Theorem dvnmptdivc 37910

Description: Function-builder for iterated derivative, division rule for constant divisor. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmptdivc.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvnmptdivc.x	|- ( ph -> X C_ S )
dvnmptdivc.a	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvnmptdivc.b	|- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
dvnmptdivc.dvn	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
dvnmptdivc.c	|- ( ph -> C e. CC )
dvnmptdivc.cne0	|- ( ph -> C =/= 0 )
dvnmptdivc.8	|- ( ph -> M e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
dvnmptdivc	|- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   x, C   n, M, x   S, n, x   n, X, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, n)   C( n)

Proof of Theorem dvnmptdivc

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> n e. ( 0 ... M ) )
2		simpl 464	. 2 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ph )
3		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) )
4		csbeq1 3352	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> [_ k / n ]_ B = [_ 0 / n ]_ B )
5	4	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
6	5	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
7	3, 6	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
8	7	imbi2d 323	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) ) )
9		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) )
10		csbeq1 3352	. . . . . . 7 |- ( k = j -> [_ k / n ]_ B = [_ j / n ]_ B )
11	10	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ j / n ]_ B / C ) )
12	11	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( k = j -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
13	9, 12	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
14	13	imbi2d 323	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) ) )
15		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
16		csbeq1 3352	. . . . . . 7 |- ( k = ( j + 1 ) -> [_ k / n ]_ B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
17	16	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) )
18	17	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
19	15, 18	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) )
20	19	imbi2d 323	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
21		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( k = n -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) )
22		equcomi 1869	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> n = k )
23		csbeq1a 3358	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> B = [_ k / n ]_ B )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> B = [_ k / n ]_ B )
25	24	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( k = n -> [_ k / n ]_ B = B )
26	25	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( k = n -> ( [_ k / n ]_ B / C ) = ( B / C ) )
27	26	mpteq2dv 4483	. . . . 5 |- ( k = n -> ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )
28	21, 27	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
29	28	imbi2d 323	. . 3 |- ( k = n -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` k ) = ( x e. X |-> ( [_ k / n ]_ B / C ) ) ) <-> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) ) )
30		dvnmptdivc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
31		recnprss 22938	. . . . . . 7 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
33		cnex 9638	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
35		dvnmptdivc.a	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. CC )
36		dvnmptdivc.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
37	36	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. CC )
38		dvnmptdivc.cne0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C =/= 0 )
39	38	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C =/= 0 )
40	35, 37, 39	divcld 10405	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) e. CC )
41		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( A / C ) )
42	40, 41	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC )
43		dvnmptdivc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
44		elpm2r 7507	. . . . . . 7 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> ( A / C ) ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
45	34, 30, 42, 43, 44	syl22anc 1293	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
46		dvn0 22957	. . . . . 6 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
47	32, 45, 46	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( A / C ) ) )
48		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ph )
49		dvnmptdivc.8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
50		nn0uz 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	49, 50	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		eluzfz1 11832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ( 0 ... M ) )
54		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
55		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 )
56		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n X
57		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ 0 / n ]_ B
58	56, 57	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
59	55, 58	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
60	54, 59	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
61		c0ex 9655	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. _V
62		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> 0 e. ( 0 ... M ) ) )
63	62	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
64		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) )
65		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = 0 -> B = [_ 0 / n ]_ B )
66	65	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 0 -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
67	64, 66	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) )
68	63, 67	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ) ) )
69		dvnmptdivc.dvn	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) )
70	60, 61, 68, 69	vtoclf 3085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
71	48, 53, 70	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) )
72	71	fveq1d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) )
74		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
75		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
76	53	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> 0 e. ( 0 ... M ) )
77		0re 9661	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
78		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n 0
79		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) )
80		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n CC
81	57, 80	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ 0 / n ]_ B e. CC
82	79, 81	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
83	62	3anbi3d 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) ) )
84	65	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 0 -> ( B e. CC <-> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
85	83, 84	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 0 -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) ) )
86		dvnmptdivc.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC )
87	78, 82, 85, 86	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. RR -> ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC ) )
88	77, 87	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X /\ 0 e. ( 0 ... M ) ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
89	75, 74, 76, 88	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B e. CC )
90		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) = ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B )
91	90	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X /\ [_ 0 / n ]_ B e. CC ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
92	74, 89, 91	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> [_ 0 / n ]_ B ) ` x ) = [_ 0 / n ]_ B )
93	73, 92	eqtr2d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ 0 / n ]_ B = ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) )
94		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
95	35, 94	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> CC )
96		elpm2r 7507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( ( x e. X |-> A ) : X --> CC /\ X C_ S ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
97	34, 30, 95, 43, 96	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
98		dvn0 22957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
99	32, 97, 98	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> A ) )
100	99	fveq1d 5881	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
101	100	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` 0 ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` x ) )
102	94	fvmpt2 5972	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. CC ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
103	74, 35, 102	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
104	93, 101, 103	3eqtrrd 2510	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A = [_ 0 / n ]_ B )
105	104	oveq1d 6323	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A / C ) = ( [_ 0 / n ]_ B / C ) )
106	105	mpteq2dva 4482	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
107	47, 106	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) )
108	107	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` 0 ) = ( x e. X |-> ( [_ 0 / n ]_ B / C ) ) ) )
109		simp3 1032	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
110		simp1 1030	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> j e. ( 0..^ M ) )
111		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ph )
112		simpl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
113	111, 112	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
114	113	3adant1 1048	. . . . 5 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) )
115	32	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> S C_ CC )
116	45	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
117		elfzofz 11962	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> j e. ( 0 ... M ) )
118		elfznn0 11913	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
119	118	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
120	117, 119	sylanl2 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> j e. NN0 )
121		dvnp1 22958	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
122	115, 116, 120, 121	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
123		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
124	123	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) )
125	32	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S C_ CC )
126	45	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> ( A / C ) ) e. ( CC ^pm S ) )
127		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
128	127, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
129	117, 128	sylan2 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. NN0 )
130	125, 126, 129, 121	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
131	130	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) ) )
132	30	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> S e. { RR , CC } )
133		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> j e. ( 0 ... M ) )
134	48	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
135		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
136	134, 135, 133	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) )
137		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n j
138		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) )
139	137	nfcsb1 3364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n [_ j / n ]_ B
140	139, 80	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n [_ j / n ]_ B e. CC
141	138, 140	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
142		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> j e. ( 0 ... M ) ) )
143	142	3anbi3d 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
144		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> B = [_ j / n ]_ B )
145	144	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> ( B e. CC <-> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
146	143, 145	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) ) )
147	137, 141, 146, 86	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> [_ j / n ]_ B e. CC ) )
148	133, 136, 147	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
149	117, 148	sylanl2 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ j / n ]_ B e. CC )
150		fzofzp1 12037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
151	150	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
152	117, 134	sylanl2 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ph )
153		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
154	152, 153, 151	3jca 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
155		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( j + 1 )
156		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
157	155	nfcsb1 3364	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B
158	157, 80	nfel 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC
159	156, 158	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
160		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( n e. ( 0 ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
161	160	3anbi3d 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
162		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> B = [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
163	162	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( B e. CC <-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
164	161, 163	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ x e. X /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) ) )
165	155, 159, 164, 86	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ x e. X /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC ) )
166	151, 154, 165	sylc 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ x e. X ) -> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B e. CC )
167		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ph )
168	117	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> j e. ( 0 ... M ) )
169		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) )
170		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j )
171	56, 139	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
172	170, 171	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B )
173	169, 172	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
174	142	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) ) )
175		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
176	144	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
177	175, 176	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) )
178	174, 177	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) ) )
179	173, 178, 69	chvar 2119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
180	167, 168, 179	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) = ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) )
181	180	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) )
182	181	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
183	167, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) )
184		dvnp1 22958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ ( x e. X |-> A ) e. ( CC ^pm S ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
185	125, 183, 129, 184	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) )
186	185	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` j ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
187	150	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
188	167, 187	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
189		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
190		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) )
191	56, 157	nfmpt 4484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
192	190, 191	nfeq 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B )
193	189, 192	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
194	160	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) ) )
195		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) )
196	162	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
197	195, 196	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
198	194, 197	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` n ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) ) )
199	155, 193, 198, 69	vtoclgf 3091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) ) )
200	187, 188, 199	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> A ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
201	182, 186, 200	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / n ]_ B ) ) = ( x e. X |-> [_ ( j + 1 ) / n ]_ B ) )
202	36	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C e. CC )
203	38	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> C =/= 0 )
204	132, 149, 166, 201, 202, 203	dvmptdivc 22998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
205	204	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
206	131, 124, 205	3eqtrd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
207	206	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) = ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
208	207, 122, 124	3eqtrrd 2510	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
209	122, 124, 208	3eqtrd 2509	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ M ) ) /\ ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
210	109, 110, 114, 209	syl21anc 1291	. . . 4 |- ( ( j e. ( 0..^ M ) /\ ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) /\ ph ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) )
211	210	3exp 1230	. . 3 |- ( j e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` j ) = ( x e. X |-> ( [_ j / n ]_ B / C ) ) ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( x e. X |-> ( [_ ( j + 1 ) / n ]_ B / C ) ) ) ) )
212	8, 14, 20, 29, 108, 211	fzind2 12054	. 2 |- ( n e. ( 0 ... M ) -> ( ph -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) ) )
213	1, 2, 212	sylc 61	1 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( S Dn ( x e. X |-> ( A / C ) ) ) ` n ) = ( x e. X |-> ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   [_csb 3349   C_ wss 3390   {cpr 3961   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^pm cpm 7491   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   _D cdv 22897   Dncdvn 22898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-dvn 22902

This theorem is referenced by: (None)