Theorem dvnmptdivc 37823

Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmptdivc.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvnmptdivc.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvnmptdivc.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvnmptdivc.b	|- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
dvnmptdivc.dvn	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
dvnmptdivc.c	|- ( ph -> C e. CC )
dvnmptdivc.cne0	|- ( ph -> C =/= 0 )
dvnmptdivc.8	|- ( ph -> M e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvnmptdivc	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   x, C   n, M, x   S, n, x   n, X, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, n)   C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> n e. ( 0 ... M ) )
2		simpl 459	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
3		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) )
4		csbeq1 3368	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> [_ k / n ]_ B = [_ 0 / n ]_ B )
5	4	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
6	5	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
7	3, 6	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
8	7	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) ) )
9		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) )
10		csbeq1 3368	. . . . . . 7 |- ( k = j -> [_ k / n ]_ B = [_ j / n ]_ B )
11	10	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ j / n ]_ B / C ) )
12	11	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( k = j -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
13	9, 12	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
14	13	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) ) )
15		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
16		csbeq1 3368	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> [_ k / n ]_ B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
17	16	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) )
18	17	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) )
20	19	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
21		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) )
22		equcomi 1863	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> n = k )
23		csbeq1a 3374	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ k / n ]_ B )
25	24	eqcomd 2459	. . . . . . 7 |- ( k = n -> [_ k / n ]_ B = B )
26	25	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( B / C ) )
27	26	mpteq2dv 4493	. . . . 5 |- ( k = n -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )
28	21, 27	eqeq12d 2468	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
29	28	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = n -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) ) )
30		dvnmptdivc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
31		recnprss 22871	. . . . . . 7 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
33		cnex 9625	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
35		dvnmptdivc.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
36		dvnmptdivc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
38		dvnmptdivc.cne0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= 0 )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C =/= 0 )
40	35, 37, 39	divcld 10390	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) e. CC )
41		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( A / C ) )
42	40, 41	fmptd 6051	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC )
43		dvnmptdivc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
44		elpm2r 7494	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
45	34, 30, 42, 43, 44	syl22anc 1270	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
46		dvn0 22890	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
47	32, 45, 46	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
48		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ph )
49		dvnmptdivc.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
50		nn0uz 11200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	49, 50	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		eluzfz1 11813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
54		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
55		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 )
56		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n X
57		nfcsb1v 3381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ 0 / n ]_ B
58	56, 57	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
59	55, 58	nfeq 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
60	54, 59	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
61		c0ex 9642	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. _V
62		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> 0 e. ( 0 ... M ) ) )
63	62	anbi2d 711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
64		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) )
65		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> B = [_ 0 / n ]_ B )
66	65	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
67	64, 66	eqeq12d 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) )
68	63, 67	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) ) )
69		dvnmptdivc.dvn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
70	60, 61, 68, 69	vtoclf 3101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
71	48, 53, 70	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
72	71	fveq1d 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
74		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
75		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
76	53	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
77		0re 9648	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
78		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n 0
79		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
80		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n CC
81	57, 80	nfel 2606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ 0 / n ]_ B e. CC
82	79, 81	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
83	62	3anbi3d 1347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
84	65	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( B e. CC <-> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
85	83, 84	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) ) )
86		dvnmptdivc.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
87	78, 82, 85, 86	vtoclgf 3107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
88	77, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
89	75, 74, 76, 88	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
90		eqid 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
91	90	fvmpt2 5962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ [_ 0 / n ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
92	74, 89, 91	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
93	73, 92	eqtr2d 2488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B = ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) )
94		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
95	35, 94	fmptd 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
96		elpm2r 7494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
97	34, 30, 95, 43, 96	syl22anc 1270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
98		dvn0 22890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
99	32, 97, 98	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
100	99	fveq1d 5872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
101	100	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
102	94	fvmpt2 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
103	74, 35, 102	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
104	93, 101, 103	3eqtrrd 2492	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A = [_ 0 / n ]_ B )
105	104	oveq1d 6310	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
106	105	mpteq2dva 4492	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
107	47, 106	eqtrd 2487	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
108	107	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
109		simp3 1011	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
110		simp1 1009	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> j e. ( 0..^ M ) )
111		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
112		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
113	111, 112	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
114	113	3adant1 1027	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
115	32	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> S C_ CC )
116	45	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
117		elfzofz 11942	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
118		elfznn0 11894	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
119	118	ad2antlr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
120	117, 119	sylanl2 657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
121		dvnp1 22891	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
123		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
124	123	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
125	32	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S C_ CC )
126	45	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
127		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
128	127, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
129	117, 128	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. NN0 )
130	125, 126, 129, 121	syl3anc 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
131	130	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
132	30	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S e. { RR , CC } )
133		simplr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> j e. ( 0 ... M ) )
134	48	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
135		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
136	134, 135, 133	3jca 1189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) )
137		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n j
138		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) )
139	137	nfcsb1 3380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ j / n ]_ B
140	139, 80	nfel 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n [_ j / n ]_ B e. CC
141	138, 140	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
142		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( 0 ... M ) ) )
143	142	3anbi3d 1347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
144		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> B = [_ j / n ]_ B )
145	144	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( B e. CC <-> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
146	143, 145	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) ) )
147	137, 141, 146, 86	vtoclgf 3107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
148	133, 136, 147	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
149	117, 148	sylanl2 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
150		fzofzp1 12015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
151	150	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
152	117, 134	sylanl2 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
153		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
154	152, 153, 151	3jca 1189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
155		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( j + 1 )
156		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
157	155	nfcsb1 3380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B
158	157, 80	nfel 2606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC
159	156, 158	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
160		eleq1 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
161	160	3anbi3d 1347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
162		csbeq1a 3374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
163	162	eleq1d 2515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( B e. CC <-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
164	161, 163	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) ) )
165	155, 159, 164, 86	vtoclgf 3107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
166	151, 154, 165	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
167		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ph )
168	117	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
169		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) )
170		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j )
171	56, 139	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
172	170, 171	nfeq 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
173	169, 172	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
174	142	anbi2d 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
175		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
176	144	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
177	175, 176	eqeq12d 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) )
178	174, 177	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) ) )
179	173, 178, 69	chvar 2108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
180	167, 168, 179	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
181	180	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
182	181	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
183	167, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
184		dvnp1 22891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
185	125, 183, 129, 184	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
186	185	eqcomd 2459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
187	150	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
188	167, 187	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
189		nfv 1763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
190		nfcv 2594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) )
191	56, 157	nfmpt 4494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
192	190, 191	nfeq 2605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
193	189, 192	nfim 2005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
194	160	anbi2d 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
195		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
196	162	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
197	195, 196	eqeq12d 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
198	194, 197	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) ) )
199	155, 193, 198, 69	vtoclgf 3107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
200	187, 188, 199	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
201	182, 186, 200	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
202	36	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C e. CC )
203	38	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C =/= 0 )
204	132, 149, 166, 201, 202, 203	dvmptdivc 22931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
205	204	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
206	131, 124, 205	3eqtrd 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
207	206	eqcomd 2459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
208	207, 122, 124	3eqtrrd 2492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
209	122, 124, 208	3eqtrd 2491	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
210	109, 110, 114, 209	syl21anc 1268	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
211	210	3exp 1208	. . 3 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
212	8, 14, 20, 29, 108, 211	fzind2 12030	. 2 |- ( n e. ( 0 ... M ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
213	1, 2, 212	sylc 62	1 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   _Vcvv 3047   [_csb 3365   C_ wss 3406   {cpr 3972   |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^pm cpm 7478   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   / cdiv 10276   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   _D cdv 22830   Dncdvn 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835

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