MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres3 Structured version   Unicode version

Theorem dvres3 21393
Description: Restriction of a complex differentiable function to the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvres3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( S  _D  ( F  |`  S ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  S ) )

Proof of Theorem dvres3
StepHypRef Expression
1 reldv 21350 . . 3  |-  Rel  ( S  _D  ( F  |`  S ) )
2 recnprss 21384 . . . . . 6  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
32ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  S  C_  CC )
4 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  F : A --> CC )
5 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  S  C_  dom  ( CC 
_D  F ) )
6 ssid 3380 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  CC  C_  CC )
8 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  A  C_  CC )
97, 4, 8dvbss 21381 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  dom  ( CC  _D  F
)  C_  A )
105, 9sstrd 3371 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  S  C_  A )
11 fssres 5583 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  S  C_  A )  -> 
( F  |`  S ) : S --> CC )
124, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( F  |`  S ) : S --> CC )
13 ssid 3380 . . . . . 6  |-  S  C_  S
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  S  C_  S )
153, 12, 14dvbss 21381 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) 
C_  S )
16 ssdmres 5137 . . . . 5  |-  ( S 
C_  dom  ( CC  _D  F )  <->  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S )  =  S )
175, 16sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S )  =  S )
1815, 17sseqtr4d 3398 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) 
C_  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )
19 relssres 5152 . . 3  |-  ( ( Rel  ( S  _D  ( F  |`  S ) )  /\  dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) )  C_  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )  ->  ( ( S  _D  ( F  |`  S ) )  |`  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
201, 18, 19sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( ( S  _D  ( F  |`  S ) )  |`  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )  =  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
21 dvfg 21386 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) : dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) --> CC )
2221ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( S  _D  ( F  |`  S ) ) : dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) --> CC )
23 ffun 5566 . . . 4  |-  ( ( S  _D  ( F  |`  S ) ) : dom  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) --> CC  ->  Fun  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  ->  Fun  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
25 dvres2 21392 . . . 4  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  CC ) )  ->  (
( CC  _D  F
)  |`  S )  C_  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
267, 4, 8, 3, 25syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( ( CC  _D  F )  |`  S ) 
C_  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )
27 funssres 5463 . . 3  |-  ( ( Fun  ( S  _D  ( F  |`  S ) )  /\  ( ( CC  _D  F )  |`  S )  C_  ( S  _D  ( F  |`  S ) ) )  ->  ( ( S  _D  ( F  |`  S ) )  |`  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )
2824, 26, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( ( S  _D  ( F  |`  S ) )  |`  dom  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )  =  ( ( CC  _D  F )  |`  S ) )
2920, 28eqtr3d 2477 1  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F : A --> CC )  /\  ( A  C_  CC  /\  S  C_  dom  ( CC  _D  F
) ) )  -> 
( S  _D  ( F  |`  S ) )  =  ( ( CC 
_D  F )  |`  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   {cpr 3884   dom cdm 4845    |` cres 4847   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417   -->wf 5419  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286    _D cdv 21343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-icc 11312  df-fz 11443  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-rest 14366  df-topn 14367  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-limc 21346  df-dv 21347
This theorem is referenced by:  dvcmul  21423  dvcmulf  21424  efcvx  21919  dvrelog  22087  itgpowd  29595  lhe4.4ex1a  29608  dvsconst  29609  dvsid  29610  dvsef  29611  dvcosre  29793  itgsinexplem1  29799
  Copyright terms: Public domain W3C validator