Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreacos Structured version   Unicode version

Theorem dvreacos 30346
Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvreacos  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreacos
StepHypRef Expression
1 acosf 23402 . . . . . 6  |- arccos : CC --> CC
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
-> arccos : CC --> CC )
3 ioossre 11589 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 9538 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3498 . . . . . 6  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5902 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arccos `  x )
) )
87oveq2d 6286 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  (arccos `  x )
) ) )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10 reelprrecn 9573 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
129recld2 21485 . . . . . 6  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
13 neg1rr 10636 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
14 iocmnfcld 21442 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
16 1re 9584 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
17 icopnfcld 21441 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
19 uncld 19709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  ->  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2015, 18, 19mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
219tgioo2 21474 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
2221fveq2i 5851 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
2320, 22eleqtri 2540 . . . . . 6  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
24 restcldr 19842 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
2512, 23, 24mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
269cnfldtopon 21456 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2726toponunii 19600 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2827cldopn 19699 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
2925, 28mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
30 incom 3677 . . . . . 6  |-  ( RR 
i^i  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  i^i  RR )
31 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
3231asindmre 30342 . . . . . 6  |-  ( ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  i^i  RR )  =  ( -u 1 (,) 1 )
3330, 32eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( RR 
i^i  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( -u 1 (,) 1 )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  i^i  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  =  ( -u 1 (,) 1 ) )
35 eldifi 3612 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  x  e.  CC )
36 acoscl 23403 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
3837adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
39 ovex 6298 . . . . 5  |-  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  ->  ( -u 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
4131dvacos 30344 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
42 difssd 3618 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC )
432, 42feqresmpt 5902 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (arccos  |`  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x )
) )
4443oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arccos  |`  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x ) ) ) )
4541, 44syl5reqr 2510 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  ( -u 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
469, 11, 29, 34, 38, 40, 45dvmptres3 22525 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  (arccos `  x )
) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
478, 46eqtrd 2495 . 2  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4847trud 1407 1  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    |` cres 4990   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   (,)cioo 11532   (,]cioc 11533   [,)cico 11534   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13148   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂfldccnfld 18615   Clsdccld 19684    _D cdv 22433  arccoscacos 23391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111  df-asin 23393  df-acos 23394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator