Theorem dvnmptdivc 37677

Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmptdivc.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvnmptdivc.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvnmptdivc.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvnmptdivc.b	|- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
dvnmptdivc.dvn	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
dvnmptdivc.c	|- ( ph -> C e. CC )
dvnmptdivc.cne0	|- ( ph -> C =/= 0 )
dvnmptdivc.8	|- ( ph -> M e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvnmptdivc	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   x, C   n, M, x   S, n, x   n, X, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, n)   C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> n e. ( 0 ... M ) )
2		simpl 459	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
3		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) )
4		csbeq1 3399	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> [_ k / n ]_ B = [_ 0 / n ]_ B )
5	4	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
6	5	mpteq2dv 4509	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
7	3, 6	eqeq12d 2445	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
8	7	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) ) )
9		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) )
10		csbeq1 3399	. . . . . . 7 |- ( k = j -> [_ k / n ]_ B = [_ j / n ]_ B )
11	10	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ j / n ]_ B / C ) )
12	11	mpteq2dv 4509	. . . . 5 |- ( k = j -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
13	9, 12	eqeq12d 2445	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
14	13	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) ) )
15		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
16		csbeq1 3399	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> [_ k / n ]_ B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
17	16	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) )
18	17	mpteq2dv 4509	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2445	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) )
20	19	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
21		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) )
22		equcomi 1844	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> n = k )
23		csbeq1a 3405	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ k / n ]_ B )
25	24	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( k = n -> [_ k / n ]_ B = B )
26	25	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( B / C ) )
27	26	mpteq2dv 4509	. . . . 5 |- ( k = n -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )
28	21, 27	eqeq12d 2445	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
29	28	imbi2d 318	. . 3 |- ( k = n -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) ) )
30		dvnmptdivc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
31		recnprss 22851	. . . . . . 7 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
33		cnex 9622	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
35		dvnmptdivc.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
36		dvnmptdivc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
37	36	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
38		dvnmptdivc.cne0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= 0 )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C =/= 0 )
40	35, 37, 39	divcld 10385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) e. CC )
41		eqid 2423	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( A / C ) )
42	40, 41	fmptd 6059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC )
43		dvnmptdivc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
44		elpm2r 7495	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
45	34, 30, 42, 43, 44	syl22anc 1266	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
46		dvn0 22870	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
47	32, 45, 46	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
48		id 23	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ph )
49		dvnmptdivc.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
50		nn0uz 11195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	49, 50	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		eluzfz1 11808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
54		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
55		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 )
56		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n X
57		nfcsb1v 3412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ 0 / n ]_ B
58	56, 57	nfmpt 4510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
59	55, 58	nfeq 2596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
60	54, 59	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
61		c0ex 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. _V
62		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> 0 e. ( 0 ... M ) ) )
63	62	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
64		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) )
65		csbeq1a 3405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> B = [_ 0 / n ]_ B )
66	65	mpteq2dv 4509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
67	64, 66	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) )
68	63, 67	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) ) )
69		dvnmptdivc.dvn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
70	60, 61, 68, 69	vtoclf 3133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
71	48, 53, 70	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
72	71	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
73	72	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
74		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
75		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
76	53	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
77		0re 9645	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
78		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n 0
79		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
80		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n CC
81	57, 80	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ 0 / n ]_ B e. CC
82	79, 81	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
83	62	3anbi3d 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
84	65	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( B e. CC <-> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
85	83, 84	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) ) )
86		dvnmptdivc.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
87	78, 82, 85, 86	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
88	77, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
89	75, 74, 76, 88	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
90		eqid 2423	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
91	90	fvmpt2 5971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ [_ 0 / n ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
92	74, 89, 91	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
93	73, 92	eqtr2d 2465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B = ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) )
94		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
95	35, 94	fmptd 6059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
96		elpm2r 7495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
97	34, 30, 95, 43, 96	syl22anc 1266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
98		dvn0 22870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
99	32, 97, 98	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
100	99	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
101	100	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
102	94	fvmpt2 5971	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
103	74, 35, 102	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
104	93, 101, 103	3eqtrrd 2469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A = [_ 0 / n ]_ B )
105	104	oveq1d 6318	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
106	105	mpteq2dva 4508	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
107	47, 106	eqtrd 2464	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
108	107	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
109		simp3 1008	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
110		simp1 1006	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> j e. ( 0..^ M ) )
111		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
112		simpl 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
113	111, 112	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
114	113	3adant1 1024	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
115	32	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> S C_ CC )
116	45	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
117		elfzofz 11937	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
118		elfznn0 11889	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
119	118	ad2antlr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
120	117, 119	sylanl2 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
121		dvnp1 22871	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
123		oveq2 6311	. . . . . . 7 |- ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
124	123	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
125	32	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S C_ CC )
126	45	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
127		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
128	127, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
129	117, 128	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. NN0 )
130	125, 126, 129, 121	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
131	130	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
132	30	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S e. { RR , CC } )
133		simplr 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> j e. ( 0 ... M ) )
134	48	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
135		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
136	134, 135, 133	3jca 1186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) )
137		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n j
138		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) )
139	137	nfcsb1 3411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ j / n ]_ B
140	139, 80	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n [_ j / n ]_ B e. CC
141	138, 140	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
142		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( 0 ... M ) ) )
143	142	3anbi3d 1342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
144		csbeq1a 3405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> B = [_ j / n ]_ B )
145	144	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( B e. CC <-> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
146	143, 145	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) ) )
147	137, 141, 146, 86	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
148	133, 136, 147	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
149	117, 148	sylanl2 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
150		fzofzp1 12009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
151	150	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
152	117, 134	sylanl2 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
153		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
154	152, 153, 151	3jca 1186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
155		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( j + 1 )
156		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
157	155	nfcsb1 3411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B
158	157, 80	nfel 2598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC
159	156, 158	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
160		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
161	160	3anbi3d 1342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
162		csbeq1a 3405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
163	162	eleq1d 2492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( B e. CC <-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
164	161, 163	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) ) )
165	155, 159, 164, 86	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
166	151, 154, 165	sylc 63	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
167		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ph )
168	117	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
169		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) )
170		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j )
171	56, 139	nfmpt 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
172	170, 171	nfeq 2596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
173	169, 172	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
174	142	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
175		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
176	144	mpteq2dv 4509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
177	175, 176	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) )
178	174, 177	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) ) )
179	173, 178, 69	chvar 2068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
180	167, 168, 179	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
181	180	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
182	181	oveq2d 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
183	167, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
184		dvnp1 22871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
185	125, 183, 129, 184	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
186	185	eqcomd 2431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
187	150	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
188	167, 187	jca 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
189		nfv 1752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
190		nfcv 2585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) )
191	56, 157	nfmpt 4510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
192	190, 191	nfeq 2596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
193	189, 192	nfim 1977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
194	160	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
195		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
196	162	mpteq2dv 4509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
197	195, 196	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
198	194, 197	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) ) )
199	155, 193, 198, 69	vtoclgf 3138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
200	187, 188, 199	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
201	182, 186, 200	3eqtrd 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
202	36	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C e. CC )
203	38	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C =/= 0 )
204	132, 149, 166, 201, 202, 203	dvmptdivc 22911	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
205	204	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
206	131, 124, 205	3eqtrd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
207	206	eqcomd 2431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
208	207, 122, 124	3eqtrrd 2469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
209	122, 124, 208	3eqtrd 2468	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
210	109, 110, 114, 209	syl21anc 1264	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
211	210	3exp 1205	. . 3 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
212	8, 14, 20, 29, 108, 211	fzind2 12024	. 2 |- ( n e. ( 0 ... M ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
213	1, 2, 212	sylc 63	1 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   _Vcvv 3082   [_csb 3396   C_ wss 3437   {cpr 3999   |-> cmpt 4480   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ^pm cpm 7479   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   / cdiv 10271   NN0cn0 10871   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917   _D cdv 22810   Dncdvn 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-limc 22813  df-dv 22814  df-dvn 22815

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