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Theorem dvntaylp 22516
Description: The  M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the  M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
dvntaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvntaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  +  M )
) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 nn0uz 11115 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2565 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11694 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
6 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 ) )
7 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )
87oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) )
9 oveq2 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( M  -  m )  =  ( M  - 
0 ) )
109oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  0 ) ) )
11 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  B  =  B )
128, 10, 11oveq123d 6304 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 )  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  0
) ) B ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )
16 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  n ) )
1716oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) )
18 oveq2 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  n ) )
1918oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
20 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  B  =  B )
2117, 19, 20oveq123d 6304 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n
)  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
25 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) )
2625oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
27 oveq2 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  ( n  +  1
) ) )
2827oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) )
29 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  B  =  B )
3026, 28, 29oveq123d 6304 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 5865 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M ) )
34 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
3534oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) )
36 oveq2 6291 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  M ) )
3736oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  M ) ) )
38 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  B  =  B )
3935, 37, 38oveq123d 6304 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) ) )
4140imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
44 mapsspm 7452 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4948, 1nn0addcld 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  +  M )
) )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 22511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 9572 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
5453, 53elmap 7447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) 
<->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) )
5644, 55sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
57 dvn0 22078 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
59 recnprss 22059 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
62 elpm2r 7436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
64 dvn0 22078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
6560, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
6665oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )  =  ( S Tayl 
F ) )
671nn0cnd 10853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6867subid1d 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
6968oveq2d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  0 ) )  =  ( N  +  M ) )
70 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  B )
7166, 69, 70oveq123d 6304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  0
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) ` 
0 ) ) B )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) )
7372a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B )  ->  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC  _D  (
( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) ) )
7542a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
7656adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
77 elfzouz 11800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2566 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 dvnp1 22079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8245adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
8363adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
84 dvnf 22081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 n ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 n ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 n ) --> CC )
86 dvnbss 22082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  n ) 
C_  dom  F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  dom  F )
88 fdm 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  F  =  A )
9187, 90sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  A )
9247adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  C_  S
)
9391, 92sstrd 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  S )
9448adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
95 fzofzp1 11876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 11715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  NN0 )
9994, 98nn0addcld 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
10050adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  +  M
) ) )
101 elfzofz 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
10594, 104nn0addcld 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  n
) )  e.  NN0 )
106 dvnadd 22083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( N  +  ( M  -  n ) )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10848nn0cnd 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  CC )
11098nn0cnd 10853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  CC )
111 1cnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  1  e.  CC )
112109, 110, 111addassd 9617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1 ) )  +  1 ) ) )
11367adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  CC )
11479nn0cnd 10853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  CC )
115113, 114, 111nppcan2d 9955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( M  -  ( n  + 
1 ) )  +  1 )  =  ( M  -  n ) )
116115oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1
) )  +  1 ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
117112, 116eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
118117fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
119114, 113pncan3d 9932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  +  ( M  -  n
) )  =  M )
120119oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( N  +  M ) )
121113, 114subcld 9929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  CC )
122109, 114, 121add12d 9800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
123120, 122eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
124123fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  +  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) ) )
125107, 118, 1243eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  +  M ) ) )
126125dmeqd 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  +  M ) ) )
127100, 126eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) `
 ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ) )
12882, 85, 93, 99, 127dvtaylp 22515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) ) B ) )
129117oveq1d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) )
130129oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) )
13160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
132 dvnp1 22079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) )
133131, 83, 79, 132syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) )
134133oveq2d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) ) )
135134eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1
) ) ) )
136135oveqd 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) )
137128, 130, 1363eqtr3rd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) )
13881, 137eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1
) ) ) B )  <->  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n
) )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) ) )
13974, 138syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
140139expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
141140a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
14214, 23, 32, 41, 73, 141fzind2 11891 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) ) )
1435, 142mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
14467subidd 9917 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
145144oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
146108addid1d 9778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
147145, 146eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  N )
148147oveq1d 6298 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  M
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
149143, 148eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {cpr 4029   dom cdm 4999   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    ^m cmap 7420    ^pm cpm 7421   CCcc 9489   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    - cmin 9804   NN0cn0 10794   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671  ..^cfzo 11791    _D cdv 22018    Dncdvn 22019   Tayl ctayl 22498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570  ax-mulf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-fac 12321  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-hom 14578  df-cco 14579  df-rest 14677  df-topn 14678  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-topgen 14698  df-pt 14699  df-prds 14702  df-xrs 14756  df-qtop 14761  df-imas 14762  df-xps 14764  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-cmn 16603  df-abl 16604  df-mgp 16941  df-ur 16953  df-rng 16997  df-cring 16998  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-lp 19419  df-perf 19420  df-cn 19510  df-cnp 19511  df-haus 19598  df-tx 19814  df-hmeo 20007  df-fil 20098  df-fm 20190  df-flim 20191  df-flf 20192  df-tsms 20376  df-xms 20574  df-ms 20575  df-tms 20576  df-cncf 21133  df-limc 22021  df-dv 22022  df-dvn 22023  df-tayl 22500
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