Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvnmptdivc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvnmptdivc 37910
Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvnmptdivc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
dvnmptdivc.x  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
dvnmptdivc.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
dvnmptdivc.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
dvnmptdivc.dvn  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
dvnmptdivc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
dvnmptdivc.cne0  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
dvnmptdivc.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
dvnmptdivc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    x, C    n, M, x    S, n, x    n, X, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x, n)    C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  n  e.  ( 0 ... M
) )
2 simpl 464 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ph )
3 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) ` 
0 ) )
4 csbeq1 3352 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ 0  /  n ]_ B )
54oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( k  =  0  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) )
65mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
73, 6eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
87imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_
0  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
9 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) )
10 csbeq1 3352 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ j  /  n ]_ B )
1110oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) )
1211mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
139, 12eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
1413imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
15 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
16 csbeq1 3352 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  [_ k  /  n ]_ B  = 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
1716oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )
1817mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
1915, 18eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
2019imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) ) ) )
21 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  k )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n ) )
22 equcomi 1869 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  n  =  k )
23 csbeq1a 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
2524eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  [_ k  /  n ]_ B  =  B )
2625oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
)  =  ( B  /  C ) )
2726mpteq2dv 4483 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  (
x  e.  X  |->  (
[_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
2821, 27eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 k )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C
) )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2928imbi2d 323 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  k
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ k  /  n ]_ B  /  C ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) ) )
30 dvnmptdivc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 recnprss 22938 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
33 cnex 9638 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
35 dvnmptdivc.a . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  CC )
36 dvnmptdivc.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3736adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  CC )
38 dvnmptdivc.cne0 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
3938adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  =/=  0 )
4035, 37, 39divcld 10405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
41 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )
4240, 41fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) : X --> CC )
43 dvnmptdivc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  S )
44 elpm2r 7507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
4534, 30, 42, 43, 44syl22anc 1293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
46 dvn0 22957 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) )
4732, 45, 46syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) )
48 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ph )
49 dvnmptdivc.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
50 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
5149, 50syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0 ... M ) )
54 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
55 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )
56 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n X
57 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ 0  /  n ]_ B
5856, 57nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
5955, 58nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B )
6054, 59nfim 2023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
61 c0ex 9655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
62 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  0  e.  ( 0 ... M
) ) )
6362anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
64 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 ) )
65 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  0  ->  B  =  [_ 0  /  n ]_ B )
6665mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) )
6764, 66eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) )
6863, 67imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) ) ) )
69 dvnmptdivc.dvn . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )
7060, 61, 68, 69vtoclf 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) ` 
0 )  =  ( x  e.  X  |->  [_
0  /  n ]_ B ) )
7148, 53, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) )
7271fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
7372adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
) )
74 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
75 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ph )
7653adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  0  e.  ( 0 ... M
) )
77 0re 9661 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
78 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
0
79 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )
80 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n CC
8157, 80nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC
8279, 81nfim 2023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
83623anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
8465eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  0  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8583, 84imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
86 dvnmptdivc.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC )
8778, 82, 85, 86vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC ) )
8877, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  0  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
8975, 74, 76, 88syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )
90 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B )
9190fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X  /\  [_ 0  /  n ]_ B  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  [_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9274, 89, 91syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |-> 
[_ 0  /  n ]_ B ) `  x
)  =  [_ 0  /  n ]_ B )
9373, 92eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  [_ 0  /  n ]_ B  =  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x ) )
94 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
9535, 94fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC )
96 elpm2r 7507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> CC  /\  X  C_  S ) )  -> 
( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
9734, 30, 95, 43, 96syl22anc 1293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
98 dvn0 22957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
9932, 97, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
10099fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  0 ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) )
101100adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 0 ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )
10294fvmpt2 5972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
10374, 35, 102syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
10493, 101, 1033eqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  =  [_ 0  /  n ]_ B )
105104oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  /  C )  =  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) )
106105mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
10747, 106eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) )
108107a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 0 )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ 0  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
109 simp3 1032 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  ->  ph )
110 simp1 1030 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
j  e.  ( 0..^ M ) )
111 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ph )
112 simpl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
113111, 112mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  /\  ph )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )
1141133adant1 1048 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )
11532ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  S  C_  CC )
11645ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
117 elfzofz 11962 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
118 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
119118ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  -> 
j  e.  NN0 )
120117, 119sylanl2 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  j  e.  NN0 )
121 dvnp1 22958 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j ) ) )
122115, 116, 120, 121syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
123 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ j  /  n ]_ B  /  C
) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) ) )
124123adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) )  =  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) ) )
12532adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  C_  CC )
12645adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
127 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
128127, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
129117, 128sylan2 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  NN0 )
130125, 126, 129, 121syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
131130adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 j ) ) )
13230adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
133 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  j  e.  ( 0 ... M
) )
13448ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
135 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
136134, 135, 1333jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  (
0 ... M ) ) )
137 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
j
138 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
139137nfcsb1 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ j  /  n ]_ B
140139, 80nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n [_ j  /  n ]_ B  e.  CC
141138, 140nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
142 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  j  e.  ( 0 ... M
) ) )
1431423anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
144 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  B  =  [_ j  /  n ]_ B )
145144eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
146143, 145imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
147137, 141, 146, 86vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC ) )
148133, 136, 147sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
149117, 148sylanl2 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ j  /  n ]_ B  e.  CC )
150 fzofzp1 12037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) )
151150ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
152117, 134sylanl2 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ph )
153 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
154152, 153, 1513jca 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
155 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( j  +  1 )
156 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
157155nfcsb1 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B
158157, 80nfel 2624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC
159156, 158nfim 2023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
160 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
n  e.  ( 0 ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M
) ) )
1611603anbi3d 1371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
162 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  B  =  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
163162eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) )
164161, 163imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  X  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  x  e.  X  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC ) ) )
165155, 159, 164, 86vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  x  e.  X  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
)
166151, 154, 165sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  x  e.  X )  ->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  e.  CC )
167 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ph )
168117adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  j  e.  ( 0 ... M ) )
169 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )
170 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )
17156, 139nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
172170, 171nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B )
173169, 172nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
174142anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
175 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
176144mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
177175, 176eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) )
178174, 177imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) ) ) )
179173, 178, 69chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B
) )
180167, 168, 179syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B ) )
181180eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  [_ j  /  n ]_ B )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) )
182181oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
183167, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC  ^pm  S
) )
184 dvnp1 22958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
x  e.  X  |->  A )  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  j ) ) )
185125, 183, 129, 184syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) ) )
186185eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 j ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
187150adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
188167, 187jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) )
189 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )
190 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )
19156, 157nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
192190, 191nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ n
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B )
193189, 192nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
194160anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) ) ) )
195 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
196162mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B
) )
197195, 196eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 n )  =  ( x  e.  X  |->  B )  <->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
198194, 197imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  n  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  B ) )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) ) )
199155, 193, 198, 69vtoclgf 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( 0 ... M ) )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) ) )
200187, 188, 199sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  A ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
201182, 186, 2003eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |-> 
[_ j  /  n ]_ B ) )  =  ( x  e.  X  |-> 
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B ) )
20236adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  e.  CC )
20338adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  C  =/=  0
)
204132, 149, 166, 201, 202, 203dvmptdivc 22998 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
205204adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
206131, 124, 2053eqtrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
207206eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) )  =  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
208207, 122, 1243eqtrrd 2510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( S  _D  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C
) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
209122, 124, 2083eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 0..^ M ) )  /\  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j
)  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ (
j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C ) ) )
210109, 110, 114, 209syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  /\  ph )  -> 
( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) )
2112103exp 1230 . . 3  |-  ( j  e.  ( 0..^ M )  ->  ( ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  j )  =  ( x  e.  X  |->  ( [_ j  /  n ]_ B  /  C ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( x  e.  X  |->  (
[_ ( j  +  1 )  /  n ]_ B  /  C
) ) ) ) )
2128, 14, 20, 29, 108, 211fzind2 12054 . 2  |-  ( n  e.  ( 0 ... M )  ->  ( ph  ->  ( ( S  Dn ( x  e.  X  |->  ( A  /  C ) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) ) )
2131, 2, 212sylc 61 1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( S  Dn
( x  e.  X  |->  ( A  /  C
) ) ) `  n )  =  ( x  e.  X  |->  ( B  /  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   {cpr 3961    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942    _D cdv 22897    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator