MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvnf Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvnf 22893
Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnf  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC )

Proof of Theorem dvnf
StepHypRef Expression
1 dvnff 22889 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  Dn F ) : NN0 --> ( CC 
^pm  dom  F ) )
21ffvelrnda 6027 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( S  Dn F ) `  N )  e.  ( CC  ^pm  dom  F ) )
323impa 1204 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N )  e.  ( CC  ^pm  dom  F ) )
4 cnex 9625 . . . 4  |-  CC  e.  _V
5 simp1 1009 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  S  e.  { RR ,  CC }
)
6 simp2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S ) )
7 elpm2g 7493 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
84, 5, 7sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
96, 8mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
109simprd 465 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  dom  F  C_  S )
115, 10ssexd 4553 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  dom  F  e. 
_V )
12 elpm2g 7493 . . . 4  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  dom  F  e.  _V )  ->  ( ( ( S  Dn F ) `
 N )  e.  ( CC  ^pm  dom  F )  <->  ( ( ( S  Dn F ) `  N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `  N ) --> CC  /\  dom  (
( S  Dn
F ) `  N
)  C_  dom  F ) ) )
134, 11, 12sylancr 670 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( (
( S  Dn
F ) `  N
)  e.  ( CC 
^pm  dom  F )  <->  ( (
( S  Dn
F ) `  N
) : dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) --> CC  /\  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  F ) ) )
143, 13mpbid 214 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( (
( S  Dn
F ) `  N
) : dom  (
( S  Dn
F ) `  N
) --> CC  /\  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  F ) )
1514simpld 461 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 N ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   {cpr 3972   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^pm cpm 7478   CCcc 9542   RRcr 9543   NN0cn0 10876    Dncdvn 22831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835
This theorem is referenced by:  dvn2bss  22896  dvnres  22897  cpnord  22901  taylfvallem1  23324  tayl0  23329  taylply2  23335  taylply  23336  dvtaylp  23337  dvntaylp  23338  dvntaylp0  23339  taylthlem1  23340  taylthlem2  23341
  Copyright terms: Public domain W3C validator