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Theorem dvreasin 26179
Description: Real derivative of arcsine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvreasin  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreasin
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 asinf 20665 . . . . . . 7  |- arcsin : CC --> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
-> arcsin : CC --> CC )
3 ioossre 10928 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 9003 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3317 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5739 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arcsin `  x )
) )
87trud 1329 . . . 4  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )
9 elioore 10902 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  RR )
109recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  x  e.  CC )
11 asinval 20675 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (arcsin `  x )  =  (
-u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1312mpteq2ia 4251 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  (arcsin `  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
148, 13eqtri 2424 . . 3  |-  (arcsin  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
1514oveq2i 6051 . 2  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )
16 reex 9037 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716prid1 3872 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1817a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
19 ax-icn 9005 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
21 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
2220, 21mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
23 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  1  e.  CC )
25 sqcl 11399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
2624, 25subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
2726sqrcld 12194 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2822, 27addcld 9063 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
29 asinlem 20661 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
3028, 29logcld 20421 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3110, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
3231adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
33 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
35 cnex 9027 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3635prid2 3873 . . . . . . 7  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
3810, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
40 asinlem3 20664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
Re `  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
42 rere 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4342breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <_  ( Re `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( Re `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  <->  0  <_  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4541, 44mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
4629adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0
)
4739, 45, 46ne0gt0d 9166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  <  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
48 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
5049, 39ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5147, 50mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  ->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
)
5251ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5310, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
54 imor 402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0
) )
5553, 54sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
5655orcomd 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )
5756olcd 383 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
58 3ianor 951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 )  <->  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
59 3orrot 942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  \/  -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/ 
-.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) )
60 3orass 939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR )  <-> 
( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR ) ) )
6158, 59, 603bitrri 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) )
62 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e.  RR*
63 elioc2 10929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  ( (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\  -oo  <  ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  /\  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0 ) ) )
6462, 48, 63mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0
)  <->  ( ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  RR  /\ 
-oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  <_ 
0 ) )
6561, 64xchbinxr 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  -oo  <  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  \/  ( -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  <_  0  \/  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  RR ) )  <->  -.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 
-oo (,] 0 ) )
6657, 65sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  (  -oo (,] 0 ) )
6738, 66eldifd 3291 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
6867adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
69 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
71 eldifi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  e.  CC )
72 eldifn 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  -.  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
73 0xr 9087 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
74 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
7548, 74ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  <  0
76 ubioc1 10921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  -oo  <  0 )  ->  0  e.  (  -oo (,] 0
) )
7762, 73, 75, 76mp3an 1279 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  (  -oo (,] 0
)
78 eleq1 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  (  -oo (,] 0 )  <->  0  e.  (  -oo (,] 0 ) ) )
7977, 78mpbiri 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  y  e.  (  -oo (,] 0
) )
8079necon3bi 2608 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  y  =/=  0 )
8172, 80syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  y  =/=  0 )
8271, 81logcld 20421 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
8382adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
84 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  y )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e. 
_V )
8610, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  x )  e.  CC )
8786adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( _i  x.  x
)  e.  CC )
8819a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  _i  e.  CC )
8910adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  x  e.  CC )
9023a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
1  e.  CC )
91 recn 9036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
9291adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  CC )
9323a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
9418dvmptid 19796 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  1 ) )
953a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  RR )
96 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
9796tgioo2 18787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
98 iooretop 18753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 (,) 1 )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
9998a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
)
10018, 92, 93, 94, 95, 97, 96, 99dvmptres 19802 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  x ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  1 ) )
10119a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  _i  e.  CC )
10218, 89, 90, 100, 101dvmptcmul 19803 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  x.  1 ) ) )
10319mulid1i 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
104103mpteq2i 4252 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  x.  1 ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  _i )
105102, 104syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  _i ) )
10610, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107106adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
108 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
109108a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V )
110 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  1  e.  RR )
1129resqcld 11504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
113111, 112resubcld 9421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR )
114110renegcli 9318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  RR
115114rexri 9093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  RR*
116110rexri 9093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR*
117 elioo2 10913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u 1  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
118115, 116, 117mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) )
11991abscld 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
120110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  RR )
12191absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  ( abs `  x
) )
122 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  1 )
124119, 120, 121, 123lt2sqd 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
125 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
126125, 120absltd 12187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  <  1  <->  ( -u 1  <  x  /\  x  <  1 ) ) )
127 absresq 12062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
128 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
130127, 129breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x ^ 2 )  <  1 ) )
131 resqcl 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR )
132131, 120posdifd 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x ^ 2 )  <  1  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
133130, 132bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 )  <->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
134124, 126, 1333bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  <->  0  <  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
135134biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( -u 1  <  x  /\  x  <  1
)  ->  0  <  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
1361353impib 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -u 1  <  x  /\  x  <  1 )  -> 
0  <  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )
137118, 136sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  0  <  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) )
138113, 137elrpd 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
139138adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  RR+ )
140 negex 9260 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  x.  x )  e.  _V
141140a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )  ->  -u ( 2  x.  x
)  e.  _V )
142 rpcn 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
143142sqrcld 12194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
144143adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  y )  e.  CC )
145 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V
146145a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  e. 
_V )
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  1  e.  CC )
14891sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
149147, 148subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
150149adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
151140a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  _V )
15248a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
15323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
15418, 153dvmptc 19797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 ) )
155148adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
156 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  x )  e. 
_V
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
15896cnfldtopon 18770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
159 toponmax 16948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  CC  e.  ( TopOpen ` fld ) )
160158, 159mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  CC  e.  ( TopOpen ` fld )
)
161 df-ss 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
1624, 161mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( RR 
i^i  CC )  =  RR
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( RR  i^i  CC )  =  RR )
16425adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
165156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
2  x.  x )  e.  _V )
166 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
167 dvexp 19792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( CC  _D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) ) )
168166, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^ (
2  -  1 ) ) ) )
169 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
171170oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( x ^
1 ) )
172 exp1 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 1 )  =  x )
173171, 172eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ ( 2  -  1 ) )  =  x )
174173oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( x ^ ( 2  -  1 ) ) )  =  ( 2  x.  x ) )
175174mpteq2ia 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  ( x ^
( 2  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
176168, 175eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  CC  |->  ( x ^
2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) )
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17896, 18, 160, 163, 164, 165, 177dvmptres3 19795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( x ^ 2 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 2  x.  x ) ) )
17918, 93, 152, 154, 155, 157, 178dvmptsub 19806 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) ) )
180 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  x.  x )  =  ( 0  -  ( 2  x.  x
) )
181180mpteq2i 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  -u (
2  x.  x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( 0  -  ( 2  x.  x ) ) )
182179, 181syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  RR  |->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  -u ( 2  x.  x
) ) )
18318, 150, 151, 182, 95, 97, 96, 99dvmptres 19802 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  -u ( 2  x.  x ) ) )
184 dvsqr 20581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
_D  ( y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y
) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
y  e.  RR+  |->  ( sqr `  y ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) )
186 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )
187186oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
188187oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  ->  (
1  /  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) )  =  ( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
18918, 18, 139, 141, 144, 146, 183, 185, 186, 188dvmptco 19811 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) ) )
190 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  e.  CC )
192191, 10mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  -u x
)  =  -u (
2  x.  x ) )
193192oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u ( 2  x.  x )  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
19410negcld 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  e.  CC )
195 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  x  =  1 )
196 ubioo 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
197196a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  1  ->  -.  1  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
198195, 197eqneltrd 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
199198con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  1 )
200 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  =  -u 1 )
201 lbioo 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  -u 1  e.  ( -u 1 (,) 1 )
202201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  -u 1  e.  ( -u
1 (,) 1 ) )
203200, 202eqneltrd 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  -u 1  ->  -.  x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) )
204203con2i 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  x  =  -u 1 )
205 ioran 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  <->  ( -.  x  =  1  /\  -.  x  =  -u 1
) )
206199, 204, 205sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
20723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  e.  CC )
20810sqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
209208adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
210207, 209subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
211 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
212210, 211sqr00d 12198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  =  0 )
213207, 209, 212subeq0d 9375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( x ^ 2 ) )
214128, 213syl5req 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 )  /\  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )  ->  ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
215214ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
216 sqeqor 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
21710, 23, 216sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
218215, 217sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
219218necon3bd 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
220206, 219mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
221 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  2  =/=  0 )
223194, 106, 191, 220, 222divcan5d 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 2  x.  -u x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
224191, 10mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  x )  e.  CC )
225224negcld 9354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u (
2  x.  x )  e.  CC )
226190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  2  e.  CC )
227226, 27mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
22810, 227syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
229191, 106, 222, 220mulne0d 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
230225, 228, 229divrec2d 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u ( 2  x.  x
)  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u (
2  x.  x ) ) )
231193, 223, 2303eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
2  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x ) )  =  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
232231mpteq2ia 4251 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( 2  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  -u ( 2  x.  x
) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
233189, 232syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
23418, 87, 88, 105, 107, 109, 233dvmptadd 19799 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
23519a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  _i  e.  CC )
236235, 106mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )
237236, 194, 106, 220divdird 9784 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
238 ixi 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  (
_i  x.  _i )  =  -u 1 )
240239oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( -u 1  x.  x ) )
24120, 20, 21mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  x )  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
242 mulm1 9431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  x )  =  -u x )
243240, 241, 2423eqtr3rd 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
24410, 243syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u x  =  ( _i  x.  ( _i  x.  x
) ) )
245244oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
246236, 194addcomd 9224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( -u x  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
247235, 86, 106adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( _i  x.  x
) )  +  ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
248245, 246, 2473eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  +  -u x )  =  ( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
249248oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  +  -u x
)  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
250235, 106, 220divcan4d 9752 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  _i )
251250oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( _i  x.  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  +  ( -u x  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  +  (
-u x  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
252237, 249, 2513eqtr3rd 2445 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
253252mpteq2ia 4251 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( _i  +  ( -u x  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
254234, 253syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
255 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
256255dvlog 20495 . . . . . . 7  |-  ( CC 
_D  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  / 
y ) )
257 logf1o 20415 . . . . . . . . . 10  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
258 f1of 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
259257, 258mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  log : ( CC 
\  { 0 } ) --> ran  log )
260 snssi 3902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  e.  (  -oo (,] 0 )  ->  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 ) )
26177, 260ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )
262 sscon 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 }  C_  (  -oo (,] 0 )  -> 
( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
263261, 262mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  ( CC  \  { 0 } ) )
264259, 263feqresmpt 5739 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( y  e.  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
|->  ( log `  y
) ) )
265264oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) ) )
266256, 265syl5reqr 2451 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( CC  _D  (
y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( log `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  |->  ( 1  /  y ) ) )
267 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  ( log `  y )  =  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
268 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  /  y )  =  ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )
26918, 37, 68, 70, 83, 85, 254, 266, 267, 268dvmptco 19811 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
27028, 29reccld 9739 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
27110, 270syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
272235, 38mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC )
273271, 272, 106, 220divassd 9781 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
27410, 29syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =/=  0 )
275272, 38, 274divrec2d 9750 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
276235, 38, 274divcan4d 9752 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( _i  x.  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  _i )
277275, 276eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) ) )  =  _i )
278277oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( ( 1  / 
( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  x.  (
_i  x.  ( (
_i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
279273, 278eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( 1  /  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
280279mpteq2ia 4251 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( ( 1  /  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( ( _i  x.  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) ) ) )  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
281269, 280syl6eq 2452 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28219negcli 9324 . . . . 5  |-  -u _i  e.  CC
283282a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  -u _i  e.  CC )
28418, 32, 34, 281, 283dvmptcmul 19803 . . 3  |-  (  T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( log `  ( ( _i  x.  x )  +  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
285284trud 1329 . 2  |-  ( RR 
_D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( log `  (
( _i  x.  x
)  +  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  ( -u _i  x.  ( _i  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
286282a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  -u _i  e.  CC )
287286, 235, 106, 220divassd 9781 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  (
-u _i  x.  (
_i  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
28819, 19mulneg1i 9435 . . . . . . 7  |-  ( -u _i  x.  _i )  = 
-u ( _i  x.  _i )
289238negeqi 9255 . . . . . . 7  |-  -u (
_i  x.  _i )  =  -u -u 1
29023negnegi 9326 . . . . . . 7  |-  -u -u 1  =  1
291288, 289, 2903eqtri 2428 . . . . . 6  |-  ( -u _i  x.  _i )  =  1
292291a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  _i )  =  1 )
293292oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  (
( -u _i  x.  _i )  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
294287, 293eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  ->  ( -u _i  x.  ( _i 
/  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
295294mpteq2ia 4251 . 2  |-  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u _i  x.  ( _i  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
29615, 285, 2953eqtri 2428 1  |-  ( RR 
_D  (arcsin  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( 1  /  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   _ici 8948    + caddc 8949    x. cmul 8951    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   (,]cioc 10873   ^cexp 11337   Recre 11857   sqrcsqr 11993   abscabs 11994   TopOpenctopn 13604   topGenctg 13620  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914    _D cdv 19703   logclog 20405  arcsincasin 20655
This theorem is referenced by:  dvreacos  26180  areacirclem2  26181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-cxp 20408  df-asin 20658
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