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Theorem dvtanlemOLD 31892
Description: Lemma for dvtan 31893- the domain of the tangent is open. (Contributed by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.) Obsolete version of dvtanlem 31891 as of 3-Jul-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dvtanlemOLD  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvtanlemOLD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 14115 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
2 ffun 5684 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  Fun 
cos )
3 difpreima 5960 . . . 4  |-  ( Fun 
cos  ->  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . 3  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC )  \  ( `' cos " { 0 } ) )
5 fimacnv 5964 . . . . 5  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  ( `' cos " CC )  =  CC )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' cos " CC )  =  CC
7 0re 9587 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ffn 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
10 dffn5 5863 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
119, 10mpbi 211 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
1211mptiniseg 5284 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 } )
137, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 }
14 sinhalfpip 23382 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )  =  ( cos `  x
) )
1514eqeq1d 2424 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  ( cos `  x )  =  0 ) )
16 halfpire 23354 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
18 addcl 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC )
1917, 18mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC )
20 sineq0 23411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2215, 21bitr3d 258 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2322rabbiia 3004 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( cos `  x )  =  0 }  =  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
2413, 23eqtri 2444 . . . 4  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
256, 24difeq12i 3517 . . 3  |-  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
264, 25eqtri 2444 . 2  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
27 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2827recld2 21767 . . . 4  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 nftru 1671 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
30 nfcv 2563 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )
31 nfcv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x RR
32 nfrab1 2942 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
3331, 32nfdif 3522 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( RR  \  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
34 eliun 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
35 elioore 11610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
3635adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
37 zre 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
38 pire 23348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  pi  e.  RR
39 remulcl 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  RR )
4038, 39mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  y )  e.  RR )
41 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4240, 16, 41sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4342rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
44 peano2re 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
45 remulcl 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
4638, 44, 45sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
47 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4846, 16, 47sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4948rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
50 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
52 ltadd2 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5316, 52mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5442, 53sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
55 readdcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
5616, 42, 55sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
57 readdcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )
5816, 57mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR )
59 pipos 23350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  pi
6038, 59pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
61 ltdiv1 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
6260, 61mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )
6356, 58, 62syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  (
( pi  /  2
)  +  x )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
64 recn 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
65 picn 23349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  pi  e.  CC
66 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  CC )
6765, 66mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  CC  ->  (
pi  x.  y )  e.  CC )
68 pncan3 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
6917, 67, 68sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
7069oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  y )  /  pi ) )
717, 59gtneii 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  pi  =/=  0
72 divcan3 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7365, 71, 72mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7470, 73eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7564, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7675adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7776breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  y  <  ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )
7854, 63, 773bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
7938, 45mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
8079, 16, 47sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
81 ltadd2 9682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8216, 81mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8380, 82sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
84 readdcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
8516, 80, 84sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
86 ltdiv1 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) ) )
8760, 86mp3an3 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
8858, 85, 87syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
89 recn 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
90 mulcl 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
9165, 90mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
92 pncan3 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9317, 91, 92sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9493oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  /  pi ) )
95 divcan3 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9665, 71, 95mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9794, 96eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9889, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9998adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  =  (
y  +  1 ) )
10099breq2d 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) 
<->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10183, 88, 1003bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10244, 101sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
103102ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10478, 103anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
105104biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( y  <  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
106105exp4b 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  -> 
( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
1071063impd 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10851, 107sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10937, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
110109imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
111 btwnnz 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( y  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
1121113expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ )
113110, 112syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
114113olcd 394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
115 ianor 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
116 rabid 2938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
117115, 116xchnxbir 310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
118114, 117sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
11936, 118eldifd 3383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
120119rexlimiva 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
121 eldif 3382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
122 recn 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
123122biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) ) )
124123, 116syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
125124notbid 295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
126125pm5.32i 641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
127121, 126bitr4i 255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
128 redivcl 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
12938, 71, 128mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
13058, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
131130flcld 11977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  ZZ )
132131adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ )
133 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
134 flle 11978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
135130, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
136135adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <_  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
137 nelne2 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  =/=  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
138137necomd 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
139131, 138sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
140131zred 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
141 pirp 23351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  e.  RR+
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  pi  e.  RR+ )
143140, 130, 142ltmul2d 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( pi  x.  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )  <  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
144140, 130ltlend 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
145 remulcl 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
14638, 140, 145sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
147 remulcl 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  RR )
14838, 130, 147sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
150146, 148, 149ltsub1d 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  < 
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
151143, 144, 1503bitr3rd 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
152151adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
153136, 139, 152mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
154 divcan2 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15565, 71, 154mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15619, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
157156oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  -  ( pi  /  2
) ) )
158 pncan2 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
15917, 158mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
160157, 159eqtrd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
161122, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
162161adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
163153, 162breqtrd 4384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  x )
164 peano2re 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
165140, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
166 remulcl 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
16738, 165, 166sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
168 flltp1 11979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
169130, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
170130, 165, 142, 169ltmul2dd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  <  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
171148, 167, 149, 170ltsub1dd 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
172161, 171eqbrtrrd 4382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
173172adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )
174 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  e.  RR )  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
175146, 16, 174sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
176175rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR* )
177 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
178167, 16, 177sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
179178rexrd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
180 elioo2 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
181176, 179, 180syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
182181adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
183133, 163, 173, 182mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
184 oveq2 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  y )  =  ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
185184oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) )
186 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
187186oveq2d 6258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
188187oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
189185, 188oveq12d 6260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
190189eleq2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
191190rspcev 3118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
192132, 183, 191syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )
193127, 192sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
194120, 193impbii 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
19534, 194bitri 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
196195a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) ) )
19729, 30, 33, 196eqrd 3418 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
198197trud 1446 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
199 retop 21717 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
200 iooretop 21721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
201200rgenw 2720 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
202 iunopn 19863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
203199, 201, 202mp2an 676 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
204198, 203eqeltrri 2497 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
205 rabss 3474 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR 
<-> 
A. x  e.  CC  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
206 zre 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
207 remulcl 9568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
208206, 38, 207sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
209 resubcl 9882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
210208, 16, 209sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
211 divcan1 10223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21265, 71, 211mp3an23 1352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21319, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
214213oveq1d 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) ) )
215214, 159eqtrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  x )
216215eleq1d 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
217210, 216syl5ib 222 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
218205, 217mprgbir 2723 . . . . . . 7  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR
219 uniretop 21718 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
220219iscld2 19978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR )  ->  ( { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
221199, 218, 220mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
222204, 221mpbir 212 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22327tgioo2 21756 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
224223fveq2i 5821 . . . . 5  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
225222, 224eleqtri 2498 . . . 4  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) )
226 restcldr 20125 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) ) )  ->  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
22728, 225, 226mp2an 676 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
22827cnfldtopon 21738 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
229228toponunii 19882 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
230229cldopn 19981 . . 3  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
231227, 230ax-mp 5 . 2  |-  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23226, 231eqeltri 2496 1  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2593   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712    \ cdif 3369    C_ wss 3372   {csn 3934   U_ciun 4235   class class class wbr 4359    |-> cmpt 4418   `'ccnv 4788   ran crn 4790   "cima 4792   Fun wfun 5531    Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    x. cmul 9488   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9804    / cdiv 10213   2c2 10603   ZZcz 10881   RR+crp 11246   (,)cioo 11579   |_cfl 11969   sincsin 14052   cosccos 14053   picpi 14055   ↾t crest 15255   TopOpenctopn 15256   topGenctg 15272  ℂfldccnfld 18906   Topctop 19852   Clsdccld 19966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ioc 11584  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-mod 12040  df-seq 12157  df-exp 12216  df-fac 12403  df-bc 12431  df-hash 12459  df-shft 13067  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-limsup 13462  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-ef 14057  df-sin 14059  df-cos 14060  df-pi 14062  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
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