Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptdivc Structured version   Unicode version

Theorem dvnmptdivc 31974
Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptdivc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnmptdivc.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvnmptdivc.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvnmptdivc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
dvnmptdivc.dvn  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvnmptdivc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dvnmptdivc.cne0  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
dvnmptdivc.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
dvnmptdivc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    x, C    n, M, x    S, n, x    n, X, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, n)    C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
2 simpl 455 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
3 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) ` 
0 ) )
4 csbeq1 3423 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ 0  /  n ]_ B )
54oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) )
65mpteq2dv 4526 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
73, 6eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
87imbi2d 314 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
9 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) )
10 csbeq1 3423 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ j  /  n ]_ B )
1110oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) )
1211mpteq2dv 4526 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
139, 12eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
1413imbi2d 314 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
15 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
16 csbeq1 3423 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
1716oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )
1817mpteq2dv 4526 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
1915, 18eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
2019imbi2d 314 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
21 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n ) )
22 equcomi 1798 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  n  =  k )
23 csbeq1a 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2524eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  [_ k  /  n ]_ B  =  B )
2625oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( B  /  C ) )
2726mpteq2dv 4526 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
2821, 27eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2928imbi2d 314 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) ) )
30 dvnmptdivc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 recnprss 22474 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
33 cnex 9562 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
35 dvnmptdivc.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
36 dvnmptdivc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3736adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
38 dvnmptdivc.cne0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
3938adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  =/=  0 )
4035, 37, 39divcld 10316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
41 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )
4240, 41fmptd 6031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) : X --> CC )
43 dvnmptdivc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
44 elpm2r 7429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
4534, 30, 42, 43, 44syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
46 dvn0 22493 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) )
4732, 45, 46syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) )
48 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ph )
49 dvnmptdivc.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
50 nn0uz 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 eluzfz1 11696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
54 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
55 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )
56 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n X
57 nfcsb1v 3436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ 0  /  n ]_ B
5856, 57nfmpt 4527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
5955, 58nfeq 2627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
6054, 59nfim 1925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
61 c0ex 9579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
62 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  0  e.  ( 0 ... M
) ) )
6362anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
64 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 ) )
65 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  B  =  [_ 0  /  n ]_ B )
6665mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
6764, 66eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) )
6863, 67imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) ) )
69 dvnmptdivc.dvn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
7060, 61, 68, 69vtoclf 3157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_
0  /  n ]_ B ) )
7148, 53, 70syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) )
7271fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
7372adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
74 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
75 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
7653adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
77 0re 9585 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
78 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
0
79 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
80 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n CC
8157, 80nfel 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC
8279, 81nfim 1925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
83623anbi3d 1303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
8465eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8583, 84imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
86 dvnmptdivc.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
8778, 82, 85, 86vtoclgf 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8877, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
8975, 74, 76, 88syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
90 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )
9190fvmpt2 5939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9274, 89, 91syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9373, 92eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  =  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x ) )
94 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
9535, 94fmptd 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
96 elpm2r 7429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
9734, 30, 95, 43, 96syl22anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
98 dvn0 22493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
9932, 97, 98syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
10099fveq1d 5850 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
101100adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )
10294fvmpt2 5939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
10374, 35, 102syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
10493, 101, 1033eqtrrd 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  =  [_ 0  /  n ]_ B )
105104oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  =  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) )
106105mpteq2dva 4525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
10747, 106eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
108107a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
109 simp3 996 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
110 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
j  e.  ( 0..^ M ) )
111 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ph )
112 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
113111, 112mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )
1141133adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
11532ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  S  C_  CC )
11645ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
117 elfzofz 11819 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
118 elfznn0 11775 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
119118ad2antlr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  -> 
j  e.  NN0 )
120117, 119sylanl2 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
121 dvnp1 22494 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) ) )
122115, 116, 120, 121syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
123 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
124123adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
12532adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
12645adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
127 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
128127, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129117, 128sylan2 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  NN0 )
130125, 126, 129, 121syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
131130adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
13230adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
133 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13448ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
135 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
136134, 135, 1333jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  (
0 ... M ) ) )
137 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
j
138 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
139137nfcsb1 3435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ j  /  n ]_ B
140139, 80nfel 2629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n [_ j  /  n ]_ B  e.  CC
141138, 140nfim 1925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
142 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  j  e.  ( 0 ... M
) ) )
1431423anbi3d 1303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
144 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  B  =  [_ j  /  n ]_ B )
145144eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
146143, 145imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
147137, 141, 146, 86vtoclgf 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
148133, 136, 147sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
149117, 148sylanl2 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
150 fzofzp1 11890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
151150ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
152117, 134sylanl2 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
153 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
154152, 153, 1513jca 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
155 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( j  +  1 )
156 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
157155nfcsb1 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B
158157, 80nfel 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC
159156, 158nfim 1925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
160 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )
1611603anbi3d 1303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
162 csbeq1a 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  B  =  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
163162eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) )
164161, 163imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
165155, 159, 164, 86vtoclgf 3162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
)
166151, 154, 165sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
167 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ph )
168117adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
169 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
170 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )
17156, 139nfmpt 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
172170, 171nfeq 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
173169, 172nfim 1925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
174142anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
175 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
176144mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
177175, 176eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) )
178174, 177imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) ) )
179173, 178, 69chvar 2018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B
) )
180167, 168, 179syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
181180eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
182181oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
183167, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
184 dvnp1 22494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
185125, 183, 129, 184syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) ) )
186185eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
187150adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
188167, 187jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
189 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
190 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )
19156, 157nfmpt 4527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
192190, 191nfeq 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
193189, 192nfim 1925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
194160anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
195 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
196162mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B
) )
197195, 196eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
198194, 197imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) ) )
199155, 193, 198, 69vtoclgf 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
200187, 188, 199sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
201182, 186, 2003eqtrd 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
20236adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  e.  CC )
20338adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  =/=  0
)
204132, 149, 166, 201, 202, 203dvmptdivc 22534 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
205204adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
206131, 124, 2053eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
207206eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
208207, 122, 1243eqtrrd 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
209122, 124, 2083eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
210109, 110, 114, 209syl21anc 1225 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
2112103exp 1193 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) ) ) )
2128, 14, 20, 29, 108, 211fzind2 11905 . 2  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2131, 2, 212sylc 60 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106   [_csb 3420    C_ wss 3461   {cpr 4018    |-> cmpt 4497   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^pm cpm 7413   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799    _D cdv 22433    Dncdvn 22434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-dvn 22438
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator