MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrunz Structured version   Unicode version

Theorem dvrunz 25099
Description: In a division ring the unit is different from the zero. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrunz.1  |-  G  =  ( 1st `  R
)
dvrunz.2  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
dvrunz.3  |-  X  =  ran  G
dvrunz.4  |-  Z  =  (GId `  G )
dvrunz.5  |-  U  =  (GId `  H )
Assertion
Ref Expression
dvrunz  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)

Proof of Theorem dvrunz
StepHypRef Expression
1 dvrunz.4 . . . 4  |-  Z  =  (GId `  G )
2 fvex 5869 . . . 4  |-  (GId `  G )  e.  _V
31, 2eqeltri 2546 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43zrdivrng 25098 . 2  |-  -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
5 dvrunz.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( 1st `  R
)
6 dvrunz.2 . . . . . . 7  |-  H  =  ( 2nd `  R
)
7 dvrunz.3 . . . . . . 7  |-  X  =  ran  G
85, 6, 7, 1drngoi 25073 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( R  e.  RingOps 
/\  ( H  |`  ( ( X  \  { Z } )  X.  ( X  \  { Z } ) ) )  e.  GrpOp ) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  R  e.  RingOps )
10 dvrunz.5 . . . . . 6  |-  U  =  (GId `  H )
115, 6, 1, 10, 7rngoueqz 25096 . . . . 5  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  U  =  Z ) )
135, 7, 1rngosn6 25094 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
149, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o 
<->  R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >. ) )
15 eleq1 2534 . . . . . . 7  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  <->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1615biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( R  =  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
1714, 16syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  ( R  e.  DivRingOps  -> 
<. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) ) )
1817pm2.43a 49 . . . 4  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( X  ~~  1o  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. }
>.  e.  DivRingOps ) )
1912, 18sylbird 235 . . 3  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( U  =  Z  ->  <. { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps
) )
2019necon3bd 2674 . 2  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  ( -.  <. {
<. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } ,  { <. <. Z ,  Z >. ,  Z >. } >.  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z ) )
214, 20mpi 17 1  |-  ( R  e.  DivRingOps  ->  U  =/=  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   _Vcvv 3108    \ cdif 3468   {csn 4022   <.cop 4028   class class class wbr 4442    X. cxp 4992   ran crn 4995    |` cres 4996   ` cfv 5581   1stc1st 6774   2ndc2nd 6775   1oc1o 7115    ~~ cen 7505   GrpOpcgr 24852  GIdcgi 24853   RingOpscrngo 25041   DivRingOpscdrng 25071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-grpo 24857  df-gid 24858  df-ablo 24948  df-ass 24979  df-exid 24981  df-mgm 24985  df-sgr 24997  df-mndo 25004  df-rngo 25042  df-drngo 25072
This theorem is referenced by:  isdrngo2  29953  divrngpr  30042  isfldidl  30057
  Copyright terms: Public domain W3C validator