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Theorem dvnprod 37824
Description: The multinomial formula for the  N-th derivative of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnprod.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnprod.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
dvnprod.t  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
dvnprod.h  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t ) : X --> CC )
dvnprod.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dvnprod.dvnh  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 k ) : X --> CC )
dvnprod.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> 
prod_ t  e.  T  ( ( H `  t ) `  x
) )
dvnprod.c  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  ( c `  t
)  =  n }
)
Assertion
Ref Expression
dvnprod  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( c `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( c `  t ) ) `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, c    H, c, n, t, x   
k, H, n, t, x    N, c, n, t, x    k, N    S, c, n, t, x    S, k    T, c, n, t, x    T, k    k, X, n, t, x    ph, k, n, t, x
Allowed substitution hints:    ph( c)    C( x, t, k, n)    F( x, t, k, n, c)    X( c)

Proof of Theorem dvnprod
Dummy variables  e 
s  r  d  m  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvnprod.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 dvnprod.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  S ) )
3 dvnprod.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  Fin )
4 dvnprod.h . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( H `  t ) : X --> CC )
5 dvnprod.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 dvnprod.dvnh . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 k ) : X --> CC )
7 dvnprod.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |-> 
prod_ t  e.  T  ( ( H `  t ) `  x
) )
8 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  t  ->  (
d `  u )  =  ( d `  t ) )
98cbvsumv 13762 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ u  e.  r  ( d `  u )  =  sum_ t  e.  r  (
d `  t )
109eqeq1i 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m  <->  sum_ t  e.  r  ( d `  t
)  =  m )
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  ->  ( sum_ u  e.  r  ( d `  u )  =  m  <->  sum_ t  e.  r  ( d `  t )  =  m ) )
1211rabbiia 3033 . . . . . . . 8  |-  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m }  =  {
d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( d `  t
)  =  m }
13 fveq1 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  e  ->  (
d `  t )  =  ( e `  t ) )
1413sumeq2ad 37644 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  e  ->  sum_ t  e.  r  ( d `  t )  =  sum_ t  e.  r  (
e `  t )
)
1514eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  e  ->  ( sum_ t  e.  r  ( d `  t )  =  m  <->  sum_ t  e.  r  ( e `  t )  =  m ) )
1615cbvrabv 3044 . . . . . . . 8  |-  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
d `  t )  =  m }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  m }
1712, 16eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  m }
1817mpteq2i 4486 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m } )  =  ( m  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m
)  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  m }
)
19 eqeq2 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( sum_ t  e.  r  ( e `  t )  =  m  <->  sum_ t  e.  r  ( e `  t )  =  n ) )
2019rabbidv 3036 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  m }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
21 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... n
) )
2221oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( 0 ... m
)  ^m  r )  =  ( ( 0 ... n )  ^m  r ) )
23 rabeq 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0 ... m
)  ^m  r )  =  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  ->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
2520, 24eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  m }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
2625cbvmptv 4495 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  m } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
2718, 26eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  ( e `  t
)  =  n }
)
2827mpteq2i 4486 . . . 4  |-  ( r  e.  ~P T  |->  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m } ) )  =  ( r  e. 
~P T  |->  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n } ) )
29 sumeq1 13755 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  sum_ t  e.  r  ( e `  t )  =  sum_ t  e.  s  (
e `  t )
)
3029eqeq1d 2453 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  ( sum_ t  e.  r  ( e `  t )  =  n  <->  sum_ t  e.  s  ( e `  t )  =  n ) )
3130rabbidv 3036 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  | 
sum_ t  e.  s  ( e `  t
)  =  n }
)
32 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  (
( 0 ... n
)  ^m  r )  =  ( ( 0 ... n )  ^m  s ) )
33 rabeq 3038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... n
)  ^m  r )  =  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  ->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  s  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  | 
sum_ t  e.  s  ( e `  t
)  =  n }
)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( r  =  s  ->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  s  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  | 
sum_ t  e.  s  ( e `  t
)  =  n }
)
3531, 34eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( r  =  s  ->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  | 
sum_ t  e.  s  ( e `  t
)  =  n }
)
3635mpteq2dv 4490 . . . . 5  |-  ( r  =  s  ->  (
n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  s )  |  sum_ t  e.  s  ( e `  t
)  =  n }
) )
3736cbvmptv 4495 . . . 4  |-  ( r  e.  ~P T  |->  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  r )  |  sum_ t  e.  r  (
e `  t )  =  n } ) )  =  ( s  e. 
~P T  |->  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  |  sum_ t  e.  s  (
e `  t )  =  n } ) )
3828, 37eqtri 2473 . . 3  |-  ( r  e.  ~P T  |->  ( m  e.  NN0  |->  { d  e.  ( ( 0 ... m )  ^m  r )  |  sum_ u  e.  r  ( d `
 u )  =  m } ) )  =  ( s  e. 
~P T  |->  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  s )  |  sum_ t  e.  s  (
e `  t )  =  n } ) )
39 dvnprod.c . . . 4  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  ( c `  t
)  =  n }
)
40 fveq1 5864 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  e  ->  (
c `  t )  =  ( e `  t ) )
4140sumeq2ad 37644 . . . . . . 7  |-  ( c  =  e  ->  sum_ t  e.  T  ( c `  t )  =  sum_ t  e.  T  (
e `  t )
)
4241eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( c  =  e  ->  ( sum_ t  e.  T  ( c `  t )  =  n  <->  sum_ t  e.  T  ( e `  t )  =  n ) )
4342cbvrabv 3044 . . . . 5  |-  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  (
c `  t )  =  n }  =  {
e  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  T )  | 
sum_ t  e.  T  ( e `  t
)  =  n }
4443mpteq2i 4486 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  |->  { c  e.  ( ( 0 ... n )  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  (
c `  t )  =  n } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  ( e `  t
)  =  n }
)
4539, 44eqtri 2473 . . 3  |-  C  =  ( n  e.  NN0  |->  { e  e.  ( ( 0 ... n
)  ^m  T )  |  sum_ t  e.  T  ( e `  t
)  =  n }
)
461, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 38, 45dvnprodlem3 37823 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ e  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( e `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( e `  t ) ) `  x ) ) ) )
47 fveq1 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  c  ->  (
e `  t )  =  ( c `  t ) )
4847fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  c  ->  ( ! `  ( e `  t ) )  =  ( ! `  (
c `  t )
) )
4948prodeq2ad 37672 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  c  ->  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( e `  t ) )  = 
prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )
5049oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( e  =  c  ->  (
( ! `  N
)  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( e `  t
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( c `  t ) ) ) )
5147fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  c  ->  (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
)  =  ( ( S  Dn ( H `  t ) ) `  ( c `
 t ) ) )
5251fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  c  ->  (
( ( S  Dn ( H `  t ) ) `  ( e `  t
) ) `  x
)  =  ( ( ( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
)
5352prodeq2ad 37672 . . . . . . 7  |-  ( e  =  c  ->  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
) `  x )  =  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( c `  t ) ) `  x ) )
5450, 53oveq12d 6308 . . . . . 6  |-  ( e  =  c  ->  (
( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( e `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( e `  t ) ) `  x ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
) )
5554cbvsumv 13762 . . . . 5  |-  sum_ e  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( e `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
)
56 eqid 2451 . . . . 5  |-  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
)
5755, 56eqtri 2473 . . . 4  |-  sum_ e  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( e `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
) `  x )
)  =  sum_ c  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( c `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
c `  t )
) `  x )
)
5857mpteq2i 4486 . . 3  |-  ( x  e.  X  |->  sum_ e  e.  ( C `  N
) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( e `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
) `  x )
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( c `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( c `  t ) ) `  x ) ) )
5958a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
sum_ e  e.  ( C `  N ) ( ( ( ! `
 N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `  ( e `
 t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( (
( S  Dn
( H `  t
) ) `  (
e `  t )
) `  x )
) )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( c `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( c `  t ) ) `  x ) ) ) )
6046, 59eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn F ) `  N )  =  ( x  e.  X  |->  sum_ c  e.  ( C `
 N ) ( ( ( ! `  N )  /  prod_ t  e.  T  ( ! `
 ( c `  t ) ) )  x.  prod_ t  e.  T  ( ( ( S  Dn ( H `
 t ) ) `
 ( c `  t ) ) `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   ~Pcpw 3951   {cpr 3970    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    x. cmul 9544    / cdiv 10269   NN0cn0 10869   ...cfz 11784   !cfa 12459   sum_csu 13752   prod_cprod 13959   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320  ℂfldccnfld 18970    Dncdvn 22819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-prod 13960  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-dvn 22823
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