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Theorem dvtanlem 30307
Description: Lemma for dvtan 30308- the domain of the tangent is open. (Contributed by Brendan Leahy, 8-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvtanlem  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )

Proof of Theorem dvtanlem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 13945 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
2 ffun 5715 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  Fun 
cos )
3 difpreima 5991 . . . 4  |-  ( Fun 
cos  ->  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . 3  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( ( `' cos " CC )  \  ( `' cos " { 0 } ) )
5 fimacnv 5995 . . . . 5  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  ( `' cos " CC )  =  CC )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( `' cos " CC )  =  CC
7 0re 9585 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
8 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
10 dffn5 5893 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  <->  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) ) )
119, 10mpbi 208 . . . . . . 7  |-  cos  =  ( x  e.  CC  |->  ( cos `  x ) )
1211mptiniseg 5484 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 } )
137, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( cos `  x
)  =  0 }
14 sinhalfpip 23054 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sin `  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )  =  ( cos `  x
) )
1514eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  ( cos `  x )  =  0 ) )
16 halfpire 23026 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1716recni 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
18 addcl 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC )
1917, 18mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC )
20 sineq0 23083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sin `  (
( pi  /  2
)  +  x ) )  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2215, 21bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( cos `  x
)  =  0  <->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
2322rabbiia 3095 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( cos `  x )  =  0 }  =  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
2413, 23eqtri 2483 . . . 4  |-  ( `' cos " { 0 } )  =  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
256, 24difeq12i 3606 . . 3  |-  ( ( `' cos " CC ) 
\  ( `' cos " { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
264, 25eqtri 2483 . 2  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
27 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2827recld2 21488 . . . 4  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 nftru 1631 . . . . . . . . 9  |-  F/ x T.
30 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )
31 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x RR
32 nfrab1 3035 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }
3331, 32nfdif 3611 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( RR  \  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
34 eliun 4320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
35 elioore 11562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  ->  x  e.  RR )
3635adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  RR )
37 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
38 pire 23020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  pi  e.  RR
39 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  RR )
4038, 39mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  y )  e.  RR )
41 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4240, 16, 41sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4342rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
44 peano2re 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
45 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
4638, 44, 45sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
47 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
4846, 16, 47sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
4948rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
50 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
5143, 49, 50syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
52 ltadd2 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5316, 52mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
5442, 53sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) ) )
55 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
5616, 42, 55sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
57 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )
5816, 57mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR )
59 pipos 23022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  pi
6038, 59pm3.2i 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi )
61 ltdiv1 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
6260, 61mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )
6356, 58, 62syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <  (
( pi  /  2
)  +  x )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
64 recn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
65 picn 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  pi  e.  CC
66 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( pi  x.  y
)  e.  CC )
6765, 66mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  CC  ->  (
pi  x.  y )  e.  CC )
68 pncan3 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
6917, 67, 68sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  y ) )
7069oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  y )  /  pi ) )
717, 59gtneii 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  pi  =/=  0
72 divcan3 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7365, 71, 72mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( pi  x.  y
)  /  pi )  =  y )
7470, 73eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7564, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7675adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi )  =  y )
7776breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  y  <  ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )
7854, 63, 773bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  <->  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
7938, 45mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  RR )
8079, 16, 47sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
81 ltadd2 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8216, 81mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
8380, 82sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( pi 
/  2 )  +  x )  <  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
84 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  RR )
8516, 80, 84sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  e.  RR )
86 ltdiv1 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR  /\  ( pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  <  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) ) )
8760, 86mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  ( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
8858, 85, 87syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  < 
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  /  pi ) ) )
89 recn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
90 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( y  +  1 )  e.  CC )  ->  ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
9165, 90mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
92 pncan3 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  e.  CC )  ->  ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9317, 91, 92sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  /  2
)  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( pi  x.  ( y  +  1 ) ) )
9493oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  /  pi ) )
95 divcan3 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( y  +  1 )  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9665, 71, 95mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9794, 96eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( y  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9889, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( y  +  1 )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  /  pi )  =  ( y  +  1 ) )
9998adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( pi  /  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  /  pi )  =  (
y  +  1 ) )
10099breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  /  pi ) 
<->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10183, 88, 1003bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( x  < 
( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10244, 101sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
103102ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
10478, 103anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
105104biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) )  < 
x  /\  x  <  ( ( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( y  <  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
106105exp4b 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  -> 
( x  <  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) ) ) )
1071063impd 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10851, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
10937, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  -> 
( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) ) )
110109imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( y  < 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )
111 btwnnz 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  <  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  /\  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( y  +  1 ) )  ->  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
1121113expb 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  <  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  <  ( y  +  1 ) ) )  ->  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ )
113110, 112syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
114113olcd 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
115 ianor 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
116 rabid 3031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) )
117115, 116xchnxbir 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  <->  ( -.  x  e.  CC  \/  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )
)
118114, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  -.  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
11936, 118eldifd 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
120119rexlimiva 2942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  ->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
121 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
122 recn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
123122biantrurd 506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  ( x  e.  CC  /\  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ ) ) )
124123, 116syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  x  e.  { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
125124notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  <->  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
126125pm5.32i 635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
127121, 126bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ ) )
128 redivcl 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
12938, 71, 128mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
13058, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
131130flcld 11916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  ZZ )
132131adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ )
133 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  RR )
134 flle 11917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
135130, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )
136135adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <_  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
137 nelne2 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  =/=  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )
138137necomd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
139131, 138sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )
140131zred 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
141 pirp 23023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  pi  e.  RR+
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  pi  e.  RR+ )
143140, 130, 142ltmul2d 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( pi  x.  ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) ) )  <  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
144140, 130ltlend 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  <->  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
145 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )  -> 
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
14638, 140, 145sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR )
147 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  RR )
14838, 130, 147sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR )
14916a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
150146, 148, 149ltsub1d 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  < 
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  <->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
151143, 144, 1503bitr3rd 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
152151adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <-> 
( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  <_  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  /\  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  =/=  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) ) ) )
153136, 139, 152mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
154 divcan2 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15565, 71, 154mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
15619, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
157156oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  -  ( pi  /  2
) ) )
158 pncan2 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
15917, 158mpan 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
160157, 159eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
161122, 160syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  x )
162161adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  -  (
pi  /  2 ) )  =  x )
163153, 162breqtrd 4463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  x )
164 peano2re 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
165140, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )
166 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
16738, 165, 166sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR )
168 flltp1 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
169130, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  <  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
170130, 165, 142, 169ltmul2dd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
pi  x.  ( (
( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  <  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
171148, 167, 149, 170ltsub1dd 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  <  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
172161, 171eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
173172adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )
174 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  e.  RR  /\  ( pi 
/  2 )  e.  RR )  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
175146, 16, 174sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR )
176175rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  e.  RR* )
177 resubcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
178167, 16, 177sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR )
179178rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )
180 elioo2 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR*  /\  (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
181176, 179, 180syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
182181adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) )  <  x  /\  x  <  ( ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) ) )
183133, 163, 173, 182mpbir3and 1177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
184 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  y )  =  ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi ) ) ) )
185184oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) )
186 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
y  +  1 )  =  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )
187186oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
pi  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( pi  x.  ( ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) ) )
188187oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) )  =  ( ( pi  x.  ( ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) )  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )
189185, 188oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( pi  x.  ( |_
`  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )
190189eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) )  ->  (
x  e.  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  <->  x  e.  ( ( ( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) ) )
191190rspcev 3207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  ( (
( pi  x.  ( |_ `  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi ) ) )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
( |_ `  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi ) )  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) ) )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
192132, 183, 191syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -.  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( (
( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) ) )
193127, 192sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  ->  E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) ) )
194120, 193impbii 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  x  e.  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
19534, 194bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  <->  x  e.  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
196195a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  U_ y  e.  ZZ  (
( ( pi  x.  y )  -  (
pi  /  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) ) )
19729, 30, 33, 196eqrd 3507 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  /  2
) ) (,) (
( pi  x.  (
y  +  1 ) )  -  ( pi 
/  2 ) ) )  =  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } ) )
198197trud 1407 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  =  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )
199 retop 21437 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
200 iooretop 21442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  x.  y
)  -  ( pi 
/  2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  ( pi  /  2
) ) )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
201200rgenw 2815 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
202 iunopn 19577 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  A. y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)  ->  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
203199, 201, 202mp2an 670 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  ZZ  ( ( ( pi  x.  y )  -  ( pi  / 
2 ) ) (,) ( ( pi  x.  ( y  +  1 ) )  -  (
pi  /  2 ) ) )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
204198, 203eqeltrri 2539 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
205 rabss 3563 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR 
<-> 
A. x  e.  CC  ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
206 zre 10864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  RR )
207 remulcl 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
208206, 38, 207sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR )
209 resubcl 9874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  e.  RR  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR )
210208, 16, 209sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  /  pi )  e.  ZZ  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  e.  RR )
211 divcan1 10212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi  / 
2 )  +  x
)  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0 )  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21265, 71, 211mp3an23 1314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
21319, 212syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  =  ( ( pi 
/  2 )  +  x ) )
214213oveq1d 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  ( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  -  (
pi  /  2 ) ) )
215214, 159eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  ( pi  /  2 ) )  =  x )
216215eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  x.  pi )  -  (
pi  /  2 ) )  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
217210, 216syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ  ->  x  e.  RR ) )
218205, 217mprgbir 2818 . . . . . . 7  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR
219 uniretop 21438 . . . . . . . 8  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
220219iscld2 19699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  C_  RR )  ->  ( { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
) )
221199, 218, 220mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  <->  ( RR  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
222204, 221mpbir 209 . . . . 5  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22327tgioo2 21477 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
224223fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
225222, 224eleqtri 2540 . . . 4  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) )
226 restcldr 19845 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  {
x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR ) ) )  ->  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
22728, 225, 226mp2an 670 . . 3  |-  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
22827cnfldtopon 21459 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
229228toponunii 19603 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
230229cldopn 19702 . . 3  |-  ( { x  e.  CC  | 
( ( ( pi 
/  2 )  +  x )  /  pi )  e.  ZZ }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
231227, 230ax-mp 5 . 2  |-  ( CC 
\  { x  e.  CC  |  ( ( ( pi  /  2
)  +  x )  /  pi )  e.  ZZ } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23226, 231eqeltri 2538 1  |-  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  e.  (
TopOpen ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   U_ciun 4315   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   ran crn 4989   "cima 4991   Fun wfun 5564    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   |_cfl 11908   sincsin 13884   cosccos 13885   picpi 13887   ↾t crest 14913   TopOpenctopn 14914   topGenctg 14930  ℂfldccnfld 18618   Topctop 19564   Clsdccld 19687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440
This theorem is referenced by:  dvtan  30308
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