Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Unicode version

Theorem dvntaylp0 22951
 Description: The first derivatives of the Taylor polynomial at match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s
dvntaylp0.f
dvntaylp0.a
dvntaylp0.m
dvntaylp0.b
dvntaylp0.t Tayl
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11
2 elfz3nn0 11744 . . . . . . . . . . 11
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10
43nn0cnd 10815 . . . . . . . . 9
5 elfznn0 11743 . . . . . . . . . . 11
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
76nn0cnd 10815 . . . . . . . . 9
84, 7npcand 9891 . . . . . . . 8
98oveq1d 6249 . . . . . . 7 Tayl Tayl
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 Tayl
119, 10syl6eqr 2461 . . . . . 6 Tayl
1211oveq2d 6250 . . . . 5 Tayl
1312fveq1d 5807 . . . 4 Tayl
14 dvntaylp0.s . . . . 5
15 dvntaylp0.f . . . . 5
16 dvntaylp0.a . . . . 5
17 fznn0sub 11688 . . . . . 6
181, 17syl 17 . . . . 5
19 dvntaylp0.b . . . . . 6
208fveq2d 5809 . . . . . . 7
2120dmeqd 5147 . . . . . 6
2219, 21eleqtrrd 2493 . . . . 5
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 22950 . . . 4 Tayl Tayl
2413, 23eqtr3d 2445 . . 3 Tayl
2524fveq1d 5807 . 2 Tayl
26 cnex 9523 . . . . . . 7
2726a1i 11 . . . . . 6
28 elpm2r 7394 . . . . . 6
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1231 . . . . 5
30 dvnf 22514 . . . . 5
3114, 29, 6, 30syl3anc 1230 . . . 4
32 dvnbss 22515 . . . . . . 7
3314, 29, 6, 32syl3anc 1230 . . . . . 6
34 fdm 5674 . . . . . . 7
3515, 34syl 17 . . . . . 6
3633, 35sseqtrd 3477 . . . . 5
3736, 16sstrd 3451 . . . 4
3818orcd 390 . . . 4
39 dvnadd 22516 . . . . . . . . 9
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1231 . . . . . . . 8
417, 4pncan3d 9890 . . . . . . . . 9
4241fveq2d 5809 . . . . . . . 8
4340, 42eqtrd 2443 . . . . . . 7
4443dmeqd 5147 . . . . . 6
4519, 44eleqtrrd 2493 . . . . 5
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 22942 . . . 4
47 eqid 2402 . . . 4 Tayl Tayl
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 22941 . . 3 Tayl Tayl
4948simprd 461 . 2 Tayl
5025, 49eqtrd 2443 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   wss 3413  cpr 3973   cdm 4942  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234   cpm 7378  cc 9440  cr 9441  cc0 9442   caddc 9445   cpnf 9575   cmin 9761  cn0 10756  cfz 11643   cdvn 22452   Tayl ctayl 22932 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-pm 7380  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-nei 19784  df-lp 19822  df-perf 19823  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-haus 20001  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-fil 20531  df-fm 20623  df-flim 20624  df-flf 20625  df-tsms 20809  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009  df-cncf 21566  df-limc 22454  df-dv 22455  df-dvn 22456  df-tayl 22934 This theorem is referenced by:  taylthlem1  22952  taylthlem2  22953
 Copyright terms: Public domain W3C validator