Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvsconst Structured version   Unicode version

Theorem dvsconst 36586
Description: Derivative of a constant function on the real or complex numbers. The function may return a complex 
A even if  S is  RR. (Contributed by Steve Rodriguez, 11-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvsconst  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )

Proof of Theorem dvsconst
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5725 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC )
21anim2i 571 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( CC  X.  { A }
) : CC --> CC ) )
3 recnprss 22794 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4 c0ex 9581 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
54fconst 5722 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
X.  { 0 } ) : CC --> { 0 }
65fdmi 5687 . . . . . . 7  |-  dom  ( CC  X.  { 0 } )  =  CC
73, 6syl6sseqr 3447 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
87adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  S  C_ 
dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
9 dvconst 22806 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
109adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
1110dmeqd 4992 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  =  dom  ( CC  X.  { 0 } ) )
128, 11sseqtr4d 3437 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) )
13 ssid 3419 . . . 4  |-  CC  C_  CC
1412, 13jctil 539 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( CC  C_  CC  /\  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) ) )
15 dvres3 22803 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  ( CC  X.  { A } ) : CC --> CC )  /\  ( CC  C_  CC  /\  S  C_ 
dom  ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S ) )
162, 14, 15syl2anc 665 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( ( CC 
X.  { A }
)  |`  S ) )  =  ( ( CC 
_D  ( CC  X.  { A } ) )  |`  S ) )
17 xpssres 5094 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
183, 17syl 17 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( ( CC  X.  { A }
)  |`  S )  =  ( S  X.  { A } ) )
1918oveq2d 6258 . . 3  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( ( CC  X.  { A } )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( S  X.  { A }
) ) )
2019adantr 466 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( ( CC 
X.  { A }
)  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) ) )
2110reseq1d 5059 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  (
( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  |`  S )  =  ( ( CC 
X.  { 0 } )  |`  S )
)
22 xpssres 5094 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
233, 22syl 17 . . . 4  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( ( CC  X.  { 0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
2423adantr 466 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  (
( CC  X.  {
0 } )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
2521, 24eqtrd 2456 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  (
( CC  _D  ( CC  X.  { A }
) )  |`  S )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
2616, 20, 253eqtr3d 2464 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  A  e.  CC )  ->  ( S  _D  ( S  X.  { A } ) )  =  ( S  X.  { 0 } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    C_ wss 3372   {csn 3934   {cpr 3936    X. cxp 4787   dom cdm 4789    |` cres 4791   -->wf 5533  (class class class)co 6242   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483    _D cdv 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-icc 11586  df-fz 11729  df-seq 12157  df-exp 12216  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-rest 15257  df-topn 15258  df-topgen 15278  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-lp 20087  df-perf 20088  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-haus 20266  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-cncf 21845  df-limc 22756  df-dv 22757
This theorem is referenced by:  dvconstbi  36590
  Copyright terms: Public domain W3C validator