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Theorem dvnxpaek 37419
Description: The  n-th derivative of the polynomial (x+A)^K (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnxpaek.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
dvnxpaek.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvnxpaek.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
dvnxpaek.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, N    x, S    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )
2 breq2 4421 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( K  <  n  <->  K  <  0 ) )
3 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  0  =  0 )
4 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( K  -  n )  =  ( K  - 
0 ) )
54fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )
65oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) ) )
74oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) )
86, 7oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )
92, 3, 8ifbieq12d 3933 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
109mpteq2dv 4504 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) ) ) )
111, 10eqeq12d 2442 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5872 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  m ) )
13 breq2 4421 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( K  <  n  <->  K  <  m ) )
14 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  0  =  0 )
15 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  m ) )
1615fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  m )
) )
1716oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) )
1815oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )
1917, 18oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) )
2013, 14, 19ifbieq12d 3933 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )
2120mpteq2dv 4504 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )
2212, 21eqeq12d 2442 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 m )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5872 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( m  +  1 ) ) )
24 breq2 4421 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  <  n  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
25 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  0  =  0 )
26 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
2726fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
2827oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2926oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )
3028, 29oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3124, 25, 30ifbieq12d 3933 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
3231mpteq2dv 4504 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
3323, 32eqeq12d 2442 . 2  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5872 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
35 breq2 4421 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( K  <  n  <->  K  <  N ) )
36 eqidd 2421 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  0  =  0 )
37 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  N ) )
3837fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  N )
) )
3938oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) ) )
4037oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) )
4139, 40oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) )
4235, 36, 41ifbieq12d 3933 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  N
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  N )
) ) ) )
4342mpteq2dv 4504 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  N , 
0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  N ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) ) ) ) )
4434, 43eqeq12d 2442 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) ) )
45 dvnxpaek.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 recnprss 22753 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 cnex 9609 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
51 restsspw 15282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  C_  ~P S
52 id 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
5351, 52sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ~P S )
54 elpwi 3985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ~P S  ->  X  C_  S )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  C_  S
)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5756, 47sstrd 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5857adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  C_  CC )
59 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6058, 59sseldd 3462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  CC )
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
6360, 62addcld 9651 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
6564adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  NN0 )
6663, 65expcld 12402 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  e.  CC )
67 dvnxpaek.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
6866, 67fmptd 6052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
69 elpm2r 7488 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
71 dvn0 22772 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
7247, 70, 71syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
7367a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
7464nn0ge0d 10917 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
75 0red 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7664nn0red 10915 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7775, 76lenltd 9770 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
7874, 77mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  K  <  0
)
7978iffalsed 3917 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )
8079adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) )
8164nn0cnd 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
8281subid1d 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  -  0 )  =  K )
8382fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  0 ) )  =  ( ! `
 K ) )
8483oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K ) ) )
85 faccl 12455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  NN )
8786nncnd 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  CC )
8886nnne0d 10643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  =/=  0 )
8987, 88dividd 10370 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K )
)  =  1 )
9084, 89eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  1 )
9182oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9290, 91oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
9392adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K
) ) )
9466mulid2d 9650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9580, 93, 943eqtrrd 2466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
9695mpteq2dva 4503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9772, 73, 963eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9847adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
9970adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) )
100 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
101 dvnp1 22773 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
10298, 99, 100, 101syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
103102adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) ) )
104 oveq2 6304 . . . 4  |-  ( ( ( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) ) )
105104adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
106 iftrue 3912 . . . . . . . . 9  |-  ( K  <  m  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  0 )
107106mpteq2dv 4504 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
108107oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( K  <  m  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
109108adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
110 0cnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
11145, 50, 110dvmptconst 37390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
112111ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
11376ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
114 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
115114ad2antlr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
116 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  m )
117113, 115, 116ltled 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <_  m )
11864nn0zd 11027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
119118adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
120100nn0zd 11027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ZZ )
121 zleltp1 10976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  + 
1 ) ) )
122119, 120, 121syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
123122adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
124117, 123mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
125124iftrued 3914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
126125mpteq2dv 4504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
127126eqcomd 2428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
128109, 112, 1273eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( ph  /\  m  e.  NN0 ) )
130 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  -.  K  <  m )
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
13276ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
133131, 132lenltd 9770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
134130, 133mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  <_  K )
135 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  =  K )
136114ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  e.  RR )
13776ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  e.  RR )
138136, 137lttri3d 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
m  =  K  <->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) ) )
139135, 138mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) )
140 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m
)  ->  -.  K  <  m )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  -.  K  <  m )
142141iffalsed 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
143142mpteq2dv 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
144143oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
145 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  K  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
146145fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  K  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
147146adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
14881subidd 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( K  -  K
)  =  0 )
149148fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  ( ! `
 0 ) )
150 fac0 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ! `
 0 )  =  1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  0
)  =  1 )
152149, 151eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  1 )
153152adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  K ) )  =  1 )
154147, 153eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  1 )
155154oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
1 ) )
15687div1d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  1
)  =  ( ! `
 K ) )
157156adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  1 )  =  ( ! `  K ) )
158155, 157eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
160145adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
161148adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  K )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  0 )
163162oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
164163adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
16563exp0d 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
166165adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
167164, 166eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  1 )
168159, 167oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  1 ) )
16987mulid1d 9649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  x.  1 )  =  ( ! `
 K ) )
170169ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  x.  1 )  =  ( ! `  K ) )
171168, 170eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ! `  K
) )
172171mpteq2dva 4503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )
173172oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K
) ) ) )
17445, 50, 87dvmptconst 37390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
175174adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
176173, 175eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
177176adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
178137ltp1d 10526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
179 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  K  ->  (
m  +  1 )  =  ( K  + 
1 ) )
180179eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  K  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
181180adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
182178, 181breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
183182iftrued 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
184183eqcomd 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  0  =  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
185184mpteq2dv 4504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
186144, 177, 1853eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
187186adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
188 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( ph  /\  m  e.  NN0 )
)
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  e.  RR )
19076ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  e.  RR )
191 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <_  K )
192 neqne 37047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  =  K  ->  m  =/=  K )
193192necomd 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  m  =  K  ->  K  =/=  m )
194193adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  =/=  m )
195189, 190, 191, 194leneltd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <  K )
196114ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  RR )
19776ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  RR )
198 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <  K )
199196, 197, 198ltled 9772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <_  K )
200196, 197lenltd 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
201199, 200mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  m )
202201iffalsed 3917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
203202mpteq2dv 4504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
204203oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
20545adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
206205adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20787ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
208100adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  NN0 )
20964ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  NN0 )
210 nn0sub 10909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
211208, 209, 210syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
212199, 211mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN0 )
213 faccl 12455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  -  m ) )  e.  NN )
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  NN )
215214nncnd 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  CC )
216214nnne0d 10643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =/=  0 )
217207, 215, 216divcld 10372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
218217adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
21975ad3antrrr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
22050adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
221220adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
222206, 221, 217dvmptconst 37390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
22363adantlr 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
224223adantlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  +  A
)  e.  CC )
225212adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  NN0 )
226224, 225expcld 12402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
)  e.  CC )
227225nn0cnd 10916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  CC )
228212nn0zd 11027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  ZZ )
229196, 197posdifd 10189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  0  <  ( K  -  m ) ) )
230198, 229mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  0  <  ( K  -  m
) )
231228, 230jca 534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  -  m ) ) )
232 elnnz 10936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  <->  ( ( K  -  m )  e.  ZZ  /\  0  < 
( K  -  m
) ) )
233231, 232sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN )
234 nnm1nn0 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
236235adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  e.  NN0 )
237224, 236expcld 12402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  e.  CC )
238227, 237mulcld 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  e.  CC )
23961ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  A  e.  CC )
240206, 221, 239, 233dvxpaek 37417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 22809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
242226mul02d 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  =  0 )
243242oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) ) ) ) )
244238, 218mulcld 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  e.  CC )
245244addid2d 9823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
246120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  ZZ )
247119adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
248 zltp1le 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
249246, 247, 248syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
250198, 249mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  <_  K )
251 peano2re 9795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
253252, 197lenltd 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( m  +  1 )  <_  K  <->  -.  K  <  ( m  +  1 ) ) )
254250, 253mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  ( m  + 
1 ) )
255254adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  -.  K  <  (
m  +  1 ) )
256255iffalsed 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) )
257218, 227, 237mulassd 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
258257eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
259233nncnd 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  CC )
260207, 215, 259, 216div32d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) )
261 facnn2 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
263262oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( K  -  m )  / 
( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) ) )
264 faccl 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  e.  NN )
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
266265nncnd 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
269 nnne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
271 nnne0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
273267, 259, 270, 272divcan8d 37174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
274263, 273eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
275274oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( ( K  -  m )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
276 eqidd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
277260, 275, 2763eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) ) )
278277adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  ( K  -  m )
)  =  ( ( ! `  K )  x.  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
27981adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
280100nn0cnd 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
281 1cnd 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
282279, 280, 281subsub4d 10006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  =  ( K  -  (
m  +  1 ) ) )
283282oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
284283ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )
285278, 284oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
286282adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
287286eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  ( m  +  1 ) )  =  ( ( K  -  m )  - 
1 ) )
288287fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )
289288oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
290207, 267, 270divrecd 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
291289, 290eqtr2d 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
292291adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
293292oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
294258, 285, 2933eqtrrd 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
295218, 238mulcomd 9653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
296256, 294, 2953eqtrrd 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
297243, 245, 2963eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
298297mpteq2dva 4503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  +  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
299204, 241, 2983eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
300188, 195, 299syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
301187, 300pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
302129, 134, 301syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
303128, 302pm2.61dan 798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
304303adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
305103, 105, 3043eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 11021 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   ifcif 3906   ~Pcpw 3976   {cpr 3995   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    ^pm cpm 7472   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849    / cdiv 10258   NNcn 10598   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ^cexp 12258   !cfa 12445   ↾t crest 15271   TopOpenctopn 15272  ℂfldccnfld 18898    _D cdv 22712    Dncdvn 22713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21819  df-limc 22715  df-dv 22716  df-dvn 22717
This theorem is referenced by:  etransclem17  37716
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