MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrass Structured version   Unicode version

Theorem dvrass 17661
Description: An associative law for division. (divass 10268 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
dvrass.o  |-  U  =  (Unit `  R )
dvrass.d  |-  ./  =  (/r
`  R )
dvrass.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
dvrass  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  ./  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
./  Z ) ) )

Proof of Theorem dvrass
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  R  e.  Ring )
2 simpr1 1005 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  X  e.  B )
3 simpr2 1006 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  Y  e.  B )
4 simpr3 1007 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  Z  e.  U )
5 dvrass.o . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
6 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
7 dvrass.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
85, 6, 7ringinvcl 17647 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Z  e.  U )  ->  (
( invr `  R ) `  Z )  e.  B
)
91, 4, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( ( invr `  R ) `  Z )  e.  B
)
10 dvrass.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
117, 10ringass 17537 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( ( invr `  R
) `  Z )  e.  B ) )  -> 
( ( X  .x.  Y )  .x.  (
( invr `  R ) `  Z ) )  =  ( X  .x.  ( Y  .x.  ( ( invr `  R ) `  Z
) ) ) )
121, 2, 3, 9, 11syl13anc 1234 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  .x.  ( ( invr `  R
) `  Z )
)  =  ( X 
.x.  ( Y  .x.  ( ( invr `  R
) `  Z )
) ) )
137, 10ringcl 17534 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B )
14133adant3r3 1210 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( X  .x.  Y )  e.  B
)
15 dvrass.d . . . 4  |-  ./  =  (/r
`  R )
167, 10, 5, 6, 15dvrval 17656 . . 3  |-  ( ( ( X  .x.  Y
)  e.  B  /\  Z  e.  U )  ->  ( ( X  .x.  Y )  ./  Z
)  =  ( ( X  .x.  Y ) 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Z
) ) )
1714, 4, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  ./  Z )  =  ( ( X  .x.  Y
)  .x.  ( ( invr `  R ) `  Z ) ) )
187, 10, 5, 6, 15dvrval 17656 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  B  /\  Z  e.  U )  ->  ( Y  ./  Z
)  =  ( Y 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Z
) ) )
193, 4, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( Y  ./  Z )  =  ( Y  .x.  ( (
invr `  R ) `  Z ) ) )
2019oveq2d 6296 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( X  .x.  ( Y  ./  Z
) )  =  ( X  .x.  ( Y 
.x.  ( ( invr `  R ) `  Z
) ) ) )
2112, 17, 203eqtr4d 2455 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  U )
)  ->  ( ( X  .x.  Y )  ./  Z )  =  ( X  .x.  ( Y 
./  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   .rcmulr 14912   Ringcrg 17520  Unitcui 17610   invrcinvr 17642  /rcdvr 17653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-unit 17613  df-invr 17643  df-dvr 17654
This theorem is referenced by:  dvrcan3  17663  irredrmul  17678  dvrcan5  28249
  Copyright terms: Public domain W3C validator