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Theorem dvrec 19794
Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvrec  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem dvrec
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 19748 . . . 4  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC
2 ssid 3327 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
4 eldifsn 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
5 divcl 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
653expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
74, 6sylan2b 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  x )  e.  CC )
8 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) )
97, 8fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
10 difssd 3435 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  CC )
113, 9, 10dvbss 19741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
12 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
13 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
1413cnfldtop 18771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
1513cnfldhaus 18772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
16 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
1713cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
1817toponunii 16952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
1918sncld 17389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Haus  /\  0  e.  CC )  ->  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )
2015, 16, 19mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
2118cldopn 17050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { 0 }  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  ->  ( CC  \  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
2220, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  e.  ( TopOpen ` fld )
23 isopn3i 17101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  ( CC  \  {
0 } )  e.  ( TopOpen ` fld ) )  ->  (
( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
2414, 22, 23mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( int `  ( TopOpen ` fld )
) `  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( CC 
\  { 0 } )
2512, 24syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) ) )
26 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  e.  CC )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  CC )
2827sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( y  x.  y
) )
2928oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y  x.  y ) ) )
30 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  A  e.  CC )
31 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  y  =/=  0
)
3231adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  =/=  0 )
3330, 27, 27, 32, 32divdiv1d 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( A  /  y )  / 
y )  =  ( A  /  ( y  x.  y ) ) )
3429, 33eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( ( A  / 
y )  /  y
) )
3534negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  = 
-u ( ( A  /  y )  / 
y ) )
3630, 27, 32divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
3736, 27, 32divnegd 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( A  /  y )  /  y )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3835, 37eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
3936negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
40 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )
4140cdivcncf 18900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( A  /  y
)  e.  CC  ->  ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC ) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  e.  ( ( CC  \  {
0 } ) -cn-> CC ) )
43 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
y ) )
4442, 12, 43cnmptlimc 19730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( -u ( A  /  y )  / 
y )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) lim CC  y ) )
4538, 44eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) lim CC  y
) )
46 cncff 18876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  e.  ( ( CC  \  { 0 } )
-cn-> CC )  ->  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
4847limcdif 19716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
49 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
5150eldifad 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  e.  CC )
5226ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  e.  CC )
5351, 52subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5436adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( A  /  y )  e.  CC )
55 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  z  =/=  0
)
5650, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  0 )
5754, 51, 56divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
58 mulneg12 9428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( A  / 
y )  /  z
)  e.  CC )  ->  ( -u (
z  -  y )  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
5953, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  -u ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
6052, 51, 57subdird 9446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  -  z
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) )  -  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) ) )
6151, 52negsubdi2d 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
z  -  y )  =  ( y  -  z ) )
6261oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( y  -  z )  x.  ( ( A  / 
y )  /  z
) ) )
63 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  z  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  z
) )
64 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  z )  e. 
_V
6563, 8, 64fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  =  ( A  /  z ) )
6650, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( A  /  z
) )
67 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  A  e.  CC )
6831ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  y  =/=  0 )
6967, 52, 68divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
y  x.  ( A  /  y ) )  =  A )
7069oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( A  /  z
) )
7152, 54, 51, 56divassd 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( y  x.  ( A  /  y ) )  /  z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7266, 70, 713eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  =  ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
73 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  x )  =  ( A  /  y
) )
74 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  /  y )  e. 
_V
7573, 8, 74fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
)  =  ( A  /  y ) )
7675ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( A  /  y
) )
7754, 51, 56divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( A  / 
y ) )
7876, 77eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y )  =  ( z  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) ) )
7972, 78oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( y  x.  (
( A  /  y
)  /  z ) )  -  ( z  x.  ( ( A  /  y )  / 
z ) ) ) )
8060, 62, 793eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( z  -  y
)  x.  ( ( A  /  y )  /  z ) )  =  ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) ) )
8154, 51, 56divnegd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u (
( A  /  y
)  /  z )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( z  -  y
)  x.  -u (
( A  /  y
)  /  z ) )  =  ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) )
8359, 80, 823eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  =  ( ( z  -  y
)  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
8483oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  ( ( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) ) )
8554negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  -u ( A  /  y )  e.  CC )
8685, 51, 56divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  ( -u ( A  /  y
)  /  z )  e.  CC )
87 eldifsni 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  ->  z  =/=  y )
8887adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  z  =/=  y )
8951, 52, 88subne0d 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
z  -  y )  =/=  0 )
9086, 53, 89divcan3d 9751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( z  -  y )  x.  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) )  /  ( z  -  y ) )  =  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )
9184, 90eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  ->  (
( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) )  =  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9291mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( -u ( A  /  y
)  /  z ) ) )
93 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  C_  ( CC  \  { 0 } )
94 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
C_  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( z  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) ) )
9593, 94ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )
9692, 95syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) )  =  ( ( z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) )  |`  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } ) ) )
9796oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) ) lim CC  y )  =  ( ( ( z  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  (
-u ( A  / 
y )  /  z
) )  |`  (
( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) ) lim CC  y ) )
9848, 97eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( -u ( A  /  y )  / 
z ) ) lim CC  y )  =  ( ( z  e.  ( ( CC  \  {
0 } )  \  { y } ) 
|->  ( ( ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  (
( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim
CC  y ) )
9945, 98eleqtrd 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) )
10018restid 13616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
10114, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
102101eqcomi 2408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
103 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( ( CC 
\  { 0 } )  \  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  y
) )  /  (
z  -  y ) ) )  =  ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } )  \  {
y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) `  z
)  -  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  / 
( z  -  y
) ) )
1042a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  CC  C_  CC )
1059adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC )
106 difssd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( CC  \  { 0 } ) 
C_  CC )
107102, 13, 103, 104, 105, 106eldv 19738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  <->  ( y  e.  ( ( int `  ( TopOpen
` fld
) ) `  ( CC  \  { 0 } ) )  /\  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e.  ( ( z  e.  ( ( CC  \  { 0 } ) 
\  { y } )  |->  ( ( ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `
 z )  -  ( ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) `  y ) )  /  ( z  -  y ) ) ) lim CC  y ) ) ) )
10825, 99, 107mpbir2and 889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
109 vex 2919 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
110 negex 9260 . . . . . . . . . 10  |-  -u ( A  /  ( y ^
2 ) )  e. 
_V
111109, 110breldm 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
112108, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
113112ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  ->  y  e.  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) ) )
114113ssrdv 3314 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  \  { 0 } )  C_  dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
11511, 114eqssd 3325 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  dom  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( CC  \  { 0 } ) )
116115feq2d 5540 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : dom  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  <->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC 
\  { 0 } ) --> CC ) )
1171, 116mpbii 203 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) : ( CC  \  { 0 } ) --> CC )
118 ffn 5550 . . 3  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : ( CC  \  {
0 } ) --> CC 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
119117, 118syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
120 negex 9260 . . . 4  |-  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  e. 
_V
121120rgenw 2733 . . 3  |-  A. x  e.  ( CC  \  {
0 } ) -u ( A  /  (
x ^ 2 ) )  e.  _V
122 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )
123122fnmpt 5530 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( CC  \  { 0 } )
-u ( A  / 
( x ^ 2 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) ) )  Fn  ( CC  \  { 0 } ) )
124121, 123mp1i 12 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) )  Fn  ( CC  \  {
0 } ) )
125 ffun 5552 . . . . 5  |-  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) : dom  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) --> CC  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
1261, 125mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  Fun  ( CC 
_D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) )
127 funbrfv 5724 . . . 4  |-  ( Fun  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  ->  ( y ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( A  /  x
) ) ) -u ( A  /  (
y ^ 2 ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) ) )
128126, 108, 127sylc 58 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  -u ( A  /  ( y ^
2 ) ) )
129 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
130129oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  /  ( x ^
2 ) )  =  ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
131130negeqd 9256 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  -u ( A  /  ( x ^
2 ) )  = 
-u ( A  / 
( y ^ 2 ) ) )
132131, 122, 110fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
133132adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y )  =  -u ( A  /  (
y ^ 2 ) ) )
134128, 133eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) `  y ) )
135119, 124, 134eqfnfvd 5789 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( x  e.  ( CC  \  {
0 } )  |->  ( A  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  -u ( A  / 
( x ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    |` cres 4839   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   2c2 10005   ^cexp 11337   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658   Topctop 16913   Clsdccld 17035   intcnt 17036   Hauscha 17326   -cn->ccncf 18859   lim CC climc 19702    _D cdv 19703
This theorem is referenced by:  dvexp3  19815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707
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