MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvreq1 Structured version   Unicode version

Theorem dvreq1 17660
Description: A cancellation law for division. (diveq1 10278 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvreq1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvreq1.o  |-  U  =  (Unit `  R )
dvreq1.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvreq1.t  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvreq1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  =  .1.  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem dvreq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6284 . . 3  |-  ( ( X  ./  Y )  =  .1.  ->  ( ( X  ./  Y ) ( .r `  R ) Y )  =  (  .1.  ( .r `  R ) Y ) )
2 dvreq1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 dvreq1.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
4 dvreq1.d . . . . 5  |-  ./  =  (/r
`  R )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
62, 3, 4, 5dvrcan1 17658 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
) ( .r `  R ) Y )  =  X )
72, 3unitcl 17626 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
8 dvreq1.t . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
92, 5, 8ringlidm 17540 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) Y )  =  Y )
107, 9sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) Y )  =  Y )
11103adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (  .1.  ( .r `  R
) Y )  =  Y )
126, 11eqeq12d 2424 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( X  ./  Y ) ( .r
`  R ) Y )  =  (  .1.  ( .r `  R
) Y )  <->  X  =  Y ) )
131, 12syl5ib 219 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  =  .1.  ->  X  =  Y ) )
143, 4, 8dvrid 17655 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( Y  ./  Y )  =  .1.  )
15143adant2 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( Y  ./  Y )  =  .1.  )
16 oveq1 6284 . . . 4  |-  ( X  =  Y  ->  ( X  ./  Y )  =  ( Y  ./  Y
) )
1716eqeq1d 2404 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( X  ./  Y
)  =  .1.  <->  ( Y  ./  Y )  =  .1.  ) )
1815, 17syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  =  Y  ->  ( X  ./  Y )  =  .1.  ) )
1913, 18impbid 191 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  =  .1.  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839   .rcmulr 14908   1rcur 17471   Ringcrg 17516  Unitcui 17606  /rcdvr 17649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650
This theorem is referenced by:  sum2dchr  23928
  Copyright terms: Public domain W3C validator