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Theorem dvsinax 31947
Description: Derivative exercise: the derivative with respect to y of sin(Ay), given a constant  A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
dvsinax  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Distinct variable group:    y, A

Proof of Theorem dvsinax
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sinf 13941 . . . . . 6  |-  sin : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  sin : CC --> CC )
3 mulcl 9565 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  x.  y
)  e.  CC )
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )
53, 4fmptd 6031 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC )
6 fcompt 6043 . . . . 5  |-  ( ( sin : CC --> CC  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) : CC --> CC )  ->  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) ) )
8 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
9 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
109adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  ( A  x.  y )  =  ( A  x.  w ) )
11 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  CC )
12 mulcl 9565 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  w
)  e.  CC )
138, 10, 11, 12fvmptd 5936 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w )  =  ( A  x.  w ) )
1413fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( sin `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )
1514mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) ) )
16 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( A  x.  w )  =  ( A  x.  y ) )
1716fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  ( sin `  ( A  x.  w ) )  =  ( sin `  ( A  x.  y )
) )
1817cbvmptv 4530 . . . . 5  |-  ( w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y
) ) ) )
207, 15, 193eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y ) ) )  =  ( sin 
o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
2120oveq2d 6286 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
22 cnelprrecn 9574 . . . 4  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
2322a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  { RR ,  CC } )
24 dvsin 22549 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  sin )  =  cos
2524dmeqi 5193 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  dom  cos
26 cosf 13942 . . . . . 6  |-  cos : CC
--> CC
2726fdmi 5718 . . . . 5  |-  dom  cos  =  CC
2825, 27eqtri 2483 . . . 4  |-  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC
2928a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  sin )  =  CC )
30 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  w  ->  y  =  w )
3130cbvmptv 4530 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
3231oveq2i 6281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )
3332a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) ) )
34 cnex 9562 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
36 snex 4678 . . . . . . . . . . 11  |-  { A }  e.  _V
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  { A }  e.  _V )
38 xpexg 6575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  { A }  e.  _V )  ->  ( CC  X.  { A } )  e. 
_V )
3935, 37, 38syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
)  e.  _V )
4034mptex 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )
42 offval3 6767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( w  e.  CC  |->  w ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
4339, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( y  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y
)  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
44 fconst6g 5756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
45 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  X.  { A } )  =  CC )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w )
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  CC  ->  w  e.  CC )
4947, 48fmpti 6030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  CC  |->  w ) : CC --> CC
5049fdmi 5718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (
w  e.  CC  |->  w )  =  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  w )  =  CC )
5246, 51ineq12d 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
53 inidm 3693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  CC )  =  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  i^i  CC )  =  CC )
5552, 54eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  =  CC )
5655mpteq1d 4520 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) ) ) )
57 fvconst2g 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  =  A )
58 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  w )  =  ( w  e.  CC  |->  w ) )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  CC  /\  w  =  y )  ->  w  =  y )
60 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
6158, 59, 60, 60fvmptd 5936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
)  =  y )
6261adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y )  =  y )
6357, 62oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  y )  x.  ( ( w  e.  CC  |->  w ) `  y ) )  =  ( A  x.  y
) )
6463mpteq2dva 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6556, 64eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( w  e.  CC  |->  w ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  y )  x.  (
( w  e.  CC  |->  w ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
6633, 43, 653eqtrrd 2500 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )
6766oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
68 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  |->  y )  =  ( y  e.  CC  |->  y )
6968, 60fmpti 6030 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC
7069a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  y ) : CC --> CC )
71 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  CC )
7222a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
7372dvmptid 22526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
7473trud 1407 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7574dmeqi 5193 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  1 )
76 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
7776rgenw 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  A. y  e.  CC  1  e.  CC
78 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 )
7978fmpt 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  CC  1  e.  CC  <->  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC )
8077, 79mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  |->  1 ) : CC --> CC
8180fdmi 5718 . . . . . . . . 9  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  CC
8275, 81eqtri 2483 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  =  CC )
8423, 70, 71, 83dvcmulf 22514 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8567, 84eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
8685dmeqd 5194 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) )
87 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V
8887a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )
89 offval3 6767 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  X.  { A } )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) )  e.  _V )  ->  ( ( CC 
X.  { A }
)  oF  x.  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) ) 
|->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9039, 88, 89syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( CC 
X.  { A }
)  i^i  dom  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9190dmeqd 5194 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  X.  { A } )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  dom  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) ) )
9246, 83ineq12d 3687 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
9392, 54eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  =  CC )
9493mpteq1d 4520 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
9594dmeqd 5194 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) ) )
96 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )
97 fvconst2g 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  =  A )
9874fveq1i 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `
 w )
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  ( ( y  e.  CC  |->  1 ) `  w ) )
100 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  1 )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
101 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  CC  /\  y  =  w )  ->  1  =  1 )
10276a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  1  e.  CC )
103100, 101, 48, 102fvmptd 5936 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( y  e.  CC  |->  1 ) `  w
)  =  1 )
10499, 103eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
)  =  1 )
105104adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w )  =  1 )
10697, 105oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  =  ( A  x.  1 ) )
107 mulcl 9565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
10876, 107mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
109108adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( A  x.  1 )  e.  CC )
110106, 109eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) )  e.  CC )
11196, 110dmmptd 5693 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( CC 
X.  { A }
) `  w )  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) ) `  w ) ) )  =  CC )
11295, 111eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( w  e.  ( dom  ( CC  X.  { A } )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) )  |->  ( ( ( CC  X.  { A } ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  y ) ) `  w
) ) )  =  CC )
11386, 91, 1123eqtrd 2499 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
11423, 23, 2, 5, 29, 113dvcof 22517 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( sin  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) ) )
11524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  =  cos )
116 coscn 23006 . . . . . . 7  |-  cos  e.  ( CC -cn-> CC )
117116a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  cos  e.  ( CC -cn-> CC ) )
118115, 117eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
11934mptex 6118 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V
120119a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )
121 coexg 6724 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  _D  sin )  e.  ( CC -cn-> CC )  /\  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  e.  _V )  -> 
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
122118, 120, 121syl2anc 659 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
123 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
124 0cnd 9578 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
12523, 71dvmptc 22527 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  A ) )  =  ( y  e.  CC  |->  0 ) )
126 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
12776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
12874a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  y ) )  =  ( y  e.  CC  |->  1 ) )
12923, 123, 124, 125, 126, 127, 128dvmptmul 22530 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A
) ) ) )
130126mul02d 9767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  x.  y
)  =  0 )
131123mulid2d 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
132130, 131oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  ( 0  +  A ) )
133123addid2d 9770 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0  +  A
)  =  A )
134132, 133eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  y )  +  ( 1  x.  A ) )  =  A )
135134mpteq2dva 4525 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( 0  x.  y
)  +  ( 1  x.  A ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
136129, 135eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
13734mptex 6118 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  |->  A )  e.  _V
138137a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  A )  e.  _V )
139136, 138eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )
140 offval3 6767 . . . 4  |-  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V  /\  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  oF  x.  ( CC 
_D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  (
( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
141122, 139, 140syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  i^i 
dom  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) ) 
|->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) ) ) )
142 frn 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
1435, 142syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  CC )
144143, 29sseqtr4d 3526 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )
)
145 dmcosseq 5253 . . . . . . . 8  |-  ( ran  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  C_  dom  ( CC  _D  sin )  ->  dom  ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
146144, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
147 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  y )  e. 
_V
148147, 4dmmpti 5692 . . . . . . . 8  |-  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  =  CC
149148a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) )  =  CC )
150146, 149eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  CC )
151150, 113ineq12d 3687 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  ( CC  i^i  CC ) )
152151, 54eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  =  CC )
153152mpteq1d 4520 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  ( dom  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  i^i  dom  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) ) )
15412coscld 13948 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  ( A  x.  w )
)  e.  CC )
155 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
156154, 155mulcomd 9606 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
157156mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w )
) ) ) )
15824coeq1i 5151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )  =  ( cos  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
159158a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) )
160159fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) )
161 ffun 5715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) : CC --> CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
1625, 161syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) )
163162adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
16411, 148syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  w  e.  dom  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )
165 fvco 5924 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) )  /\  w  e.  dom  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `
 w )  =  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) ) )
166163, 164, 165syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( cos  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  ( cos `  ( ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) `  w ) ) )
16713fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( cos `  (
( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) `  w
) )  =  ( cos `  ( A  x.  w ) ) )
168160, 166, 1673eqtrd 2499 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  =  ( cos `  ( A  x.  w
) ) )
169136adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  A ) )
170 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  /\  y  =  w )  ->  A  =  A )
171169, 170, 11, 155fvmptd 5936 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  =  A )
172168, 171oveq12d 6288 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( ( ( ( CC  _D  sin )  o.  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) `  w )  x.  (
( CC  _D  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
) )  =  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) )
173172mpteq2dva 4525 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( ( cos `  ( A  x.  w )
)  x.  A ) ) )
1749fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  ( cos `  ( A  x.  y ) )  =  ( cos `  ( A  x.  w )
) )
175174oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) )  =  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
176175cbvmptv 4530 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) )
177176a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( w  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  w ) ) ) ) )
178157, 173, 1773eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
w  e.  CC  |->  ( ( ( ( CC 
_D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w
)  x.  ( ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) ) `  w ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y
) ) ) ) )
179141, 153, 1783eqtrd 2499 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( CC  _D  sin )  o.  (
y  e.  CC  |->  ( A  x.  y ) ) )  oF  x.  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  y
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
18021, 114, 1793eqtrd 2499 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( y  e.  CC  |->  ( sin `  ( A  x.  y )
) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( A  x.  ( cos `  ( A  x.  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   dom cdm 4988   ran crn 4989    o. ccom 4992   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   sincsin 13881   cosccos 13882   -cn->ccncf 21546    _D cdv 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437
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