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Theorem dvsinax 37880
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 14255 . . . . . 6  |-  sin : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  sin : CC --> CC )
3 mulcl 9641 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
4 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )
53, 4fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC )
6 fcompt 6075 . . . . 5  |-  ( ( sin : CC --> CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) : CC --> CC )  ->  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 673 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
8 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
9 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
109adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
11 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  CC )
12 mulcl 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  w
)  e.  CC )
138, 10, 11, 12fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w )  =  ( A  x.  w ) )
1413fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )
1514mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) ) )
16 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( A  x.  w )  =  ( A  x.  y ) )
1716fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  w ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
1817cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) ) )
207, 15, 193eqtrrd 2510 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  =  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
2120oveq2d 6324 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
22 cnelprrecn 9650 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
24 dvsin 23013 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
2524dmeqi 5041 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  dom  cos
26 cosf 14256 . . . . . 6  |-  cos : CC
--> CC
2726fdmi 5746 . . . . 5  |-  dom  cos  =  CC
2825, 27eqtri 2493 . . . 4  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC
2928a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC )
30 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  y  =  w )
3130cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
3231oveq2i 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) ) )
34 cnex 9638 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
36 snex 4641 . . . . . . . . . . 11  |-  { A }  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  { A }  e.  _V )
38 xpexg 6612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( CC  X.  { A } )  e. 
_V )
3935, 37, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  _V )
4034mptex 6152 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )
42 offval3 6806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( w  e.  CC  |->  w ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
4339, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y
)  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
44 fconst6g 5785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
45 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
47 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  w  e.  CC )
4947, 48fmpti 6060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  |->  w ) : CC --> CC
5049fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
w  e.  CC  |->  w )  =  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  w )  =  CC )
5246, 51ineq12d 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
53 inidm 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  i^i  CC )  =  CC )
5552, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  CC )
5655mpteq1d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
57 fvconst2g 6134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  =  A )
58 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w ) )
59 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  w  =  y )  ->  w  =  y )
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
6158, 59, 60, 60fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
)  =  y )
6261adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y )  =  y )
6357, 62oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) )  =  ( A  x.  y
) )
6463mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6556, 64eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6633, 43, 653eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )
6766oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
68 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( y  e.  CC  |->  y )
6968, 60fmpti 6060 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC
7069a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC )
71 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
7222a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
7372dvmptid 22990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
7473trud 1461 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7574dmeqi 5041 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  1 )
76 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7776rgenw 2768 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  CC  1  e.  CC
78 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7978fmpt 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  CC  1  e.  CC  <->  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC )
8077, 79mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC
8180fdmi 5746 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  CC
8275, 81eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC )
8423, 70, 71, 83dvcmulf 22978 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8567, 84eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8685dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
87 ovex 6336 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )
89 offval3 6806 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9039, 88, 89syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9190dmeqd 5042 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  dom  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) ) )
9246, 83ineq12d 3626 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
9392, 54eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  CC )
9493mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9594dmeqd 5042 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
96 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )
97 fvconst2g 6134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  =  A )
9874fveq1i 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `
 w )
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `  w ) )
100 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
101 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  =  w )  ->  1  =  1 )
10276a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  1  e.  CC )
103100, 101, 48, 102fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  |->  1 ) `  w
)  =  1 )
10499, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  1 )
105104adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  1 )
10697, 105oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  =  ( A  x.  1 ) )
107 mulcl 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
10876, 107mpan2 685 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
109108adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
110106, 109eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  e.  CC )
11196, 110dmmptd 5718 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  CC )
11295, 111eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  CC )
11386, 91, 1123eqtrd 2509 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
11423, 23, 2, 5, 29, 113dvcof 22981 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
11524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  =  cos )
116 coscn 23479 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
118115, 117eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11934mptex 6152 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )
121 coexg 6763 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )  -> 
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
122118, 120, 121syl2anc 673 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
123 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
124 0cnd 9654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
12523, 71dvmptc 22991 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
12776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
12874a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
12923, 123, 124, 125, 126, 127, 128dvmptmul 22994 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
130126mul02d 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  x.  y
)  =  0 )
131123mulid2d 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
132130, 131oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
133123addid2d 9852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
134132, 133eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
135134mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
136129, 135eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
13734mptex 6152 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  A )  e.  _V
138137a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  A )  e.  _V )
139136, 138eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
140 offval3 6806 . . . 4  |-  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
141122, 139, 140syl2anc 673 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
142 frn 5747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
1435, 142syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
144143, 29sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )
)
145 dmcosseq 5102 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )  ->  dom  ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
146144, 145syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
147 ovex 6336 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  y )  e. 
_V
148147, 4dmmpti 5717 . . . . . . . 8  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  CC
149148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  CC )
150146, 149eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
151150, 113ineq12d 3626 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
152151, 54eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  CC )
153152mpteq1d 4477 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) ) )
15412coscld 14262 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  w )
)  e.  CC )
155 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
156154, 155mulcomd 9682 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
157156mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w )
) ) ) )
15824coeq1i 4999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  =  ( cos  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
159158a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
160159fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) )
161 ffun 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
1625, 161syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
163162adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
16411, 148syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
165 fvco 5956 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  /\  w  e.  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `
 w )  =  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) )
166163, 164, 165syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  ( cos `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )
16713fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( cos `  ( A  x.  w ) ) )
168160, 166, 1673eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( cos `  ( A  x.  w
) ) )
169136adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
170 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  A  =  A )
171169, 170, 11, 155fvmptd 5969 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  A )
172168, 171oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) )  =  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )
173172mpteq2dva 4482 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) ) )
1749fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  w )
) )
175174oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
176175cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
177176a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) ) )
178157, 173, 1773eqtr4d 2515 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) ) )
179141, 153, 1783eqtrd 2509 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
18021, 114, 1793eqtrd 2509 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840    o. ccom 4843   Fun wfun 5583   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   sincsin 14193   cosccos 14194   -cn->ccncf 21986    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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