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Theorem dvntaylp 22892
Description: The  M-th derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the  M-th derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvntaylp.f  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
dvntaylp.a  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
dvntaylp.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
dvntaylp.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvntaylp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  +  M )
) )
Assertion
Ref Expression
dvntaylp  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )

Proof of Theorem dvntaylp
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 nn0uz 11140 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 eluzfz2b 11720 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  M  e.  (
0 ... M ) )
53, 4sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 0 ... M ) )
6 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 ) )
7 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )
87oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) )
9 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  ( M  -  m )  =  ( M  - 
0 ) )
109oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  0 ) ) )
11 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  B  =  B )
128, 10, 11oveq123d 6317 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  - 
0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 0 ) ) B ) )
136, 12eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) ` 
0 )  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  0
) ) B ) ) )
1413imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) ) ) )
15 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )
16 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  n ) )
1716oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) )
18 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  n ) )
1918oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
20 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  B  =  B )
2117, 19, 20oveq123d 6317 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B ) )
2215, 21eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) ) )
2322imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n
)  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) ) )
24 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) ) )
25 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) )
2625oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
27 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  ( n  +  1
) ) )
2827oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) )
29 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  B  =  B )
3026, 28, 29oveq123d 6317 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B ) )
3124, 30eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
3231imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
33 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  m )  =  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M ) )
34 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( S  Dn
F ) `  m
)  =  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
3534oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) )
36 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( M  -  m )  =  ( M  -  M ) )
3736oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( N  +  ( M  -  m ) )  =  ( N  +  ( M  -  M ) ) )
38 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  B  =  B )
3935, 37, 38oveq123d 6317 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  m
) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) B ) )
4033, 39eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  m
)  =  ( ( N  +  ( M  -  m ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B )  <->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) ) )
4140imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 m )  =  ( ( N  +  ( M  -  m
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  m ) ) B ) )  <->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) ) ) )
42 ssid 3518 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
4342a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
44 mapsspm 7471 . . . . . . . 8  |-  ( CC 
^m  CC )  C_  ( CC  ^pm  CC )
45 dvntaylp.s . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
46 dvntaylp.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : A --> CC )
47 dvntaylp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  C_  S )
48 dvntaylp.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
4948, 1nn0addcld 10877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  +  M
)  e.  NN0 )
50 dvntaylp.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  (
( S  Dn
F ) `  ( N  +  M )
) )
51 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  =  ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )
5245, 46, 47, 49, 50, 51taylpf 22887 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
53 cnex 9590 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
5453, 53elmap 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) 
<->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) : CC --> CC )
5552, 54sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^m  CC ) )
5644, 55sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
57 dvn0 22453 . . . . . . 7  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  (
( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  0 )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
5843, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
59 recnprss 22434 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
6045, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
6153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
62 elpm2r 7455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  S ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
6361, 45, 46, 47, 62syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
64 dvn0 22453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
6560, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) ` 
0 )  =  F )
6665oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) )  =  ( S Tayl 
F ) )
671nn0cnd 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6867subid1d 9939 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  -  0 )  =  M )
6968oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  0 ) )  =  ( N  +  M ) )
70 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  B )
7166, 69, 70oveq123d 6317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  0
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) ` 
0 ) ) B )  =  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) )
7258, 71eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) )
7372a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  0
)  =  ( ( N  +  ( M  -  0 ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  0 ) ) B ) ) )
74 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  Dn
( ( N  +  M ) ( S Tayl 
F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B )  ->  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n ) )  =  ( CC  _D  (
( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) ) )
7542a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  CC  C_  CC )
7656adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B )  e.  ( CC 
^pm  CC ) )
77 elfzouz 11830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7877adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7978, 2syl6eleqr 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 dvnp1 22454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  (
( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B )  e.  ( CC  ^pm  CC )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8175, 76, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n ) ) )
8245adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
8363adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)
84 dvnf 22456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 n ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 n ) --> CC )
8582, 83, 79, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 n ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 n ) --> CC )
86 dvnbss 22457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  n ) 
C_  dom  F )
8782, 83, 79, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  dom  F )
88 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
8946, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  F  =  A )
9187, 90sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  A )
9247adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  A  C_  S
)
9391, 92sstrd 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `
 n )  C_  S )
9448adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  NN0 )
95 fzofzp1 11912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  ( 0 ... M ) )
97 fznn0sub 11742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  NN0 )
9994, 98nn0addcld 10877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
10050adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  +  M
) ) )
101 elfzofz 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  ( 0 ... M ) )
103 fznn0sub 11742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  NN0 )
10594, 104nn0addcld 10877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( M  -  n
) )  e.  NN0 )
106 dvnadd 22458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( N  +  ( M  -  n ) )  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10782, 83, 79, 105, 106syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  +  ( N  +  ( M  -  n )
) ) ) )
10848nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  N  e.  CC )
11098nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  ( n  +  1
) )  e.  CC )
111 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  1  e.  CC )
112109, 110, 111addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1 ) )  +  1 ) ) )
11367adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  M  e.  CC )
11479nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  n  e.  CC )
115113, 114, 111nppcan2d 9976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( M  -  ( n  + 
1 ) )  +  1 )  =  ( M  -  n ) )
116115oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( ( M  -  ( n  +  1
) )  +  1 ) )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
117112, 116eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 )  =  ( N  +  ( M  -  n ) ) )
118117fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
119114, 113pncan3d 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( n  +  ( M  -  n
) )  =  M )
120119oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( N  +  M ) )
121113, 114subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( M  -  n )  e.  CC )
122109, 114, 121add12d 9820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  ( n  +  ( M  -  n )
) )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
123120, 122eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( N  +  M )  =  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) )
124123fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  +  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  ( N  +  ( M  -  n ) ) ) ) )
125107, 118, 1243eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( N  +  M ) ) )
126125dmeqd 5215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  n ) ) `  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `  ( N  +  M ) ) )
127100, 126eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  B  e.  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) `
 ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ) )
12882, 85, 93, 99, 127dvtaylp 22891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) ) B ) )
129117oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) )
130129oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( CC  _D  ( ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) )  +  1 ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) )
13160adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
132 dvnp1 22454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) )
133131, 83, 79, 132syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) )
134133oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) ) )
135134eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 n ) ) )  =  ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1
) ) ) )
136135oveqd 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) ) B )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) )
137128, 130, 1363eqtr3rd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1
) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) B )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) )
13881, 137eqeq12d 2479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 ( n  + 
1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  (
n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1
) ) ) B )  <->  ( CC  _D  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n
) )  =  ( CC  _D  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B ) ) ) )
13974, 138syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M
) ( S Tayl  F
) B ) ) `
 n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  n ) ) B )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) )
140139expcom 435 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ph  ->  ( ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B )  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  +  1 ) ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  (
n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
141140a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  n )  =  ( ( N  +  ( M  -  n ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  n
) ) B ) )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( ( N  +  ( M  -  ( n  + 
1 ) ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  ( n  +  1 ) ) ) B ) ) ) )
14214, 23, 32, 41, 73, 141fzind2 11927 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M )  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  (
( S  Dn
F ) `  M
) ) B ) ) )
1435, 142mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( ( N  +  ( M  -  M ) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
14467subidd 9938 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  -  M
)  =  0 )
145144oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
146108addid1d 9797 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  0 )  =  N )
147145, 146eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  +  ( M  -  M ) )  =  N )
148147oveq1d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N  +  ( M  -  M
) ) ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B )  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
149143, 148eqtrd 2498 1  |-  ( ph  ->  ( ( CC  Dn ( ( N  +  M ) ( S Tayl  F ) B ) ) `  M
)  =  ( N ( S Tayl  ( ( S  Dn F ) `  M ) ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {cpr 4034   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ^pm cpm 7439   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821    _D cdv 22393    Dncdvn 22394   Tayl ctayl 22874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-tsms 20751  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-dvn 22398  df-tayl 22876
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