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Theorem dvnxpaek 37914
Description: The  n-th derivative of the polynomial (x+A)^K. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnxpaek.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnxpaek.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
dvnxpaek.a  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
dvnxpaek.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
dvnxpaek.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
Assertion
Ref Expression
dvnxpaek  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, K    x, N    x, S    x, X    ph, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem dvnxpaek
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )
2 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  ( K  <  n  <->  K  <  0 ) )
3 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  0  =  0 )
4 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  ( K  -  n )  =  ( K  - 
0 ) )
54fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )
65oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) ) )
74oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) )
86, 7oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )
92, 3, 8ifbieq12d 3899 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
109mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) ) ) )
111, 10eqeq12d 2486 . 2  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) ) ) )
12 fveq2 5879 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  m ) )
13 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( K  <  n  <->  K  <  m ) )
14 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  0  =  0 )
15 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  m ) )
1615fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  m )
) )
1716oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) )
1815oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )
1917, 18oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) )
2013, 14, 19ifbieq12d 3899 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )
2120mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )
2212, 21eqeq12d 2486 . 2  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 m )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
23 fveq2 5879 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( m  +  1 ) ) )
24 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  <  n  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
25 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  0  =  0 )
26 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
2726fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
2827oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
2926oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )
3028, 29oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3124, 25, 30ifbieq12d 3899 . . . 4  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) )
3231mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
3323, 32eqeq12d 2486 . 2  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5879 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( S  Dn
F ) `  n
)  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
35 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  ( K  <  n  <->  K  <  N ) )
36 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  0  =  0 )
37 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( K  -  n )  =  ( K  -  N ) )
3837fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( ! `  ( K  -  n ) )  =  ( ! `  ( K  -  N )
) )
3938oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) ) )
4037oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  n ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) )
4139, 40oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) )  =  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) )
4235, 36, 41ifbieq12d 3899 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) )  =  if ( K  <  N ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  N
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  N )
) ) ) )
4342mpteq2dv 4483 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  N , 
0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  N ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  N
) ) ) ) ) )
4434, 43eqeq12d 2486 . 2  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  Dn F ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  n ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  n ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  n
) ) ) ) )  <->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) ) )
45 dvnxpaek.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 recnprss 22938 . . . . 5  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
48 cnex 9638 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
4948a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
50 dvnxpaek.x . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
51 restsspw 15408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  S )  C_  ~P S
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
5351, 52sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  e.  ~P S )
54 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ~P S  ->  X  C_  S )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S
)  ->  X  C_  S
)
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
5756, 47sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  C_  CC )
5857adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  C_  CC )
59 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6058, 59sseldd 3419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  CC )
61 dvnxpaek.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
6360, 62addcld 9680 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
64 dvnxpaek.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
6564adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  NN0 )
6663, 65expcld 12454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  e.  CC )
67 dvnxpaek.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )
6866, 67fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> CC )
69 elpm2r 7507 . . . . 5  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
7049, 45, 68, 56, 69syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
71 dvn0 22957 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
7247, 70, 71syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
7367a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
7464nn0ge0d 10952 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  K )
75 0red 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
7664nn0red 10950 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
7775, 76lenltd 9798 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  K  <->  -.  K  <  0 ) )
7874, 77mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  K  <  0
)
7978iffalsed 3883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )
8079adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  - 
0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  0 ) ) ) )
8164nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
8281subid1d 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K  -  0 )  =  K )
8382fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  0 ) )  =  ( ! `
 K ) )
8483oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K ) ) )
85 faccl 12507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
8664, 85syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  NN )
8786nncnd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  e.  CC )
8886nnne0d 10676 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ! `  K
)  =/=  0 )
8987, 88dividd 10403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  K )
)  =  1 )
9084, 89eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  =  1 )
9182oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9290, 91oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) ) )
9392adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K
) ) )
9466mulid2d 9679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( x  +  A ) ^ K ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ K ) )
9580, 93, 943eqtrrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ K )  =  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  0 ) ) ) ) )
9695mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^ K
) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9772, 73, 963eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  0 ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  0 ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  - 
0 ) ) ) ) ) )
9847adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
9970adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) )
100 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  NN0 )
101 dvnp1 22958 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
10298, 99, 100, 101syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) )
103102adantr 472 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) ) )
104 oveq2 6316 . . . 4  |-  ( ( ( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) ) )
105104adantl 473 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 m ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
106 iftrue 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( K  <  m  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  0 )
107106mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  m  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
108107oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( K  <  m  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
109108adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) ) )
110 0cnd 9654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
11145, 50, 110dvmptconst 37882 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
112111ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  0 ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
11376ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
114 nn0re 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
115114ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
116 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  m )
117113, 115, 116ltled 9800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <_  m )
11864nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  ZZ )
120100nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  ZZ )
121 zleltp1 11011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  + 
1 ) ) )
122119, 120, 121syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
123122adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( K  <_  m  <->  K  <  ( m  +  1 ) ) )
124117, 123mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
125124iftrued 3880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
126125mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
127126eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
128109, 112, 1273eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  K  <  m )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
129 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( ph  /\  m  e.  NN0 ) )
130 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  -.  K  <  m )
131129, 100, 1143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  e.  RR )
13276ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  K  e.  RR )
133131, 132lenltd 9798 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
134130, 133mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  ->  m  <_  K )
135 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  =  K )
136114ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  m  e.  RR )
13776ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  e.  RR )
138136, 137lttri3d 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
m  =  K  <->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) ) )
139135, 138mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m ) )
140 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  m  <  K  /\  -.  K  <  m
)  ->  -.  K  <  m )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  -.  K  <  m )
142141iffalsed 3883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
143142mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
145 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  K  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
146145fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  K  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
147146adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ! `  ( K  -  K )
) )
14881subidd 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( K  -  K
)  =  0 )
149148fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  ( ! `
 0 ) )
150 fac0 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ! `
 0 )  =  1
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  0
)  =  1 )
152149, 151eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  ( K  -  K )
)  =  1 )
153152adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  K ) )  =  1 )
154147, 153eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  1 )
155154oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
1 ) )
15687div1d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  /  1
)  =  ( ! `
 K ) )
157156adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  1 )  =  ( ! `  K ) )
158155, 157eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
159158adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ! `  K ) )
160145adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  ( K  -  K ) )
161148adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  K )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( K  -  m )  =  0 )
163162oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  ( ( x  +  A ) ^
0 ) )
16563exp0d 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
166165adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ 0 )  =  1 )
167164, 166eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) )  =  1 )
168159, 167oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  1 ) )
16987mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  K )  x.  1 )  =  ( ! `
 K ) )
170169ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ! `  K
)  x.  1 )  =  ( ! `  K ) )
171168, 170eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  =  K )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  =  ( ! `  K
) )
172171mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )
173172oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K
) ) ) )
17445, 50, 87dvmptconst 37882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
175174adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ! `  K ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
176173, 175eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
177176adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
178137ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
179 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  K  ->  (
m  +  1 )  =  ( K  + 
1 ) )
180179eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  K  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
181180adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( K  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
182178, 181breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  K  <  ( m  +  1 ) )
183182iftrued 3880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )  =  0 )
184183eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  0  =  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) ) )
185184mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  (
x  e.  X  |->  0 )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
186144, 177, 1853eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
187186adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  m  =  K )  ->  ( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
188 simpll 768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( ph  /\  m  e.  NN0 )
)
189188, 100, 1143syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  e.  RR )
19076ad3antrrr 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  e.  RR )
191 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <_  K )
192 neqne 2651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  m  =  K  ->  m  =/=  K )
193192necomd 2698 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  m  =  K  ->  K  =/=  m )
194193adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  K  =/=  m )
195189, 190, 191, 194leneltd 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  m  <  K )
196114ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  RR )
19776ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  RR )
198 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <  K )
199196, 197, 198ltled 9800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  <_  K )
200196, 197lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  -.  K  <  m ) )
201199, 200mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  m )
202201iffalsed 3883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) )
203202mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) )
204203oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )
20545adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
206205adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
20787ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
208100adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  NN0 )
20964ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  NN0 )
210 nn0sub 10944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
211208, 209, 210syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <_  K  <->  ( K  -  m )  e.  NN0 ) )
212199, 211mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN0 )
213 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( K  -  m ) )  e.  NN )
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  NN )
215214nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  e.  CC )
216214nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =/=  0 )
217207, 215, 216divcld 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
218217adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  e.  CC )
21975ad3antrrr 744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  RR )
22050adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
221220adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  X  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  S ) )
222206, 221, 217dvmptconst 37882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  0 ) )
22363adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  +  A )  e.  CC )
224223adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( x  +  A
)  e.  CC )
225212adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  NN0 )
226224, 225expcld 12454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
)  e.  CC )
227225nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( K  -  m
)  e.  CC )
228212nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  ZZ )
229196, 197posdifd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  0  <  ( K  -  m ) ) )
230198, 229mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  0  <  ( K  -  m
) )
231228, 230jca 541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( K  -  m ) ) )
232 elnnz 10971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  <->  ( ( K  -  m )  e.  ZZ  /\  0  < 
( K  -  m
) ) )
233231, 232sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  NN )
234 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0 )
236235adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  e.  NN0 )
237224, 236expcld 12454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  e.  CC )
238227, 237mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  e.  CC )
23961ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  A  e.  CC )
240206, 221, 239, 233dvxpaek 37912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
241206, 218, 219, 222, 226, 238, 240dvmptmul 22994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) ) ) )
242226mul02d 9849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  =  0 )
243242oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) ) ) ) )
244238, 218mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  e.  CC )
245244addid2d 9852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( 0  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
246120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  m  e.  ZZ )
247119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  K  e.  ZZ )
248 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
249246, 247, 248syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  <  K  <->  ( m  +  1 )  <_  K ) )
250198, 249mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  <_  K )
251 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
252196, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
253252, 197lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( m  +  1 )  <_  K  <->  -.  K  <  ( m  +  1 ) ) )
254250, 253mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  -.  K  <  ( m  + 
1 ) )
255254adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  -.  K  <  (
m  +  1 ) )
256255iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  if ( K  < 
( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) )
257218, 227, 237mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
258257eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
259233nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  e.  CC )
260207, 215, 259, 216div32d 10428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) ) )
261 facnn2 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
262233, 261syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) )
263262oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( ( K  -  m )  / 
( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m )
) ) )
264 faccl 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  -  m
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  e.  NN )
265234, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
266265nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
267233, 266syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  CC )
268235, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN )
269 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
270268, 269syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  =/=  0 )
271 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  -  m )  e.  NN  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
272233, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  m )  =/=  0 )
273267, 259, 270, 272divcan8d 37620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) )  x.  ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
274263, 273eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  =  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
275274oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( ( K  -  m )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
276 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
277260, 275, 2763eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( K  -  m ) )  =  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) ) )
278277adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  ( K  -  m )
)  =  ( ( ! `  K )  x.  ( 1  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
27981adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  K  e.  CC )
280100nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  CC )
281 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
282279, 280, 281subsub4d 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( K  -  m )  -  1 )  =  ( K  -  (
m  +  1 ) ) )
283282oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )
284283ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) )  =  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )
285278, 284oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( K  -  m
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
286282adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( K  -  m
)  -  1 )  =  ( K  -  ( m  +  1
) ) )
287286eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( K  -  ( m  +  1 ) )  =  ( ( K  -  m )  - 
1 ) )
288287fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )
289288oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) )
290207, 267, 270divrecd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) ) )
291289, 290eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
( ! `  K
)  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) )
292291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ! `  K )  x.  (
1  /  ( ! `
 ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
293292oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  x.  ( 1  /  ( ! `  ( ( K  -  m )  -  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) )
294258, 285, 2933eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) ) ) )
295218, 238mulcomd 9682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) )
296256, 294, 2953eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( K  -  m )  x.  ( ( x  +  A ) ^ (
( K  -  m
)  -  1 ) ) )  x.  (
( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
297243, 245, 2963eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  /\  x  e.  X )  ->  ( ( 0  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) )  +  ( ( ( K  -  m )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( ( K  -  m )  -  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) ) ) )  =  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) )
298297mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  (
x  e.  X  |->  ( ( 0  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) )  +  ( ( ( K  -  m
)  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( ( K  -  m )  - 
1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
299204, 241, 2983eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
300188, 195, 299syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  /\  -.  m  =  K
)  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
301187, 300pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  m  <_  K )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
302129, 134, 301syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  K  <  m )  -> 
( S  _D  (
x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  (
m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  ( m  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1
) ) ) ) ) ) )
303128, 302pm2.61dan 808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
m ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  m )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  m ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  + 
1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  (
m  +  1 ) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  ( m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
304303adantr 472 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K )  /  ( ! `  ( K  -  m
) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^ ( K  -  m )
) ) ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
305103, 105, 3043eqtrd 2509 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  m ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  m ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  m
) ) ) ) ) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  <  ( m  +  1 ) ,  0 ,  ( ( ( ! `  K
)  /  ( ! `
 ( K  -  ( m  +  1
) ) ) )  x.  ( ( x  +  A ) ^
( K  -  (
m  +  1 ) ) ) ) ) ) )
30611, 22, 33, 44, 97, 305nn0indd 11055 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  =  ( x  e.  X  |->  if ( K  < 
N ,  0 ,  ( ( ( ! `
 K )  / 
( ! `  ( K  -  N )
) )  x.  (
( x  +  A
) ^ ( K  -  N ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   !cfa 12497   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398  ℂfldccnfld 19047    _D cdv 22897    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902
This theorem is referenced by:  etransclem17  38228
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