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Theorem dvtanlem 29657
Description: Lemma for dvtan 29658- the domain of the tangent is open. (Contributed by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvtanlem  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvtanlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 13720 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
2 ffun 5732 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  Fun 
cos )
3 difpreima 6008 . . . 4  |-  ( Fun 
cos  ->  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . 3  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC )  \  ( `' cos " { 0 } ) )
5 fimacnv 6012 . . . . 5  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  ( `' cos " CC )  =  CC )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' cos " CC )  =  CC
7 0re 9595 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ffn 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
10 dffn5 5912 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
119, 10mpbi 208 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
1211mptiniseg 5500 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 } )
137, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 }
14 sinhalfpip 22634 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )  =  ( cos `  x
) )
1514eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  ( cos `  x )  =  0 ) )
16 halfpire 22606 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
18 addcl 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC )
1917, 18mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC )
20 sineq0 22663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2215, 21bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2322rabbiia 3102 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( cos `  x )  =  0 }  =  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
2413, 23eqtri 2496 . . . 4  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
256, 24difeq12i 3620 . . 3  |-  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
264, 25eqtri 2496 . 2  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
27 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2827recld2 21070 . . . 4  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 nftru 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
30 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )
31 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x RR
32 nfrab1 3042 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
3331, 32nfdif 3625 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( RR  \  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
34 eliun 4330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
35 elioore 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
37 zre 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
38 pire 22601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  pi  e.  RR
39 remulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  RR )
4038, 39mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  y )  e.  RR )
41 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4240, 16, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4342rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
44 peano2re 9751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
45 remulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
4638, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
47 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4846, 16, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4948rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
50 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
52 ltadd2 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5316, 52mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5442, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
55 readdcl 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
5616, 42, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
57 readdcl 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )
5816, 57mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR )
59 pipos 22603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  pi
6038, 59pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
61 ltdiv1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
6260, 61mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )
6356, 58, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  (
( pi  /  2
)  +  x )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
64 recn 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6538recni 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  pi  e.  CC
66 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  CC )
6765, 66mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  CC  ->  (
pi  x.  y )  e.  CC )
68 pncan3 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
6917, 67, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
7069oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  y )  /  pi ) )
717, 59gtneii 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  pi  =/=  0
72 divcan3 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7365, 71, 72mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7470, 73eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7564, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7776breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  y  <  ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )
7854, 63, 773bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
7938, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
8079, 16, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
81 ltadd2 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8216, 81mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8380, 82sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
84 readdcl 9574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
8516, 80, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
86 ltdiv1 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) ) )
8760, 86mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
8858, 85, 87syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
89 recn 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
90 mulcl 9575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
9165, 90mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
92 pncan3 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9317, 91, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9493oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  /  pi ) )
95 divcan3 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9665, 71, 95mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9794, 96eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9889, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  =  (
y  +  1 ) )
10099breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) 
<->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10183, 88, 1003bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10244, 101sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
103102ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10478, 103anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
105104biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( y  <  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
106105exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  -> 
( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
1071063impd 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10851, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10937, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
110109imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
111 btwnnz 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( y  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
1121113expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ )
113110, 112syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
114113olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
115 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
116 rabid 3038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
117115, 116xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
11936, 118eldifd 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
120119rexlimiva 2951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
121 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
122 recn 9581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
123122biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) ) )
124123, 116syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
126125pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
127121, 126bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
128 redivcl 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
12938, 71, 128mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
13058, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
131130flcld 11902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  ZZ )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ )
133 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
134 flle 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
135130, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <_  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
137 nelne2 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  =/=  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
138137necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
139131, 138sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
140131zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14138, 59elrpii 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  e.  RR+
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  pi  e.  RR+ )
143140, 130, 142ltmul2d 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( pi  x.  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )  <  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
144140, 130ltlend 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
145 remulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
14638, 140, 145sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
147 remulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  RR )
14838, 130, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
150146, 148, 149ltsub1d 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  < 
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
151143, 144, 1503bitr3rd 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
153136, 139, 152mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
154 divcan2 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15565, 71, 154mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15619, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
157156oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  -  ( pi  /  2
) ) )
158 pncan2 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
15917, 158mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
160157, 159eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
161122, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
163153, 162breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  x )
164 peano2re 9751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
165140, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
166 remulcl 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
16738, 165, 166sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
168 flltp1 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
169130, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
170130, 165, 142, 169ltmul2dd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  <  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
171148, 167, 149, 170ltsub1dd 10163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
172161, 171eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )
174 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  e.  RR )  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
175146, 16, 174sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
176175rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR* )
177 resubcl 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
178167, 16, 177sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
179178rexrd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
180 elioo2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
181176, 179, 180syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
183133, 163, 173, 182mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
184 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  y )  =  ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
185184oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) )
186 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
187186oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
188187oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
189185, 188oveq12d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
190189eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
191190rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
192132, 183, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )
193127, 192sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
194120, 193impbii 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
19534, 194bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
196195a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) ) )
19729, 30, 33, 196eqrd 3522 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
198197trud 1388 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
199 retop 21019 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
200 iooretop 21024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
201200rgenw 2825 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
202 iunopn 19190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
203199, 201, 202mp2an 672 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
204198, 203eqeltrri 2552 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
205 rabss 3577 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR 
<-> 
A. x  e.  CC  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
206 zre 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
207 remulcl 9576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
208206, 38, 207sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
209 resubcl 9882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
210208, 16, 209sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
211 divcan1 10215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21265, 71, 211mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21319, 212syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
214213oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) ) )
215214, 159eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  x )
216215eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
217210, 216syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
218205, 217mprgbir 2828 . . . . . . 7  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR
219 uniretop 21020 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
220219iscld2 19311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR )  ->  ( { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
221199, 218, 220mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
222204, 221mpbir 209 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22327tgioo2 21059 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
224223fveq2i 5868 . . . . 5  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
225222, 224eleqtri 2553 . . . 4  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) )
226 restcldr 19457 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) ) )  ->  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
22728, 225, 226mp2an 672 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
22827cnfldtopon 21041 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
229228toponunii 19216 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
230229cldopn 19314 . . 3  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
231227, 230ax-mp 5 . 2  |-  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23226, 231eqeltri 2551 1  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    C_ wss 3476   {csn 4027   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5581    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628    - cmin 9804    / cdiv 10205   2c2 10584   ZZcz 10863   RR+crp 11219   (,)cioo 11528   |_cfl 11894   sincsin 13660   cosccos 13661   picpi 13663   ↾t crest 14675   TopOpenctopn 14676   topGenctg 14692  ℂfldccnfld 18207   Topctop 19177   Clsdccld 19299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-mod 11964  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-bc 12348  df-hash 12373  df-shft 12862  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-limsup 13256  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-ef 13664  df-sin 13666  df-cos 13667  df-pi 13669  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022
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