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Theorem dvsinax 37783
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 14178 . . . . . 6  |-  sin : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  sin : CC --> CC )
3 mulcl 9623 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
4 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )
53, 4fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC )
6 fcompt 6059 . . . . 5  |-  ( ( sin : CC --> CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) : CC --> CC )  ->  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 667 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
8 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
9 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
109adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
11 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  CC )
12 mulcl 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  w
)  e.  CC )
138, 10, 11, 12fvmptd 5954 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w )  =  ( A  x.  w ) )
1413fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )
1514mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) ) )
16 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( A  x.  w )  =  ( A  x.  y ) )
1716fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  w ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
1817cbvmptv 4495 . . . . 5  |-  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) ) )
207, 15, 193eqtrrd 2490 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  =  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
2120oveq2d 6306 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
22 cnelprrecn 9632 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
24 dvsin 22934 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
2524dmeqi 5036 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  dom  cos
26 cosf 14179 . . . . . 6  |-  cos : CC
--> CC
2726fdmi 5734 . . . . 5  |-  dom  cos  =  CC
2825, 27eqtri 2473 . . . 4  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC
2928a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC )
30 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  y  =  w )
3130cbvmptv 4495 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
3231oveq2i 6301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) ) )
34 cnex 9620 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
36 snex 4641 . . . . . . . . . . 11  |-  { A }  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  { A }  e.  _V )
38 xpexg 6593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( CC  X.  { A } )  e. 
_V )
3935, 37, 38syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  _V )
4034mptex 6136 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )
42 offval3 6787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( w  e.  CC  |->  w ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
4339, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y
)  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
44 fconst6g 5772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
45 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
47 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  w  e.  CC )
4947, 48fmpti 6045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  |->  w ) : CC --> CC
5049fdmi 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
w  e.  CC  |->  w )  =  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  w )  =  CC )
5246, 51ineq12d 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
53 inidm 3641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  i^i  CC )  =  CC )
5552, 54eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  CC )
5655mpteq1d 4484 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
57 fvconst2g 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  =  A )
58 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w ) )
59 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  w  =  y )  ->  w  =  y )
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
6158, 59, 60, 60fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
)  =  y )
6261adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y )  =  y )
6357, 62oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) )  =  ( A  x.  y
) )
6463mpteq2dva 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6556, 64eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6633, 43, 653eqtrrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )
6766oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
68 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( y  e.  CC  |->  y )
6968, 60fmpti 6045 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC
7069a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC )
71 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
7222a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
7372dvmptid 22911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
7473trud 1453 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7574dmeqi 5036 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  1 )
76 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7776rgenw 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  CC  1  e.  CC
78 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7978fmpt 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  CC  1  e.  CC  <->  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC )
8077, 79mpbi 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC
8180fdmi 5734 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  CC
8275, 81eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC )
8423, 70, 71, 83dvcmulf 22899 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8567, 84eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8685dmeqd 5037 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
87 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )
89 offval3 6787 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9039, 88, 89syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9190dmeqd 5037 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  dom  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) ) )
9246, 83ineq12d 3635 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
9392, 54eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  CC )
9493mpteq1d 4484 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9594dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
96 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )
97 fvconst2g 6118 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  =  A )
9874fveq1i 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `
 w )
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `  w ) )
100 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
101 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  =  w )  ->  1  =  1 )
10276a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  1  e.  CC )
103100, 101, 48, 102fvmptd 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  |->  1 ) `  w
)  =  1 )
10499, 103eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  1 )
105104adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  1 )
10697, 105oveq12d 6308 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  =  ( A  x.  1 ) )
107 mulcl 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
10876, 107mpan2 677 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
109108adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
110106, 109eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  e.  CC )
11196, 110dmmptd 5708 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  CC )
11295, 111eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  CC )
11386, 91, 1123eqtrd 2489 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
11423, 23, 2, 5, 29, 113dvcof 22902 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
11524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  =  cos )
116 coscn 23400 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
118115, 117eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11934mptex 6136 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )
121 coexg 6744 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )  -> 
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
122118, 120, 121syl2anc 667 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
123 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
124 0cnd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
12523, 71dvmptc 22912 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
12776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
12874a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
12923, 123, 124, 125, 126, 127, 128dvmptmul 22915 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
130126mul02d 9831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  x.  y
)  =  0 )
131123mulid2d 9661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
132130, 131oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
133123addid2d 9834 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
134132, 133eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
135134mpteq2dva 4489 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
136129, 135eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
13734mptex 6136 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  A )  e.  _V
138137a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  A )  e.  _V )
139136, 138eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
140 offval3 6787 . . . 4  |-  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
141122, 139, 140syl2anc 667 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
142 frn 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
1435, 142syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
144143, 29sseqtr4d 3469 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )
)
145 dmcosseq 5096 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )  ->  dom  ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
146144, 145syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
147 ovex 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  y )  e. 
_V
148147, 4dmmpti 5707 . . . . . . . 8  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  CC
149148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  CC )
150146, 149eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
151150, 113ineq12d 3635 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
152151, 54eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  CC )
153152mpteq1d 4484 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) ) )
15412coscld 14185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  w )
)  e.  CC )
155 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
156154, 155mulcomd 9664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
157156mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w )
) ) ) )
15824coeq1i 4994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  =  ( cos  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
159158a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
160159fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) )
161 ffun 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
1625, 161syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
163162adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
16411, 148syl6eleqr 2540 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
165 fvco 5941 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  /\  w  e.  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `
 w )  =  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) )
166163, 164, 165syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  ( cos `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )
16713fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( cos `  ( A  x.  w ) ) )
168160, 166, 1673eqtrd 2489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( cos `  ( A  x.  w
) ) )
169136adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
170 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  A  =  A )
171169, 170, 11, 155fvmptd 5954 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  A )
172168, 171oveq12d 6308 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) )  =  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )
173172mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) ) )
1749fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  w )
) )
175174oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
176175cbvmptv 4495 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
177176a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) ) )
178157, 173, 1773eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) ) )
179141, 153, 1783eqtrd 2489 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
18021, 114, 1793eqtrd 2489 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   T. wtru 1445    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    o. ccom 4838   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oFcof 6529   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   sincsin 14116   cosccos 14117   -cn->ccncf 21908    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822
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