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Theorem dvrec 21561
Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvrec  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvrec
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 21515 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC
2 ssid 3482 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
4 eldifsn 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5 divcl 10110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
653expb 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
74, 6sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
8 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) )
97, 8fmptd 5975 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
10 difssd 3591 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
113, 9, 10dvbss 21508 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
13 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413cnfldtop 20494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1513cnfldhaus 20495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
16 0cn 9488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
1713cnfldtopon 20493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1817toponunii 18668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1918sncld 19106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2015, 16, 19mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2118cldopn 18766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23 isopn3i 18817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( CC  \  {
0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
2414, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { 0 } )
2512, 24syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
26 eldifi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  CC )
2827sqvald 12121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( y  x.  y
) )
2928oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y  x.  y ) ) )
30 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  A  e.  CC )
31 eldifsni 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  =/=  0 )
3330, 27, 27, 32, 32divdiv1d 10248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( A  /  y )  / 
y )  =  ( A  /  ( y  x.  y ) ) )
3429, 33eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( ( A  / 
y )  /  y
) )
3534negeqd 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  = 
-u ( ( A  /  y )  / 
y ) )
3630, 27, 32divcld 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
3736, 27, 32divnegd 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( A  /  y )  /  y )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3835, 37eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3936negcld 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
40 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
4140cdivcncf 20624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( A  /  y
)  e.  CC  ->  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  e.  ( ( CC  \  {
0 } ) -cn-> CC ) )
43 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
4442, 12, 43cnmptlimc 21497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( -u ( A  /  y )  / 
y )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y ) )
4538, 44eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) lim CC  y
) )
46 cncff 20600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
4847limcdif 21483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
49 eldifi 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5150eldifad 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  CC )
5226ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  e.  CC )
5351, 52subcld 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5436adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
55 eldifsni 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  0 )
5754, 51, 56divcld 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
58 mulneg12 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )  ->  ( -u (
z  -  y )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
5953, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
6052, 51, 57subdird 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  -  z
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  -  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) ) )
6151, 52negsubdi2d 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
z  -  y )  =  ( y  -  z ) )
6261oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  -  z )  x.  ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
63 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  z
) )
64 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  z )  e. 
_V
6563, 8, 64fvmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( A  /  z ) )
6650, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( A  /  z
) )
67 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  A  e.  CC )
6831ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  =/=  0 )
6967, 52, 68divcan2d 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
7069oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( A  /  z
) )
7152, 54, 51, 56divassd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7266, 70, 713eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
73 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  y
) )
74 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  y )  e. 
_V
7573, 8, 74fvmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( A  /  y ) )
7675ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( A  /  y
) )
7754, 51, 56divcan2d 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( A  / 
y ) )
7876, 77eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7972, 78oveq12d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  -  ( z  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) ) )
8060, 62, 793eqtr4d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) ) )
8154, 51, 56divnegd 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
8281oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
8359, 80, 823eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( z  -  y
)  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
8483oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) ) )
8554negcld 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
8685, 51, 56divcld 10217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
87 eldifsni 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8951, 52, 88subne0d 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  =/=  0 )
9086, 53, 89divcan3d 10222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
9184, 90eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9291mpteq2dva 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
93 difss 3590 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
94 resmpt 5263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9692, 95syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) ) )
9796oveq1d 6214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
9848, 97eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( z  e.  ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
|->  ( ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim
CC  y ) )
9945, 98eleqtrd 2544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) )
10018restid 14490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10114, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
102101eqcomi 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
103 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) )
1042a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  CC  C_  CC )
1059adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC )
106 difssd 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
107102, 13, 103, 104, 105, 106eldv 21505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  <->  ( y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) ) ) )
10825, 99, 107mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
109 vex 3079 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
110 negex 9718 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
111109, 110breldm 5151 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
112108, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
113112ex 434 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) ) )
114113ssrdv 3469 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
11511, 114eqssd 3480 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
116115feq2d 5654 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC ) )
1171, 116mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
118 ffn 5666 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
119117, 118syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
120 negex 9718 . . . 4  |-  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e. 
_V
121120rgenw 2899 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) -u ( A  /  (
x ^ 2 ) )  e.  _V
122 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )
123122fnmpt 5644 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( CC  \  { 0 } )
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
124121, 123mp1i 12 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn  ( CC  \  {
0 } ) )
125 ffun 5668 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
1261, 125mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
127 funbrfv 5838 . . . 4  |-  ( Fun  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  ->  ( y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) -u ( A  /  (
y ^ 2 ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) ) )
128126, 108, 127sylc 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
129 oveq1 6206 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
130129oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
131130negeqd 9714 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
132131, 122, 110fvmpt 5882 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
133132adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
134128, 133eqtr4d 2498 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y ) )
135119, 124, 134eqfnfvd 5908 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798   _Vcvv 3076    \ cdif 3432    C_ wss 3435   {csn 3984   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   dom cdm 4947    |` cres 4949   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   0cc0 9392    x. cmul 9397    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   2c2 10481   ^cexp 11981   ↾t crest 14477   TopOpenctopn 14478  ℂfldccnfld 17942   Topctop 18629   Clsdccld 18751   intcnt 18752   Hauscha 19043   -cn->ccncf 20583   lim CC climc 21469    _D cdv 21470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-t1 19049  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474
This theorem is referenced by:  dvexp3  21582  dvtan  28589
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