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Theorem dvres2lem 19750
Description: Lemma for dvres2 19752. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
dvres.t  |-  T  =  ( Kt  S )
dvres.g  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
dvres.s  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
dvres.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvres.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvres.b  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
dvres.y  |-  ( ph  ->  y  e.  CC )
dvres2lem.d  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
dvres2lem.x  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
Assertion
Ref Expression
dvres2lem  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, F, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    z, K    ph, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    G( x, y, z)    K( x, y)

Proof of Theorem dvres2lem
StepHypRef Expression
1 dvres.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( Kt  S )
2 dvres.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18771 . . . . . . . 8  |-  K  e. 
Top
4 dvres.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 9027 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 17178 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
11 inss1 3521 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
12 dvres.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
1311, 12syl5ss 3319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  S )
142cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . 11  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
15 resttopon 17179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
1614, 4, 15sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
171, 16syl5eqel 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (TopOn `  S ) )
18 toponuni 16947 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. T )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  =  U. T
)
2013, 19sseqtrd 3344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  U. T )
21 difssd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U. T  \  B )  C_  U. T
)
2220, 21unssd 3483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T )
23 inundif 3666 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
2412, 19sseqtrd 3344 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. T )
25 ssdif 3442 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  U. T  ->  ( A  \  B )  C_  ( U. T  \  B
) )
26 unss2 3478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  B ) 
C_  ( U. T  \  B )  ->  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
2823, 27syl5eqssr 3353 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )
29 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
3029ntrss 17074 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  Top  /\  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) 
C_  U. T  /\  A  C_  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  ->  ( ( int `  T ) `  A )  C_  (
( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
3110, 22, 28, 30syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  T
) `  A )  C_  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
32 dvres2lem.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x ( S  _D  F ) y )
33 dvres.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( z  e.  ( A  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
34 dvres.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
351, 2, 33, 4, 34, 12eldv 19738 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) ) )
3632, 35mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  A )  /\  y  e.  ( G lim CC  x ) ) )
3736simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 A ) )
3831, 37sseldd 3309 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) ) )
39 dvres2lem.x . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  B )
40 elin 3490 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( ( int `  T ) `
 ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  <->  ( x  e.  ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  /\  x  e.  B
) )
4138, 39, 40sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
42 dvres.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  S )
4342, 19sseqtrd 3344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. T )
44 inss2 3522 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
4544a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  B )
46 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Tt  B )  =  ( Tt  B )
4729, 46restntr 17200 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Top  /\  B  C_  U. T  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  B )  -> 
( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
4810, 43, 45, 47syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( ( int `  T
) `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B ) )
491oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( Tt  B )  =  ( ( Kt  S )t  B )
503a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
51 restabs 17183 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Top  /\  B  C_  S  /\  S  e.  _V )  ->  (
( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5250, 42, 7, 51syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Kt  S )t  B )  =  ( Kt  B ) )
5349, 52syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Tt  B )  =  ( Kt  B ) )
5453fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( int `  ( Tt  B ) )  =  ( int `  ( Kt  B ) ) )
5554fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( Tt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5648, 55eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( int `  T ) `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( U. T  \  B ) ) )  i^i  B )  =  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
5741, 56eleqtrd 2480 . 2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) ) )
58 limcresi 19725 . . . 4  |-  ( G lim
CC  x )  C_  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x )
5936simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( G lim
CC  x ) )
6058, 59sseldi 3306 . . 3  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
61 difss 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  ( A  i^i  B )
6261, 44sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  C_  B
6362sseli 3304 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  ->  z  e.  B
)
64 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 z )  =  ( F `  z
) )
65 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
6639, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  B ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
6764, 66oveqan12rd 6060 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
) )
6867oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  (
( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) )  =  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )
6963, 68sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  -> 
( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) )  =  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7069mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7133reseq1i 5101 . . . . . 6  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( ( z  e.  ( A  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )
72 ssdif 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
) )
73 resmpt 5150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  C_  ( A  \  { x }
)  ->  ( (
z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) )
7411, 72, 73mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ( A 
\  { x }
)  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7571, 74eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( F `  z
)  -  ( F `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
7670, 75syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( A  i^i  B
)  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )  =  ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) )
7776oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x )  =  ( ( G  |`  (
( A  i^i  B
)  \  { x } ) ) lim CC  x ) )
7860, 77eleqtrrd 2481 . 2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B ) 
\  { x }
)  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `
 z )  -  ( ( F  |`  B ) `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) )
79 eqid 2404 . . 3  |-  ( Kt  B )  =  ( Kt  B )
80 eqid 2404 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } ) 
|->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z )  -  (
( F  |`  B ) `
 x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) )
8142, 4sstrd 3318 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
82 fresin 5571 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8334, 82syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : ( A  i^i  B ) --> CC )
8479, 2, 80, 81, 83, 45eldv 19738 . 2  |-  ( ph  ->  ( x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  B ) ) `  ( A  i^i  B ) )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( ( A  i^i  B )  \  { x } )  |->  ( ( ( ( F  |`  B ) `  z
)  -  ( ( F  |`  B ) `  x ) )  / 
( z  -  x
) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8557, 78, 84mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  x ( B  _D  ( F  |`  B ) ) y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    |` cres 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944    - cmin 9247    / cdiv 9633   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   intcnt 17036   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvres2  19752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-cnp 17246  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706  df-dv 19707
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