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Theorem dvrec 22895
Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvrec  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvrec
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 22849 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC
2 ssid 3483 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
4 eldifsn 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5 divcl 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
653expb 1206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
74, 6sylan2b 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
8 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) )
97, 8fmptd 6057 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
10 difssd 3593 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
113, 9, 10dvbss 22842 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
12 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413cnfldtop 21790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1513cnfldhaus 21791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
16 0cn 9635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
1713cnfldtopon 21789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1817toponunii 19933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1918sncld 20373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2015, 16, 19mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2118cldopn 20032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23 isopn3i 20084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( CC  \  {
0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
2414, 22, 23mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { 0 } )
2512, 24syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
26 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  CC )
2827sqvald 12412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( y  x.  y
) )
2928oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y  x.  y ) ) )
30 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  A  e.  CC )
31 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  =/=  0 )
3330, 27, 27, 32, 32divdiv1d 10414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( A  /  y )  / 
y )  =  ( A  /  ( y  x.  y ) ) )
3429, 33eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( ( A  / 
y )  /  y
) )
3534negeqd 9869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  = 
-u ( ( A  /  y )  / 
y ) )
3630, 27, 32divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
3736, 27, 32divnegd 10396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( A  /  y )  /  y )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3835, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3936negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
40 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
4140cdivcncf 21935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( A  /  y
)  e.  CC  ->  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
4239, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  e.  ( ( CC  \  {
0 } ) -cn-> CC ) )
43 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
4442, 12, 43cnmptlimc 22831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( -u ( A  /  y )  / 
y )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y ) )
4538, 44eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) lim CC  y
) )
46 cncff 21911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
4847limcdif 22817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
49 eldifi 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5150eldifad 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  CC )
5226ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  e.  CC )
5351, 52subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5436adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
55 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  0 )
5754, 51, 56divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
58 mulneg12 10057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )  ->  ( -u (
z  -  y )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
5953, 57, 58syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
6052, 51, 57subdird 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  -  z
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  -  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) ) )
6151, 52negsubdi2d 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
z  -  y )  =  ( y  -  z ) )
6261oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  -  z )  x.  ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
63 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  z
) )
64 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  z )  e. 
_V
6563, 8, 64fvmpt 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( A  /  z ) )
6650, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( A  /  z
) )
67 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  A  e.  CC )
6831ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  =/=  0 )
6967, 52, 68divcan2d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
7069oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( A  /  z
) )
7152, 54, 51, 56divassd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7266, 70, 713eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
73 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  y
) )
74 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  y )  e. 
_V
7573, 8, 74fvmpt 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( A  /  y ) )
7675ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( A  /  y
) )
7754, 51, 56divcan2d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( A  / 
y ) )
7876, 77eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7972, 78oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  -  ( z  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) ) )
8060, 62, 793eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) ) )
8154, 51, 56divnegd 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
8281oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
8359, 80, 823eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( z  -  y
)  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
8483oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) ) )
8554negcld 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
8685, 51, 56divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
87 eldifsni 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8887adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8951, 52, 88subne0d 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  =/=  0 )
9086, 53, 89divcan3d 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
9184, 90eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9291mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
93 difss 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
94 resmpt 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9692, 95syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) ) )
9796oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
9848, 97eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( z  e.  ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
|->  ( ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim
CC  y ) )
9945, 98eleqtrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) )
10018restid 15319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10114, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
102101eqcomi 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
103 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) )
1042a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  CC  C_  CC )
1059adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC )
106 difssd 3593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
107102, 13, 103, 104, 105, 106eldv 22839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  <->  ( y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) ) ) )
10825, 99, 107mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
109 vex 3084 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
110 negex 9873 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
111109, 110breldm 5054 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
112108, 111syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
113112ex 435 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) ) )
114113ssrdv 3470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
11511, 114eqssd 3481 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
116115feq2d 5729 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC ) )
1171, 116mpbii 214 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
118 ffn 5742 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
119117, 118syl 17 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
120 negex 9873 . . . 4  |-  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e. 
_V
121120rgenw 2786 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) -u ( A  /  (
x ^ 2 ) )  e.  _V
122 eqid 2422 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )
123122fnmpt 5718 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( CC  \  { 0 } )
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
124121, 123mp1i 13 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn  ( CC  \  {
0 } ) )
125 ffun 5744 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
1261, 125mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
127 funbrfv 5915 . . . 4  |-  ( Fun  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  ->  ( y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) -u ( A  /  (
y ^ 2 ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) ) )
128126, 108, 127sylc 62 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
129 oveq1 6308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
130129oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
131130negeqd 9869 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
132131, 122, 110fvmpt 5960 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
133132adantl 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
134128, 133eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y ) )
135119, 124, 134eqfnfvd 5990 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    C_ wss 3436   {csn 3996   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849    |` cres 4851   Fun wfun 5591    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   0cc0 9539    x. cmul 9544    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   2c2 10659   ^cexp 12271   ↾t crest 15306   TopOpenctopn 15307  ℂfldccnfld 18957   Topctop 19903   Clsdccld 20017   intcnt 20018   Hauscha 20310   -cn->ccncf 21894   lim CC climc 22803    _D cdv 22804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-t1 20316  df-haus 20317  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808
This theorem is referenced by:  dvexp3  22916  dvtan  31905  dvrecg  37601
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