MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan3 Structured version   Unicode version

Theorem dvrcan3 17209
Description: A cancellation law for division. (divcan3 10232 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvrass.o  |-  U  =  (Unit `  R )
dvrass.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrcan3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  ./  Y )  =  X )

Proof of Theorem dvrcan3
StepHypRef Expression
1 simp1 995 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
2 simp2 996 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  B )
3 dvrass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 dvrass.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
53, 4unitcl 17176 . . . 4  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
653ad2ant3 1018 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  B )
7 simp3 997 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  U )
8 dvrass.d . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
9 dvrass.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
103, 4, 8, 9dvrass 17207 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  U )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  ./  Y )  =  ( X  .x.  ( Y 
./  Y ) ) )
111, 2, 6, 7, 10syl13anc 1229 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  ./  Y )  =  ( X  .x.  ( Y  ./  Y ) ) )
12 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
134, 8, 12dvrid 17205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  ( Y  ./  Y )  =  ( 1r `  R
) )
14133adant2 1014 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( Y  ./  Y )  =  ( 1r `  R
) )
1514oveq2d 6293 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( Y  ./  Y ) )  =  ( X  .x.  ( 1r `  R ) ) )
163, 9, 12ringridm 17091 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
17163adant3 1015 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
1811, 15, 173eqtrd 2486 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  Y
)  ./  Y )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   .rcmulr 14570   1rcur 17021   Ringcrg 17066  Unitcui 17156  /rcdvr 17199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200
This theorem is referenced by:  irredrmul  17224  cramerimp  19055  lgseisenlem3  23491  orngrmullt  27664
  Copyright terms: Public domain W3C validator