Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvply1 23316
 Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f
dvply1.g
dvply1.a
dvply1.b
dvply1.n
Assertion
Ref Expression
dvply1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3
21oveq2d 6324 . 2
3 eqid 2471 . . . . . 6 fld fld
43cnfldtop 21882 . . . . 5 fld
53cnfldtopon 21881 . . . . . . 7 fld TopOn
65toponunii 20024 . . . . . 6 fld
76restid 15410 . . . . 5 fld fldt fld
84, 7ax-mp 5 . . . 4 fldt fld
98eqcomi 2480 . . 3 fld fldt
10 cnelprrecn 9650 . . . 4
1110a1i 11 . . 3
126topopn 20013 . . . 4 fld fld
134, 12mp1i 13 . . 3 fld
14 fzfid 12224 . . 3
15 dvply1.a . . . . . . 7
16 elfznn0 11913 . . . . . . 7
17 ffvelrn 6035 . . . . . . 7
1815, 16, 17syl2an 485 . . . . . 6
1918adantr 472 . . . . 5
20 simpr 468 . . . . . 6
2116ad2antlr 741 . . . . . 6
2220, 21expcld 12454 . . . . 5
2319, 22mulcld 9681 . . . 4
24233impa 1226 . . 3
25183adant3 1050 . . . 4
26 0cnd 9654 . . . . 5
27 simpl2 1034 . . . . . . . 8
2827, 16syl 17 . . . . . . 7
2928nn0cnd 10951 . . . . . 6
30 simpl3 1035 . . . . . . 7
31 simpr 468 . . . . . . . . 9
32 elnn0 10895 . . . . . . . . . 10
3328, 32sylib 201 . . . . . . . . 9
34 orel2 390 . . . . . . . . 9
3531, 33, 34sylc 61 . . . . . . . 8
36 nnm1nn0 10935 . . . . . . . 8
3735, 36syl 17 . . . . . . 7
3830, 37expcld 12454 . . . . . 6
3929, 38mulcld 9681 . . . . 5
4026, 39ifclda 3904 . . . 4
4125, 40mulcld 9681 . . 3
4210a1i 11 . . . 4
43 c0ex 9655 . . . . . 6
44 ovex 6336 . . . . . 6
4543, 44ifex 3940 . . . . 5
4645a1i 11 . . . 4
4716adantl 473 . . . . 5
48 dvexp2 22987 . . . . 5
4947, 48syl 17 . . . 4
5042, 22, 46, 49, 18dvmptcmul 22997 . . 3
519, 3, 11, 13, 14, 24, 41, 50dvmptfsum 23006 . 2
52 elfznn 11854 . . . . . . . . . . 11
5352nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10
5453neneqd 2648 . . . . . . . . 9
5554adantl 473 . . . . . . . 8
5655iffalsed 3883 . . . . . . 7
5756oveq2d 6324 . . . . . 6
5857sumeq2dv 13846 . . . . 5
59 1eluzge0 11226 . . . . . . 7
60 fzss1 11863 . . . . . . 7
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6
6215adantr 472 . . . . . . . 8
6352nnnn0d 10949 . . . . . . . 8
6462, 63, 17syl2an 485 . . . . . . 7
6553adantl 473 . . . . . . . . . 10
6665neneqd 2648 . . . . . . . . 9
6766iffalsed 3883 . . . . . . . 8
6863adantl 473 . . . . . . . . . 10
6968nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9
70 simplr 770 . . . . . . . . . 10
7152, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10
7370, 72expcld 12454 . . . . . . . . 9
7469, 73mulcld 9681 . . . . . . . 8
7567, 74eqeltrd 2549 . . . . . . 7
7664, 75mulcld 9681 . . . . . 6
77 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . 12
78 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . 14
7978oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . 13
8079eleq2i 2541 . . . . . . . . . . . 12
8177, 80sylnibr 312 . . . . . . . . . . 11
8281adantl 473 . . . . . . . . . 10
83 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . 12
8483adantl 473 . . . . . . . . . . 11
85 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14
86 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . 14
8785, 86syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13
8887ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
89 elfzp12 11899 . . . . . . . . . . . 12
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11
9184, 90mpbid 215 . . . . . . . . . 10
92 orel2 390 . . . . . . . . . 10
9382, 91, 92sylc 61 . . . . . . . . 9
9493iftrued 3880 . . . . . . . 8
9594oveq2d 6324 . . . . . . 7
9662, 16, 17syl2an 485 . . . . . . . . 9
9796mul01d 9850 . . . . . . . 8
9883, 97sylan2 482 . . . . . . 7
9995, 98eqtrd 2505 . . . . . 6
100 fzfid 12224 . . . . . 6
10161, 76, 99, 100fsumss 13868 . . . . 5
102 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
104103nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . 13
105 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . 13
106 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . 13
107104, 105, 106sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
108107oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
110109oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
11115ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
112 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . 13
113102, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12
114113adantl 473 . . . . . . . . . . 11
115111, 114ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
116114nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10
117 simplr 770 . . . . . . . . . . 11
118117, 103expcld 12454 . . . . . . . . . 10
119115, 116, 118mulassd 9684 . . . . . . . . 9
120115, 116mulcomd 9682 . . . . . . . . . 10
121120oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
122110, 119, 1213eqtr2d 2511 . . . . . . . 8
123122sumeq2dv 13846 . . . . . . 7
124 1m1e0 10700 . . . . . . . . 9
125124oveq1i 6318 . . . . . . . 8
126125sumeq1i 13841 . . . . . . 7
127 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
128127fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
129127, 128oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
130 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
131129, 130oveq12d 6326 . . . . . . . 8
132131cbvsumv 13839 . . . . . . 7
133123, 126, 1323eqtr4g 2530 . . . . . 6
134 1zzd 10992 . . . . . . 7
13585adantr 472 . . . . . . . 8
136135nn0zd 11061 . . . . . . 7
13764, 74mulcld 9681 . . . . . . 7
138 fveq2 5879 . . . . . . . 8
139 id 22 . . . . . . . . 9
140 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
141140oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
142139, 141oveq12d 6326 . . . . . . . 8
143138, 142oveq12d 6326 . . . . . . 7
144134, 134, 136, 137, 143fsumshftm 13919 . . . . . 6
145 elfznn0 11913 . . . . . . . . . 10
146145adantl 473 . . . . . . . . 9
147 ovex 6336 . . . . . . . . 9
148 dvply1.b . . . . . . . . . 10
149148fvmpt2 5972 . . . . . . . . 9
150146, 147, 149sylancl 675 . . . . . . . 8
151150oveq1d 6323 . . . . . . 7
152151sumeq2dv 13846 . . . . . 6
153133, 144, 1523eqtr4d 2515 . . . . 5
15458, 101, 1533eqtr3d 2513 . . . 4
155154mpteq2dva 4482 . . 3
156 dvply1.g . . 3
157155, 156eqtr4d 2508 . 2
1582, 51, 1573eqtrd 2509 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  cif 3872  cpr 3961   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cuz 11182  cfz 11810  cexp 12310  csu 13829   ↾t crest 15397  ctopn 15398  ℂfldccnfld 19047  ctop 19994   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  dvply2g  23317
 Copyright terms: Public domain W3C validator