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Theorem dvradcnv 20290
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative  H of the power series  G is at least as large as the radius of convergence of  G. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
dvradcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
dvradcnv.h  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
dvradcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
dvradcnv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dvradcnv.l  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
dvradcnv  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r    n, r, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    H( x, n, r)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables  k 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10476 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 1nn0 10193 . . 3  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
4 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
5 nn0cn 10187 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
65adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
7 nn0ex 10183 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
87mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  e. 
_V
98shftval4 11847 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
)  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
104, 6, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
11 addcom 9208 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
124, 6, 11sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
1312fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  =  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
14 peano2nn0 10216 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
1514adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
16 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  i  =  ( k  +  1 ) )
17 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) )
1817fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
1916, 18oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
20 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )
21 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  _V
2219, 20, 21fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2315, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
24 dvradcnv.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
25 dvradcnv.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
2625pserval2 20280 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) )
2724, 14, 26syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )
2827fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
2928oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
3110, 13, 303eqtrd 2440 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
3215nn0red 10231 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
33 dvradcnv.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
34 ffvelrn 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A `  (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3533, 14, 34syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
36 expcl 11354 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( X ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
3724, 14, 36syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3835, 37mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
3938abscld 12193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
4032, 39remulcld 9072 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  RR )
4131, 40eqeltrd 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  RR )
42 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
4342fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( k  +  1 ) ) )
4442, 43oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  +  1 )  x.  ( A `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) ) )
45 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ k
) )
4644, 45oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( n  + 
1 )  x.  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
47 dvradcnv.h . . . . 5  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( n  +  1 )  x.  ( A `  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ n ) ) )
48 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e. 
_V
4946, 47, 48fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5049adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
5115nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
5251, 35mulcld 9064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
53 expcl 11354 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( X ^ k
)  e.  CC )
5424, 53sylan 458 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
5552, 54mulcld 9064 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
5650, 55eqeltrd 2478 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
57 dvradcnv.r . . . . . . . 8  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq  0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
58 dvradcnv.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
59 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  i  =  k )
60 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( G `  X
) `  i )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
6160fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
6259, 61oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  k  ->  (
i  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6362cbvmptv 4260 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
6425, 33, 57, 24, 58, 63radcnvlt1 20287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq  0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
6564simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
66 climdm 12303 . . . . . 6  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  e.  dom  ~~>  <->  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
6765, 66sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) ) )
68 0z 10249 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
69 1z 10267 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
70 znegcl 10269 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
7169, 70ax-mp 8 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  ZZ
728isershft 12412 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  (  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) ) )
7368, 71, 72mp2an 654 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  <->  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
7467, 73sylib 189 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) ) )
75 seqex 11280 . . . . 5  |-  seq  (
0  +  -u 1
) (  +  , 
( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
_V
76 fvex 5701 . . . . 5  |-  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  e. 
_V
7775, 76breldm 5033 . . . 4  |-  (  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq  0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) ) )  ->  seq  ( 0  +  -u
1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
7874, 77syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  + 
-u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
79 eqid 2404 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
80 neg1cn 10023 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  CC
8180addid2i 9210 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  = 
-u 1
82 0le1 9507 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
83 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
84 le0neg2 9493 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 ) )
8583, 84ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -u 1  <_ 
0 )
8682, 85mpbi 200 . . . . . . 7  |-  -u 1  <_  0
8781, 86eqbrtri 4191 . . . . . 6  |-  ( 0  +  -u 1 )  <_ 
0
8881, 71eqeltri 2474 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  -u 1 )  e.  ZZ
8988eluz1i 10451 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  (
0  +  -u 1
)  <_  0 ) )
9068, 87, 89mpbir2an 887 . . . . 5  |-  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) )
9190a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u
1 ) ) )
92 eluzelz 10452 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  ZZ )
9392zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  k  e.  CC )
9493adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
954, 94, 9sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  =  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) ) )
96 nn0re 10186 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
9796adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  RR )
9825, 33, 24psergf 20281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
9998ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  i )  e.  CC )
10099abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  i
) )  e.  RR )
10197, 100remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  RR )
102101recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) )  e.  CC )
103102, 20fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC )
1044, 93, 11sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  =  ( k  +  1 ) )
105 eluzp1p1 10467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( 0  +  -u
1 )  +  1 ) ) )
10681oveq1i 6050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  ( -u 1  +  1 )
1074negidi 9325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
1084, 80, 107addcomli 9214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  +  1 )  =  0
109106, 108eqtri 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  -u 1
)  +  1 )  =  0
110109fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  ( ( 0  + 
-u 1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  0 )
1111, 110eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  ( (
0  +  -u 1
)  +  1 ) )
112105, 111syl6eleqr 2495 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
113104, 112eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  (
0  +  -u 1
) )  ->  (
1  +  k )  e.  NN0 )
114 ffvelrn 5827 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) ) : NN0 --> CC  /\  ( 1  +  k )  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
115103, 113, 114syl2an 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) ) `  ( 1  +  k ) )  e.  CC )
11695, 115eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  -u 1 ) ) )  ->  ( (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  i ) ) ) )  shift  -u 1 ) `
 k )  e.  CC )
11779, 91, 116iserex 12405 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  +  -u 1 ) (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~> 
<->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  ) )
11878, 117mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) )  e. 
dom 
~~>  )
11983a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  = 
0 )  ->  1  e.  RR )
120 df-ne 2569 . . . . . 6  |-  ( X  =/=  0  <->  -.  X  =  0 )
121120biimpri 198 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  0  ->  X  =/=  0 )
122 absrpcl 12048 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
12324, 121, 122syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  X
)  e.  RR+ )
124123rprecred 10615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR )
125119, 124ifclda 3726 . 2  |-  ( ph  ->  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  e.  RR )
126 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
127126breq2d 4184 . . . 4  |-  ( 1  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  / 
( abs `  X
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
128 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129128breq2d 4184 . . . 4  |-  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  =  if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  <->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) ) )
130 elnnuz 10478 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
131 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
132130, 131sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN0 )
13315nn0ge0d 10233 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( k  +  1 ) )
13438absge0d 12201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) ) ) )
13532, 39, 133, 134mulge0d 9559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
136132, 135sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
137136adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  0  <_  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
138 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  0  ->  ( X ^ k )  =  ( 0 ^ k
) )
139 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
140139, 130sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  NN )
1411400expd 11494 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 0 ^ k )  =  0 )
142138, 141sylan9eqr 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( X ^ k )  =  0 )
143142oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 ) )
14452mul01d 9221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
145132, 144sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
146145adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  0 )  =  0 )
147143, 146eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  0 )
148147abs00bd 12051 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  0 )
14940recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  e.  CC )
150149mulid2d 9062 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
151132, 150sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( 1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
152151adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  (
1  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
153137, 148, 1523brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  = 
0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( 1  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
15455abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR )
15551, 35, 54mulassd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
156155fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15735, 54mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) )  e.  CC )
15851, 157absmuld 12211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( k  +  1 )  x.  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  (
k  +  1 ) )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
15932, 133absidd 12180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
160159oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( k  +  1 ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
161156, 158, 1603eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
162 eqle 9132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
163154, 161, 162syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) ) )
164163adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
16524adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  CC )
166122rpreccld 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  X  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
167165, 166sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  RR+ )
168167rpcnd 10606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( abs `  X ) )  e.  CC )
16951adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  CC )
17039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
171170recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
172168, 169, 171mul12d 9231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
17338adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
17424ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  e.  CC )
175 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  X  =/=  0 )
176173, 174, 175absdivd 12212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) ) )
17735adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( A `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
17837adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
179177, 178, 174, 175divassd 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  (
( X ^ (
k  +  1 ) )  /  X ) ) )
1806adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  k  e.  CC )
181 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
182180, 4, 181sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
183182oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( X ^ k
) )
18415nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e.  ZZ )
185184adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
186174, 175, 185expm1d 11488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
187183, 186eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( X ^ k )  =  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) )
188187oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) )  =  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( ( X ^
( k  +  1 ) )  /  X
) ) )
189179, 188eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) )  /  X )  =  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
190189fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  +  1 ) ) )  /  X ) )  =  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
19124abscld 12193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
192191ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
193192recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
194165, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  e.  RR+ )
195194rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  X )  =/=  0 )
196171, 193, 195divrec2d 9750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) )  /  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
197176, 190, 1963eqtr3rd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
198197oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( k  +  1 )  x.  ( ( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
199172, 198eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  (
( 1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  =  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ k
) ) ) ) )
200164, 199breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
201132, 200sylanl2 633 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  X  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
( abs `  X
) )  x.  (
( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `  ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
202120, 201sylan2br 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  X  =  0 )  -> 
( abs `  (
( ( k  +  1 )  x.  ( A `  ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( (
1  /  ( abs `  X ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  ( ( A `
 ( k  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
203127, 129, 153, 202ifbothda 3729 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `  (
k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
20450fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
205132, 204sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  =  ( abs `  ( ( ( k  +  1 )  x.  ( A `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
20631oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
207132, 206sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) )  =  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( k  +  1 )  x.  ( abs `  (
( A `  (
k  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
208203, 205, 2073brtr4d 4202 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( abs `  ( H `  k
) )  <_  ( if ( X  =  0 ,  1 ,  ( 1  /  ( abs `  X ) ) )  x.  ( ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  i )
) ) )  shift  -u
1 ) `  k
) ) )
2091, 3, 41, 56, 118, 125, 208cvgcmpce 12552 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568    seq cseq 11278   ^cexp 11337    shift cshi 11836   abscabs 11994    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20297
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
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