MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Structured version   Unicode version

Theorem dvrunz 25730
Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
dvrunz.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
dvrunz.3  |-  X  =  ran  G
dvrunz.4  |-  Z  =  (GId `  G )
dvrunz.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
dvrunz  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
2 fvex 5813 . . . 4  |-  (GId `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2484 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43zrdivrng 25729 . 2  |-  -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
5 dvrunz.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( 1st `  R
)
6 dvrunz.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 dvrunz.3 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
85, 6, 7, 1drngoi 25704 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
98simpld 457 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  R  e.  RingOps )
10 dvrunz.5 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  H )
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 25727 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
135, 7, 1rngosn6 25725 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
149, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
15 eleq1 2472 . . . . . . 7  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  <->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1615biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1714, 16syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) ) )
1817pm2.43a 48 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  e.  DivRingOps ) )
1912, 18sylbird 235 . . 3  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( U  =  Z  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
2019necon3bd 2613 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z ) )
214, 20mpi 18 1  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   _Vcvv 3056    \ cdif 3408   {csn 3969   <.cop 3975   class class class wbr 4392    X. cxp 4938   ran crn 4941    |` cres 4942   ` cfv 5523   1stc1st 6734   2ndc2nd 6735   1oc1o 7078    ~~ cen 7469   GrpOpcgr 25483  GIdcgi 25484   RingOpscrngo 25672   DivRingOpscdrng 25702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-1o 7085  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-grpo 25488  df-gid 25489  df-ablo 25579  df-ass 25610  df-exid 25612  df-mgmOLD 25616  df-sgrOLD 25628  df-mndo 25635  df-rngo 25673  df-drngo 25703
This theorem is referenced by:  isdrngo2  31607  divrngpr  31696  isfldidl  31711
  Copyright terms: Public domain W3C validator