Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsid Structured version   Unicode version

Theorem dvsid 36064
Description: Derivative of the identity function on the real or complex numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsid  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  (  _I  |`  S ) )  =  ( S  X.  { 1 } ) )

Proof of Theorem dvsid
StepHypRef Expression
1 fnresi 5678 . . . . 5  |-  (  _I  |`  CC )  Fn  CC
2 rnresi 5169 . . . . . 6  |-  ran  (  _I  |`  CC )  =  CC
32eqimssi 3495 . . . . 5  |-  ran  (  _I  |`  CC )  C_  CC
4 df-f 5572 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  CC ) : CC --> CC  <->  ( (  _I  |`  CC )  Fn  CC  /\  ran  (  _I  |`  CC )  C_  CC ) )
51, 3, 4mpbir2an 921 . . . 4  |-  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC
65jctr 540 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC ) )
7 recnprss 22598 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
8 dvid 22611 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  (  _I  |`  CC ) )  =  ( CC 
X.  { 1 } )
98dmeqi 5024 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  dom  ( CC  X.  { 1 } )
10 1ex 9620 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
1110fconst 5753 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { 1 } ) : CC --> { 1 }
1211fdmi 5718 . . . . . 6  |-  dom  ( CC  X.  { 1 } )  =  CC
139, 12eqtri 2431 . . . . 5  |-  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  =  CC
147, 13syl6sseqr 3488 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) )
15 ssid 3460 . . . 4  |-  CC  C_  CC
1614, 15jctil 535 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( CC  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) ) )
17 dvres3 22607 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (  _I  |`  CC ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S ) )
186, 16, 17syl2anc 659 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )
)
197resabs1d 5122 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( (  _I  |`  CC )  |`  S )  =  (  _I  |`  S )
)
2019oveq2d 6293 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( (  _I  |`  CC )  |`  S ) )  =  ( S  _D  (  _I  |`  S ) ) )
218reseq1i 5089 . . . 4  |-  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( ( CC  X.  {
1 } )  |`  S )
22 xpssres 5127 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 1 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
2321, 22syl5eq 2455 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
247, 23syl 17 . 2  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( ( CC  _D  (  _I  |`  CC ) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
2518, 20, 243eqtr3d 2451 1  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  (  _I  |`  S ) )  =  ( S  X.  { 1 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   {csn 3971   {cpr 3973    _I cid 4732    X. cxp 4820   dom cdm 4822   ran crn 4823    |` cres 4824    Fn wfn 5563   -->wf 5564  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   1c1 9522    _D cdv 22557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-rest 15035  df-topn 15036  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator