dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) --> CC )
2515, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
) : dom  (
( S  D n F ) `  k
) --> CC )
26 0z 10249 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
27 dvtaylp.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
28 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
3029nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
31 fzval2 11002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3226, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  =  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
3332eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) ) )
3433biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )
35 dvtaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
3614, 17, 18, 29, 35taylplem1 20232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  +  1 ) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3734, 36syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  D n F ) `
 k ) )
3825, 37ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
39 faccl 11531 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4023, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4140nncnd 9972 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
4240nnne0d 10000 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
4338, 41, 42divcld 9746 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
44433adant3 977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
45 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
46 recnprss 19744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4714, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
4818, 47sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
49 dvnbss 19767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  dom  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) )  C_  dom  F )
5014, 20, 29, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  dom  F )
51 fdm 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
5217, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
5350, 52sseqtrd 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) )  C_  A )
5453, 35sseldd 3309 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
5548, 54sseldd 3309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
56553ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
5745, 56subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
58223ad2ant2 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
5957, 58expcld 11478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
6044, 59mulcld 9064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) )  e.  CC )
61 0cn 9040 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
6261a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  k  =  0 )  -> 
0  e.  CC )
6358nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  k  e.  CC )
6463adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  CC )
6557adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( x  -  B )  e.  CC )
6658adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN0 )
67 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  -.  k  = 
0 )
6867neneqad 2637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  =/=  0
)
69 elnnne0 10191 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 ) )
7066, 68, 69sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  k  e.  NN )
71 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
7270, 71syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  - 
1 )  e.  NN0 )
7365, 72expcld 11478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) )  e.  CC )
7464, 73mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  /\  -.  k  =  0 )  ->  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )  e.  CC )
7562, 74ifclda 3726 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
7644, 75mulcld 9064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
779a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
78593expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( x  -  B
) ^ k )  e.  CC )
79753expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
80573expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
81 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
8281a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
83 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
8423adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  k  e.  NN0 )
8583, 84expcld 11478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  (
y ^ k )  e.  CC )
86 c0ex 9041 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
87 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) )  e. 
_V
8886, 87ifex 3757 . . . . . . . 8  |-  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^
( k  -  1 ) ) ) )  e.  _V
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  y  e.  CC )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  _V )
90 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
9177dvmptid 19796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
9255ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
9361a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
9455adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
9577, 94dvmptc 19797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  B ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
9677, 90, 82, 91, 92, 93, 95dvmptsub 19806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
9781subid1i 9328 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9897mpteq2i 4252 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 )
9996, 98syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x  -  B ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  1 ) )
100 dvexp2 19793 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
10123, 100syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
k ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
102 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ k )  =  ( ( x  -  B ) ^
k ) )
103 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
y ^ ( k  -  1 ) )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
104103oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  (
k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
105104ifeq2d 3714 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x  -  B )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( y ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
10677, 77, 80, 82, 85, 89, 99, 101, 102, 105dvmptco 19811 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) ) )
10779mulid1d 9061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  1 )  =  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )
108107mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
109106, 108eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( x  -  B ) ^
k ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) ) ) )
11077, 78, 79, 109, 43dvmptcmul 19803 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) ) )
1117, 2, 10, 12, 13, 60, 76, 110dvmptfsum 19812 . . 3  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
112 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
113112a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  1  e.  ZZ )
11426a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  ZZ )
11527nn0zd 10329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
116115adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  N  e.  ZZ )
117 dvfg 19746 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F
) --> CC )
11814, 117syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
11947, 17, 18dvbss 19741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  A
)
120119, 18sstrd 3318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( S  _D  F )  C_  S
)
121 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
123 dvnadd 19768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  N ) ) )
12414, 20, 122, 27, 123syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) ) )
125 dvn1 19765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
12647, 20, 125syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
127126oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
128127fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 1 ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N ) )
12981a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
13027nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
131129, 130addcomd 9224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  N
)  =  ( N  +  1 ) )
132131fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n F ) `  (
1  +  N ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
133124, 128, 1323eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `  ( N  +  1 ) ) )
134133dmeqd 5031 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 N )  =  dom  ( ( S  D n F ) `
 ( N  + 
1 ) ) )
13535, 134eleqtrrd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  N
) )
13614, 118, 120, 27, 135taylplem2 20233 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  e.  CC )
137 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
138137fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  =  ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B ) )
139 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )
140138, 139oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 j ) `  B )  /  ( ! `  j )
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
141 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( x  -  B
) ^ j )  =  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )
142140, 141oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
143113, 114, 116, 136, 142fsumshft 12518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `  B
)  /  ( ! `
 j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
j ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
144 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
145144adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
146145nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
147 ifnefalse 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =/=  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )
149148oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
150 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ph )
151 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
152121, 151eleqtri 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
153 fzss1 11047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
154152, 153ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
155154sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
156155adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
157150, 156, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
158145nncnd 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
159 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  x  e.  CC )
16055ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
161159, 160subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
x  -  B )  e.  CC )
162145, 71syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
163161, 162expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) )  e.  CC )
164157, 158, 163mulassd 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
165 facp1 11526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )
166162, 165syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) ) )
16781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
168158, 167npcand 9371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
169168fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( (
k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ! `  k ) )
170168oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
171166, 169, 1703eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  k )  =  ( ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  x.  k ) )
172171oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  x.  k
)  /  ( ( ! `  ( k  -  1 ) )  x.  k ) ) )
17323nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17438, 173, 41, 42div23d 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
175150, 156, 174syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  ( ! `  k )
)  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  k ) )
176150, 156, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  e.  CC )
177 faccl 11531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  - 
1 ) )  e.  NN )
178162, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  NN )
179178nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  e.  CC )
180178nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  ( k  -  1 ) )  =/=  0 )
181176, 179, 158, 180, 146divcan5rd 9773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) ) )
18214ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
18320ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
184121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  NN0 )
185 dvnadd 19768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( 1  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) ) `  ( k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( 1  +  ( k  -  1 ) ) ) )
186182, 183, 184, 162, 185syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( 1  +  ( k  - 
1 ) ) ) )
187126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
188187oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( S  D n ( ( S  D n F ) `  1 ) )  =  ( S  D n ( S  _D  F ) ) )
189188fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  1
) ) `  (
k  -  1 ) )  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
190167, 158pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
1  +  ( k  -  1 ) )  =  k )
191190fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  (
1  +  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( S  D n F ) `  k ) )
192186, 189, 1913eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( S  D n F ) `  k
)  =  ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) )
193192fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  =  ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B ) )
194193oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
195181, 194eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  x.  k )  /  (
( ! `  (
k  -  1 ) )  x.  k ) )  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
196172, 175, 1953eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  k
)  =  ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) ) )
197196oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  k )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `
 ( k  - 
1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
198149, 164, 1973eqtr2d 2442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `
 B )  / 
( ! `  (
k  -  1 ) ) )  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) )
199198sumeq2dv 12452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
200 0p1e1 10049 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
201200oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
202201sumeq1i 12447 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  ( k  -  1 ) ) `  B
)  /  ( ! `
 ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) )
203199, 202syl6eqr 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  (
k  -  1 ) ) `  B )  /  ( ! `  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ (
k  -  1 ) ) ) )
204154a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
20579an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
206155, 205sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  e.  CC )
207157, 206mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )  e.  CC )
208 eldif 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  /\  -.  k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ) )
20969biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
21022, 209sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  NN )
211 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
212210, 211syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
213 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
214213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) )
215 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  k ) ) )
216212, 214, 215sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  k  =/=  0 )  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
217216ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
218217adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  =/=  0  -> 
k  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
219218necon1bd 2635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) )  -> 
k  =  0 ) )
220219impr 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  (
k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  /\  -.  k  e.  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
221208, 220sylan2b 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  k  = 
0 )
222 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  =  0 )
223221, 222syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  if (
k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  0 )
224223oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 ) )
225 eldifi 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 1 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
22643adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
227225, 226sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
228227mul01d 9221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  0 )  =  0 )
229224, 228eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  CC )  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )  ->  ( (
( ( ( S  D n F ) `
 k ) `  B )  /  ( ! `  k )
)  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^
( k  -  1 ) ) ) ) )  =  0 )
230 fzfid 11267 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  e. 
Fin )
231204, 207, 229, 230fsumss 12474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) ) )
232143, 203, 2313eqtr2rd 2443 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  (
( x  -  B
) ^ ( k  -  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) )
233232mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  if ( k  =  0 ,  0 ,  ( k  x.  ( ( x  -  B ) ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
234111, 233eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n ( S  _D  F ) ) `  j ) `
 B )  / 
( ! `  j
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ j ) ) ) )
235 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B )
23614, 17, 18, 29, 35, 235taylpfval 20234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k
) `  B )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ k
) ) ) )
237236oveq2d 6056 . 2  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( ( ( S  D n F ) `  k ) `
 B )  / 
( ! `  k
) )  x.  (
( x  -  B
) ^ k ) ) ) ) )
238 eqid 2404 . . 3  |-  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B )
23914, 118, 120, 27, 135, 238taylpfval 20234 . 2  |-  ( ph  ->  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F
) ) B )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S  D n
( S  _D  F
) ) `  j
) `  B )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( ( x  -  B ) ^ j
) ) ) )
240234, 237, 2393eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( CC  _D  (
( N  +  1 ) ( S Tayl  F
) B ) )  =  ( N ( S Tayl  ( S  _D  F ) ) B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ifcif 3699   {cpr 3775    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   [,]cicc 10875   ...cfz 10999   ^cexp 11337   !cfa 11521   sum_csu 12434   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914    _D cdv 19703    D ncdvn 19704   Tayl ctayl 20222
This theorem is referenced by:  dvntaylp  20240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-tsms 18109  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-dvn 19708  df-tayl 20224
  Copyright terms: Public domain W3C validator