Theorem dvnf 21529

Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnf	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Proof of Theorem dvnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnff 21525	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S Dn F ) : NN0 --> ( CC ^pm dom F ) )
2	1	ffvelrnda 5947	. . . 4 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
3	2	3impa 1183	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
4		cnex 9469	. . . 4 |- CC e. _V
5		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> S e. { RR , CC } )
6		simp2 989	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
7		elpm2g 7334	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
8	4, 5, 7	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
10	9	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F C_ S )
11	5, 10	ssexd 4542	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F e. _V )
12		elpm2g 7334	. . . 4 |- ( ( CC e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
13	4, 11, 12	sylancr 663	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
14	3, 13	mpbid 210	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) )
15	14	simpld 459	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   _Vcvv 3072   C_ wss 3431   {cpr 3982   dom cdm 4943   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   ^pm cpm 7320   CCcc 9386   RRcr 9387   NN0cn0 10685   Dncdvn 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fi 7767  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-fz 11550  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-rest 14475  df-topn 14476  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-limc 21469  df-dv 21470  df-dvn 21471

This theorem is referenced by:  dvn2bss  21532  dvnres  21533  cpnord  21537  taylfvallem1  21950  tayl0  21955  taylply2  21961  taylply  21962  dvtaylp  21963  dvntaylp  21964  dvntaylp0  21965  taylthlem1  21966  taylthlem2  21967