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Theorem dvnmptdivc 37823
Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptdivc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnmptdivc.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvnmptdivc.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvnmptdivc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
dvnmptdivc.dvn  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvnmptdivc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dvnmptdivc.cne0  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
dvnmptdivc.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
dvnmptdivc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    x, C    n, M, x    S, n, x    n, X, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, n)    C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
2 simpl 459 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
3 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) ` 
0 ) )
4 csbeq1 3368 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ 0  /  n ]_ B )
54oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) )
65mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
73, 6eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
87imbi2d 318 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
9 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) )
10 csbeq1 3368 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ j  /  n ]_ B )
1110oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) )
1211mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
139, 12eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
1413imbi2d 318 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
15 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
16 csbeq1 3368 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
1716oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )
1817mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
1915, 18eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
2019imbi2d 318 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
21 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n ) )
22 equcomi 1863 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  n  =  k )
23 csbeq1a 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2524eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  [_ k  /  n ]_ B  =  B )
2625oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( B  /  C ) )
2726mpteq2dv 4493 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
2821, 27eqeq12d 2468 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2928imbi2d 318 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) ) )
30 dvnmptdivc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 recnprss 22871 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
33 cnex 9625 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
35 dvnmptdivc.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
36 dvnmptdivc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3736adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
38 dvnmptdivc.cne0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
3938adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  =/=  0 )
4035, 37, 39divcld 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
41 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )
4240, 41fmptd 6051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) : X --> CC )
43 dvnmptdivc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
44 elpm2r 7494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
4534, 30, 42, 43, 44syl22anc 1270 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
46 dvn0 22890 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) )
4732, 45, 46syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) )
48 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ph )
49 dvnmptdivc.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
50 nn0uz 11200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 eluzfz1 11813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
54 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
55 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )
56 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n X
57 nfcsb1v 3381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ 0  /  n ]_ B
5856, 57nfmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
5955, 58nfeq 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
6054, 59nfim 2005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
61 c0ex 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
62 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  0  e.  ( 0 ... M
) ) )
6362anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
64 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 ) )
65 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  B  =  [_ 0  /  n ]_ B )
6665mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
6764, 66eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) )
6863, 67imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) ) )
69 dvnmptdivc.dvn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
7060, 61, 68, 69vtoclf 3101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_
0  /  n ]_ B ) )
7148, 53, 70syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) )
7271fveq1d 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
7372adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
74 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
75 simpl 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
7653adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
77 0re 9648 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
78 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
0
79 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
80 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n CC
8157, 80nfel 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC
8279, 81nfim 2005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
83623anbi3d 1347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
8465eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8583, 84imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
86 dvnmptdivc.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
8778, 82, 85, 86vtoclgf 3107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8877, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
8975, 74, 76, 88syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
90 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )
9190fvmpt2 5962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9274, 89, 91syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9373, 92eqtr2d 2488 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  =  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x ) )
94 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
9535, 94fmptd 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
96 elpm2r 7494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
9734, 30, 95, 43, 96syl22anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
98 dvn0 22890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
9932, 97, 98syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
10099fveq1d 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
101100adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )
10294fvmpt2 5962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
10374, 35, 102syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
10493, 101, 1033eqtrrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  =  [_ 0  /  n ]_ B )
105104oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  =  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) )
106105mpteq2dva 4492 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
10747, 106eqtrd 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
108107a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
109 simp3 1011 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
110 simp1 1009 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
j  e.  ( 0..^ M ) )
111 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ph )
112 simpl 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
113111, 112mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )
1141133adant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
11532ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  S  C_  CC )
11645ad2antrr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
117 elfzofz 11942 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
118 elfznn0 11894 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
119118ad2antlr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  -> 
j  e.  NN0 )
120117, 119sylanl2 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
121 dvnp1 22891 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) ) )
122115, 116, 120, 121syl3anc 1269 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
123 oveq2 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
124123adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
12532adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
12645adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
127 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
128127, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129117, 128sylan2 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  NN0 )
130125, 126, 129, 121syl3anc 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
131130adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
13230adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
133 simplr 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13448ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
135 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
136134, 135, 1333jca 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  (
0 ... M ) ) )
137 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
j
138 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
139137nfcsb1 3380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ j  /  n ]_ B
140139, 80nfel 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n [_ j  /  n ]_ B  e.  CC
141138, 140nfim 2005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
142 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  j  e.  ( 0 ... M
) ) )
1431423anbi3d 1347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
144 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  B  =  [_ j  /  n ]_ B )
145144eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
146143, 145imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
147137, 141, 146, 86vtoclgf 3107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
148133, 136, 147sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
149117, 148sylanl2 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
150 fzofzp1 12015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
151150ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
152117, 134sylanl2 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
153 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
154152, 153, 1513jca 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
155 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( j  +  1 )
156 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
157155nfcsb1 3380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B
158157, 80nfel 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC
159156, 158nfim 2005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
160 eleq1 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )
1611603anbi3d 1347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
162 csbeq1a 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  B  =  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
163162eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) )
164161, 163imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
165155, 159, 164, 86vtoclgf 3107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
)
166151, 154, 165sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
167 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ph )
168117adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
169 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
170 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )
17156, 139nfmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
172170, 171nfeq 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
173169, 172nfim 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
174142anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
175 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
176144mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
177175, 176eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) )
178174, 177imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) ) )
179173, 178, 69chvar 2108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B
) )
180167, 168, 179syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
181180eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
182181oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
183167, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
184 dvnp1 22891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
185125, 183, 129, 184syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) ) )
186185eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
187150adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
188167, 187jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
189 nfv 1763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
190 nfcv 2594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )
19156, 157nfmpt 4494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
192190, 191nfeq 2605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
193189, 192nfim 2005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
194160anbi2d 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
195 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
196162mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B
) )
197195, 196eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
198194, 197imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) ) )
199155, 193, 198, 69vtoclgf 3107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
200187, 188, 199sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
201182, 186, 2003eqtrd 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
20236adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  e.  CC )
20338adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  =/=  0
)
204132, 149, 166, 201, 202, 203dvmptdivc 22931 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
205204adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
206131, 124, 2053eqtrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
207206eqcomd 2459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
208207, 122, 1243eqtrrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
209122, 124, 2083eqtrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
210109, 110, 114, 209syl21anc 1268 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
2112103exp 1208 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) ) ) )
2128, 14, 20, 29, 108, 211fzind2 12030 . 2  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2131, 2, 212sylc 62 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047   [_csb 3365    C_ wss 3406   {cpr 3972    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7478   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    / cdiv 10276   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922    _D cdv 22830    Dncdvn 22831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349  df-cncf 21922  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835
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