MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Unicode version

Theorem dvntaylp0 21722
Description: The first  N derivatives of the Taylor polynomial at  B match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp0.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp0.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp0.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
dvntaylp0.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
dvntaylp0.t  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  M ) `  B
) )

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
2 elfz3nn0 11469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
43nn0cnd 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
5 elfznn0 11468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
61, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
76nn0cnd 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
84, 7npcand 9711 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
98oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  ( N ( S Tayl  F ) B ) )
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( N ( S Tayl 
F ) B )
119, 10syl6eqr 2483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  =  T )
1211oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( CC  Dn
( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) )  =  ( CC  Dn T ) )
1312fveq1d 5681 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( CC  Dn T ) `  M ) )
14 dvntaylp0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
15 dvntaylp0.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
16 dvntaylp0.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
17 fznn0sub 11474 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
19 dvntaylp0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) )
208fveq2d 5683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( ( N  -  M )  +  M
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
2120dmeqd 5029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
2219, 21eleqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  (
( N  -  M
)  +  M ) ) )
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 21721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( ( N  -  M )  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
2413, 23eqtr3d 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn T ) `  M )  =  ( ( N  -  M
) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) )
2524fveq1d 5681 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) `  B ) )
26 cnex 9351 . . . . . . 7  |-  CC  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
28 elpm2r 7218 . . . . . 6  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
30 dvnf 21243 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) --> CC )
3114, 29, 6, 30syl3anc 1211 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) --> CC )
32 dvnbss 21244 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) 
C_  dom  F )
3314, 29, 6, 32syl3anc 1211 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M )  C_  dom  F )
34 fdm 5551 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
3515, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3633, 35sseqtrd 3380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M )  C_  A )
3736, 16sstrd 3354 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M )  C_  S )
3818orcd 392 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  \/  ( N  -  M
)  = +oo )
)
39 dvnadd 21245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `  ( M  +  ( N  -  M )
) ) )
417, 4pncan3d 9710 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
4241fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  ( M  +  ( N  -  M )
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
4340, 42eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
4443dmeqd 5029 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) )
4519, 44eleqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M
) ) )
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 21713 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 [,] ( N  -  M
) )  i^i  ZZ ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  k ) )
47 eqid 2433 . . . 4  |-  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B )  =  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B )
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 21712 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  e.  dom  ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B )  /\  ( ( ( N  -  M
) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) `
 B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `
 M ) `  B ) ) )
4948simprd 460 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  M ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) B ) `  B
)  =  ( ( ( S  Dn
F ) `  M
) `  B )
)
5025, 49eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn T ) `
 M ) `  B )  =  ( ( ( S  Dn F ) `  M ) `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   {cpr 3867   dom cdm 4827   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^pm cpm 7203   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270    + caddc 9273   +oocpnf 9403    - cmin 9583   NN0cn0 10567   ...cfz 11424    Dncdvn 21181   Tayl ctayl 21703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-grp 15525  df-minusg 15526  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-abl 16260  df-mgp 16566  df-rng 16580  df-cring 16581  df-ur 16582  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-tsms 19539  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-dvn 21185  df-tayl 21705
This theorem is referenced by:  taylthlem1  21723  taylthlem2  21724
  Copyright terms: Public domain W3C validator