Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Unicode version

Theorem dvsid 36650
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  (  _I  |`  S ) )  =  ( S  X.  { 1 } ) )

Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 5711 . . . . 5  |-  (  _I  |`  CC )  Fn  CC
2 rnresi 5200 . . . . . 6  |-  ran  (  _I  |`  CC )  =  CC
32eqimssi 3518 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  CC )  C_  CC
4 df-f 5605 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC --> CC  <->  ( (  _I  |`  CC )  Fn  CC  /\  ran  (  _I  |`  CC )  C_  CC ) )
51, 3, 4mpbir2an 928 . . . 4  |-  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC
65jctr 544 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC ) )
7 recnprss 22857 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
8 dvid 22870 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
98dmeqi 5055 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  dom  ( CC  X.  { 1 } )
10 1ex 9645 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1110fconst 5786 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { 1 } ) : CC --> { 1 }
1211fdmi 5751 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  X.  { 1 } )  =  CC
139, 12eqtri 2451 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC
147, 13syl6sseqr 3511 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) )
15 ssid 3483 . . . 4  |-  CC  C_  CC
1614, 15jctil 539 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( CC  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) ) )
17 dvres3 22866 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S ) )
186, 16, 17syl2anc 665 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )
)
197resabs1d 5153 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( (  _I  |`  CC )  |`  S )  =  (  _I  |`  S )
)
2019oveq2d 6321 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( S  _D  (  _I  |`  S ) ) )
218reseq1i 5120 . . . 4  |-  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( ( CC  X.  {
1 } )  |`  S )
22 xpssres 5158 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 1 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
2321, 22syl5eq 2475 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
247, 23syl 17 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
2518, 20, 243eqtr3d 2471 1  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  (  _I  |`  S ) )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    C_ wss 3436   {csn 3998   {cpr 4000    _I cid 4763    X. cxp 4851   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855    Fn wfn 5596   -->wf 5597  (class class class)co 6305   CCcc 9544   RRcr 9545   1c1 9547    _D cdv 22816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-rest 15320  df-topn 15321  df-topgen 15341  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-xms 21333  df-ms 21334  df-cncf 21908  df-limc 22819  df-dv 22820
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator