MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Unicode version

Theorem dvrcan1 16889
Description: A cancellation law for division. (divcan1 10104 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvrass.o  |-  U  =  (Unit `  R )
dvrass.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrcan1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  X )

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 dvrass.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 dvrass.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
5 dvrass.d . . . . 5  |-  ./  =  (/r
`  R )
61, 2, 3, 4, 5dvrval 16883 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y
)  =  ( X 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Y
) ) )
763adant1 1006 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  ./  Y )  =  ( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) ) )
87oveq1d 6205 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  ( ( X 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Y
) )  .x.  Y
) )
9 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  R  e.  Ring )
10 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  X  e.  B )
113, 4, 1rnginvcl 16874 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  B
)
12113adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Y )  e.  B
)
131, 3unitcl 16857 . . . . 5  |-  ( Y  e.  U  ->  Y  e.  B )
14133ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  B )
151, 2rngass 16767 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( ( invr `  R
) `  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  .x.  ( ( invr `  R
) `  Y )
)  .x.  Y )  =  ( X  .x.  ( ( ( invr `  R ) `  Y
)  .x.  Y )
) )
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) )  .x.  Y )  =  ( X  .x.  ( ( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y ) ) )
17 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
183, 4, 2, 17unitlinv 16875 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y )  =  ( 1r `  R ) )
19183adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( ( invr `  R
) `  Y )  .x.  Y )  =  ( 1r `  R ) )
2019oveq2d 6206 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( ( (
invr `  R ) `  Y )  .x.  Y
) )  =  ( X  .x.  ( 1r
`  R ) ) )
211, 2, 17rngridm 16775 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
22213adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( 1r `  R ) )  =  X )
2320, 22eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  ( X  .x.  ( ( (
invr `  R ) `  Y )  .x.  Y
) )  =  X )
2416, 23eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  .x.  (
( invr `  R ) `  Y ) )  .x.  Y )  =  X )
258, 24eqtrd 2492 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  U )  ->  (
( X  ./  Y
)  .x.  Y )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   .rcmulr 14341   1rcur 16708   Ringcrg 16751  Unitcui 16837   invrcinvr 16869  /rcdvr 16880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881
This theorem is referenced by:  dvreq1  16891  irredrmul  16905  isdrng2  16948  cnflddiv  17955  isarchiofld  26419
  Copyright terms: Public domain W3C validator