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Theorem dvnxpaek 37811
Description: The  n-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnxpaek.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
dvnxpaek.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvnxpaek.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
dvnxpaek.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, N    x, S    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )
2 breq2 4405 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( K  <  n  <->  K  <  0 ) )
3 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  0  =  0 )
4 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( K  -  n )  =  ( K  - 
0 ) )
54fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )
65oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) ) )
74oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) )
86, 7oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )
92, 3, 8ifbieq12d 3907 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
109mpteq2dv 4489 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) ) ) )
111, 10eqeq12d 2465 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5863 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  m ) )
13 breq2 4405 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( K  <  n  <->  K  <  m ) )
14 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  0  =  0 )
15 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  m ) )
1615fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  m )
) )
1716oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) )
1815oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )
1917, 18oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) )
2013, 14, 19ifbieq12d 3907 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )
2120mpteq2dv 4489 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )
2212, 21eqeq12d 2465 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 m )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5863 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( m  +  1 ) ) )
24 breq2 4405 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  <  n  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
25 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  0  =  0 )
26 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
2726fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
2827oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2926oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )
3028, 29oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3124, 25, 30ifbieq12d 3907 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
3231mpteq2dv 4489 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
3323, 32eqeq12d 2465 . 2  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5863 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
35 breq2 4405 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( K  <  n  <->  K  <  N ) )
36 eqidd 2451 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  0  =  0 )
37 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  N ) )
3837fveq2d 5867 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  N )
) )
3938oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) ) )
4037oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) )
4139, 40oveq12d 6306 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) )
4235, 36, 41ifbieq12d 3907 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  N
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  N )
) ) ) )
4342mpteq2dv 4489 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  N , 
0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  N ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) ) ) ) )
4434, 43eqeq12d 2465 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) ) )
45 dvnxpaek.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 recnprss 22852 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 cnex 9617 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
51 restsspw 15323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  C_  ~P S
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
5351, 52sseldi 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ~P S )
54 elpwi 3959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ~P S  ->  X  C_  S )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  C_  S
)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5756, 47sstrd 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5857adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  C_  CC )
59 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6058, 59sseldd 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  CC )
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
6360, 62addcld 9659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
6564adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  NN0 )
6663, 65expcld 12413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  e.  CC )
67 dvnxpaek.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
6866, 67fmptd 6044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
69 elpm2r 7486 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 1268 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
71 dvn0 22871 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
7247, 70, 71syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
7367a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
7464nn0ge0d 10925 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
75 0red 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7664nn0red 10923 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7775, 76lenltd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
7874, 77mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  K  <  0
)
7978iffalsed 3891 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )
8079adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) )
8164nn0cnd 10924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
8281subid1d 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  -  0 )  =  K )
8382fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  0 ) )  =  ( ! `
 K ) )
8483oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K ) ) )
85 faccl 12466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  NN )
8786nncnd 10622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  CC )
8886nnne0d 10651 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  =/=  0 )
8987, 88dividd 10378 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K )
)  =  1 )
9084, 89eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  1 )
9182oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9290, 91oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
9392adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K
) ) )
9466mulid2d 9658 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9580, 93, 943eqtrrd 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
9695mpteq2dva 4488 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9772, 73, 963eqtrd 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9847adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
9970adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) )
100 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
101 dvnp1 22872 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
10298, 99, 100, 101syl3anc 1267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
103102adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) ) )
104 oveq2 6296 . . . 4  |-  ( ( ( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) ) )
105104adantl 468 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
106 iftrue 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( K  <  m  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  0 )
107106mpteq2dv 4489 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
108107oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( K  <  m  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
109108adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
110 0cnd 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
11145, 50, 110dvmptconst 37779 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
112111ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
11376ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
114 nn0re 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
115114ad2antlr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
116 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  m )
117113, 115, 116ltled 9780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <_  m )
11864nn0zd 11035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
119118adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
120100nn0zd 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ZZ )
121 zleltp1 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  + 
1 ) ) )
122119, 120, 121syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
123122adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
124117, 123mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
125124iftrued 3888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
126125mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
127126eqcomd 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
128109, 112, 1273eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( ph  /\  m  e.  NN0 ) )
130 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  -.  K  <  m )
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
13276ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
133131, 132lenltd 9778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
134130, 133mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  <_  K )
135 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  =  K )
136114ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  e.  RR )
13776ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  e.  RR )
138136, 137lttri3d 9772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
m  =  K  <->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) ) )
139135, 138mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) )
140 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m
)  ->  -.  K  <  m )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  -.  K  <  m )
142141iffalsed 3891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
143142mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
144143oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
145 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  K  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
146145fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  K  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
147146adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
14881subidd 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( K  -  K
)  =  0 )
149148fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  ( ! `
 0 ) )
150 fac0 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ! `
 0 )  =  1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  0
)  =  1 )
152149, 151eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  1 )
153152adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  K ) )  =  1 )
154147, 153eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  1 )
155154oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
1 ) )
15687div1d 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  1
)  =  ( ! `
 K ) )
157156adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  1 )  =  ( ! `  K ) )
158155, 157eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
159158adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
160145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
161148adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  K )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  0 )
163162oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
164163adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
16563exp0d 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
166165adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
167164, 166eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  1 )
168159, 167oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  1 ) )
16987mulid1d 9657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  x.  1 )  =  ( ! `
 K ) )
170169ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  x.  1 )  =  ( ! `  K ) )
171168, 170eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ! `  K
) )
172171mpteq2dva 4488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )
173172oveq2d 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K
) ) ) )
17445, 50, 87dvmptconst 37779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
175174adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
176173, 175eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
177176adantlr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
178137ltp1d 10534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
179 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  K  ->  (
m  +  1 )  =  ( K  + 
1 ) )
180179eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  K  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
181180adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
182178, 181breqtrd 4426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
183182iftrued 3888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
184183eqcomd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  0  =  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
185184mpteq2dv 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
186144, 177, 1853eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
187186adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
188 simpll 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( ph  /\  m  e.  NN0 )
)
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  e.  RR )
19076ad3antrrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  e.  RR )
191 simplr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <_  K )
192 neqne 37368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  =  K  ->  m  =/=  K )
193192necomd 2678 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  m  =  K  ->  K  =/=  m )
194193adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  =/=  m )
195189, 190, 191, 194leneltd 9786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <  K )
196114ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  RR )
19776ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  RR )
198 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <  K )
199196, 197, 198ltled 9780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <_  K )
200196, 197lenltd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
201199, 200mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  m )
202201iffalsed 3891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
203202mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
204203oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
20545adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
206205adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20787ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
208100adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  NN0 )
20964ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  NN0 )
210 nn0sub 10917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
211208, 209, 210syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
212199, 211mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN0 )
213 faccl 12466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  -  m ) )  e.  NN )
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  NN )
215214nncnd 10622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  CC )
216214nnne0d 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =/=  0 )
217207, 215, 216divcld 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
218217adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
21975ad3antrrr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
22050adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
221220adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
222206, 221, 217dvmptconst 37779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
22363adantlr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
224223adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  +  A
)  e.  CC )
225212adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  NN0 )
226224, 225expcld 12413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
)  e.  CC )
227225nn0cnd 10924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  CC )
228212nn0zd 11035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  ZZ )
229196, 197posdifd 10197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  0  <  ( K  -  m ) ) )
230198, 229mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  0  <  ( K  -  m
) )
231228, 230jca 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  -  m ) ) )
232 elnnz 10944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  <->  ( ( K  -  m )  e.  ZZ  /\  0  < 
( K  -  m
) ) )
233231, 232sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN )
234 nnm1nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
236235adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  e.  NN0 )
237224, 236expcld 12413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  e.  CC )
238227, 237mulcld 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  e.  CC )
23961ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  A  e.  CC )
240206, 221, 239, 233dvxpaek 37809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 22908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
242226mul02d 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  =  0 )
243242oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) ) ) ) )
244238, 218mulcld 9660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  e.  CC )
245244addid2d 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
246120adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  ZZ )
247119adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
248 zltp1le 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
249246, 247, 248syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
250198, 249mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  <_  K )
251 peano2re 9803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
253252, 197lenltd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( m  +  1 )  <_  K  <->  -.  K  <  ( m  +  1 ) ) )
254250, 253mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  ( m  + 
1 ) )
255254adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  -.  K  <  (
m  +  1 ) )
256255iffalsed 3891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) )
257218, 227, 237mulassd 9663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
258257eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
259233nncnd 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  CC )
260207, 215, 259, 216div32d 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) )
261 facnn2 12465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
263262oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( K  -  m )  / 
( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) ) )
264 faccl 12466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  e.  NN )
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
266265nncnd 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
269 nnne0 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
271 nnne0 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
273267, 259, 270, 272divcan8d 37526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
274263, 273eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
275274oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( ( K  -  m )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
276 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
277260, 275, 2763eqtrd 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) ) )
278277adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  ( K  -  m )
)  =  ( ( ! `  K )  x.  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
27981adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
280100nn0cnd 10924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
281 1cnd 9656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
282279, 280, 281subsub4d 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  =  ( K  -  (
m  +  1 ) ) )
283282oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
284283ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )
285278, 284oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
286282adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
287286eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  ( m  +  1 ) )  =  ( ( K  -  m )  - 
1 ) )
288287fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )
289288oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
290207, 267, 270divrecd 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
291289, 290eqtr2d 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
292291adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
293292oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
294258, 285, 2933eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
295218, 238mulcomd 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
296256, 294, 2953eqtrrd 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
297243, 245, 2963eqtrd 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
298297mpteq2dva 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  +  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
299204, 241, 2983eqtrd 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
300188, 195, 299syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
301187, 300pm2.61dan 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
302129, 134, 301syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
303128, 302pm2.61dan 799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
304303adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
305103, 105, 3043eqtrd 2488 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 11029 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   {cpr 3969   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^pm cpm 7470   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ^cexp 12269   !cfa 12456   ↾t crest 15312   TopOpenctopn 15313  ℂfldccnfld 18963    _D cdv 22811    Dncdvn 22812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-lp 20145  df-perf 20146  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cncf 21903  df-limc 22814  df-dv 22815  df-dvn 22816
This theorem is referenced by:  etransclem17  38110
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