Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvreacos Structured version   Unicode version

Theorem dvreacos 28624
Description: Real derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2017.) (Proof shortened by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
dvreacos  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem dvreacos
StepHypRef Expression
1 acosf 22395 . . . . . 6  |- arccos : CC --> CC
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
-> arccos : CC --> CC )
3 ioossre 11461 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  RR
4 ax-resscn 9443 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
53, 4sstri 3466 . . . . . 6  |-  ( -u
1 (,) 1 ) 
C_  CC
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( -u 1 (,) 1 )  C_  CC )
72, 6feqresmpt 5847 . . . 4  |-  ( T. 
->  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) )  =  ( x  e.  (
-u 1 (,) 1
)  |->  (arccos `  x )
) )
87oveq2d 6209 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( RR  _D  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 ) 
|->  (arccos `  x )
) ) )
9 eqid 2451 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
10 reelprrecn 9478 . . . . 5  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  e.  { RR ,  CC } )
129recld2 20516 . . . . . 6  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
13 neg1rr 10530 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  RR
14 iocmnfcld 20473 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
16 1re 9489 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
17 icopnfcld 20472 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
19 uncld 18770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  /\  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  ->  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2015, 18, 19mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
219tgioo2 20505 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
2221fveq2i 5795 . . . . . . 7  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
2320, 22eleqtri 2537 . . . . . 6  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
24 restcldr 18903 . . . . . 6  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
2512, 23, 24mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
269cnfldtopon 20487 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2726toponunii 18662 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2827cldopn 18760 . . . . 5  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
2925, 28mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
)
30 incom 3644 . . . . . 6  |-  ( RR 
i^i  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  i^i  RR )
31 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
3231asindmre 28620 . . . . . 6  |-  ( ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  i^i  RR )  =  ( -u 1 (,) 1 )
3330, 32eqtri 2480 . . . . 5  |-  ( RR 
i^i  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( -u 1 (,) 1 )
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( RR  i^i  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  =  ( -u 1 (,) 1 ) )
35 eldifi 3579 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  x  e.  CC )
36 acoscl 22396 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
3735, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
3837adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  ->  (arccos `  x )  e.  CC )
39 ovex 6218 . . . . 5  |-  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) )  ->  ( -u 1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
4131dvacos 28622 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
42 difssd 3585 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC )
432, 42feqresmpt 5847 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (arccos  |`  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x )
) )
4443oveq2d 6209 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arccos  |`  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x ) ) ) )
4541, 44syl5reqr 2507 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  (arccos `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  |->  ( -u 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
469, 11, 29, 34, 38, 40, 45dvmptres3 21556 . . 3  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (
x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  (arccos `  x )
) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
478, 46eqtrd 2492 . 2  |-  ( T. 
->  ( RR  _D  (arccos  |`  ( -u 1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u 1 (,) 1 )  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) ) )
4847trud 1379 1  |-  ( RR 
_D  (arccos  |`  ( -u
1 (,) 1 ) ) )  =  ( x  e.  ( -u
1 (,) 1 ) 
|->  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   {cpr 3980    |-> cmpt 4451   ran crn 4942    |` cres 4943   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   1c1 9387   +oocpnf 9519   -oocmnf 9520    - cmin 9699   -ucneg 9700    / cdiv 10097   2c2 10475   (,)cioo 11404   (,]cioc 11405   [,)cico 11406   ^cexp 11975   sqrcsqr 12833   ↾t crest 14470   TopOpenctopn 14471   topGenctg 14487  ℂfldccnfld 17936   Clsdccld 18745    _D cdv 21464  arccoscacos 22384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ioc 11409  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-shft 12667  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-limsup 13060  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-ef 13464  df-sin 13466  df-cos 13467  df-tan 13468  df-pi 13469  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-lp 18865  df-perf 18866  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-haus 19044  df-cmp 19115  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cncf 20579  df-limc 21467  df-dv 21468  df-log 22134  df-cxp 22135  df-asin 22386  df-acos 22387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator