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Theorem dvtanlem 28609
Description: Lemma for dvtan 28610- the domain of the tangent is open. (Contributed by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvtanlem  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvtanlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 13530 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
2 ffun 5672 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  Fun 
cos )
3 difpreima 5943 . . . 4  |-  ( Fun 
cos  ->  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . 3  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC )  \  ( `' cos " { 0 } ) )
5 fimacnv 5947 . . . . 5  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  ( `' cos " CC )  =  CC )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' cos " CC )  =  CC
7 0re 9500 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ffn 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
10 dffn5 5849 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
119, 10mpbi 208 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
1211mptiniseg 5443 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 } )
137, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 }
14 sinhalfpip 22090 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )  =  ( cos `  x
) )
1514eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  ( cos `  x )  =  0 ) )
16 halfpire 22062 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9512 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
18 addcl 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC )
1917, 18mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC )
20 sineq0 22119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2215, 21bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2322rabbiia 3067 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( cos `  x )  =  0 }  =  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
2413, 23eqtri 2483 . . . 4  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
256, 24difeq12i 3583 . . 3  |-  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
264, 25eqtri 2483 . 2  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
27 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2827recld2 20526 . . . 4  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 nftru 1600 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
30 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )
31 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x RR
32 nfrab1 3007 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
3331, 32nfdif 3588 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( RR  \  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
34 eliun 4286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
35 elioore 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
37 zre 10764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
38 pire 22057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  pi  e.  RR
39 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  RR )
4038, 39mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  y )  e.  RR )
41 resubcl 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4240, 16, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4342rexrd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
44 peano2re 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
45 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
4638, 44, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
47 resubcl 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4846, 16, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4948rexrd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
50 elioo2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
52 ltadd2 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5316, 52mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5442, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
55 readdcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
5616, 42, 55sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
57 readdcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )
5816, 57mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR )
59 pipos 22059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  pi
6038, 59pm3.2i 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
61 ltdiv1 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
6260, 61mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )
6356, 58, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  (
( pi  /  2
)  +  x )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
64 recn 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6538recni 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  pi  e.  CC
66 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  CC )
6765, 66mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  CC  ->  (
pi  x.  y )  e.  CC )
68 pncan3 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
6917, 67, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
7069oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  y )  /  pi ) )
717, 59gtneii 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  pi  =/=  0
72 divcan3 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7365, 71, 72mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7470, 73eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7564, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7776breq1d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  y  <  ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )
7854, 63, 773bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
7938, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
8079, 16, 47sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
81 ltadd2 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8216, 81mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8380, 82sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
84 readdcl 9479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
8516, 80, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
86 ltdiv1 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) ) )
8760, 86mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
8858, 85, 87syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
89 recn 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
90 mulcl 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
9165, 90mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
92 pncan3 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9317, 91, 92sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9493oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  /  pi ) )
95 divcan3 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9665, 71, 95mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9794, 96eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9889, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9998adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  =  (
y  +  1 ) )
10099breq2d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) 
<->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10183, 88, 1003bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10244, 101sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
103102ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10478, 103anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
105104biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( y  <  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
106105exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  -> 
( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
1071063impd 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10851, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10937, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
110109imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
111 btwnnz 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( y  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
1121113expb 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ )
113110, 112syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
114113olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
115 ianor 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
116 rabid 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
117115, 116xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
11936, 118eldifd 3450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
120119rexlimiva 2942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
121 eldif 3449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
122 recn 9486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
123122biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) ) )
124123, 116syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
126125pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
127121, 126bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
128 redivcl 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
12938, 71, 128mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
13058, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
131130flcld 11768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  ZZ )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ )
133 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
134 flle 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
135130, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <_  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
137 nelne2 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  =/=  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
138137necomd 2723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
139131, 138sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
140131zred 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14138, 59elrpii 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  e.  RR+
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  pi  e.  RR+ )
143140, 130, 142ltmul2d 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( pi  x.  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )  <  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
144140, 130ltlend 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
145 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
14638, 140, 145sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
147 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  RR )
14838, 130, 147sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
150146, 148, 149ltsub1d 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  < 
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
151143, 144, 1503bitr3rd 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
153136, 139, 152mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
154 divcan2 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15565, 71, 154mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15619, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
157156oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  -  ( pi  /  2
) ) )
158 pncan2 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
15917, 158mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
160157, 159eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
161122, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
163153, 162breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  x )
164 peano2re 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
165140, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
166 remulcl 9481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
16738, 165, 166sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
168 flltp1 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
169130, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
170130, 165, 142, 169ltmul2dd 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  <  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
171148, 167, 149, 170ltsub1dd 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
172161, 171eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )
174 resubcl 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  e.  RR )  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
175146, 16, 174sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
176175rexrd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR* )
177 resubcl 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
178167, 16, 177sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
179178rexrd 9547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
180 elioo2 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
181176, 179, 180syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
183133, 163, 173, 182mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
184 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  y )  =  ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
185184oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) )
186 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
187186oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
188187oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
189185, 188oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
190189eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
191190rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
192132, 183, 191syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )
193127, 192sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
194120, 193impbii 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
19534, 194bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
196195a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) ) )
19729, 30, 33, 196eqrd 3485 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
198197trud 1379 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
199 retop 20475 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
200 iooretop 20480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
201200rgenw 2901 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
202 iunopn 18646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
203199, 201, 202mp2an 672 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
204198, 203eqeltrri 2539 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
205 rabss 3540 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR 
<-> 
A. x  e.  CC  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
206 zre 10764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
207 remulcl 9481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
208206, 38, 207sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
209 resubcl 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
210208, 16, 209sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
211 divcan1 10117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21265, 71, 211mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21319, 212syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
214213oveq1d 6218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) ) )
215214, 159eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  x )
216215eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
217210, 216syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
218205, 217mprgbir 2904 . . . . . . 7  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR
219 uniretop 20476 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
220219iscld2 18767 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR )  ->  ( { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
221199, 218, 220mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
222204, 221mpbir 209 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22327tgioo2 20515 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
224223fveq2i 5805 . . . . 5  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
225222, 224eleqtri 2540 . . . 4  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) )
226 restcldr 18913 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) ) )  ->  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
22728, 225, 226mp2an 672 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
22827cnfldtopon 20497 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
229228toponunii 18672 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
230229cldopn 18770 . . 3  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
231227, 230ax-mp 5 . 2  |-  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23226, 231eqeltri 2538 1  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   U_ciun 4282   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   ran crn 4952   "cima 4954   Fun wfun 5523    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    x. cmul 9401   RR*cxr 9531    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709    / cdiv 10107   2c2 10485   ZZcz 10760   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   |_cfl 11760   sincsin 13470   cosccos 13471   picpi 13473   ↾t crest 14481   TopOpenctopn 14482   topGenctg 14498  ℂfldccnfld 17946   Topctop 18633   Clsdccld 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ioc 11419  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-fac 12172  df-bc 12199  df-hash 12224  df-shft 12677  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-limsup 13070  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-ef 13474  df-sin 13476  df-cos 13477  df-pi 13479  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-lp 18875  df-perf 18876  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589  df-limc 21477  df-dv 21478
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