Theorem dvnf 22893

Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnf	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Proof of Theorem dvnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnff 22889	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S Dn F ) : NN0 --> ( CC ^pm dom F ) )
2	1	ffvelrnda 6027	. . . 4 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
3	2	3impa 1204	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
4		cnex 9625	. . . 4 |- CC e. _V
5		simp1 1009	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> S e. { RR , CC } )
6		simp2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
7		elpm2g 7493	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
8	4, 5, 7	sylancr 670	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
9	6, 8	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
10	9	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F C_ S )
11	5, 10	ssexd 4553	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F e. _V )
12		elpm2g 7493	. . . 4 |- ( ( CC e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
13	4, 11, 12	sylancr 670	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
14	3, 13	mpbid 214	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) )
15	14	simpld 461	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   e. wcel 1889   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   {cpr 3972   dom cdm 4837   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^pm cpm 7478   CCcc 9542   RRcr 9543   NN0cn0 10876   Dncdvn 22831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-icc 11649  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-rest 15333  df-topn 15334  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-fbas 18979  df-fg 18980  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-nei 20126  df-lp 20164  df-perf 20165  df-cnp 20256  df-haus 20343  df-fil 20873  df-fm 20965  df-flim 20966  df-flf 20967  df-xms 21347  df-ms 21348  df-limc 22833  df-dv 22834  df-dvn 22835

This theorem is referenced by:  dvn2bss  22896  dvnres  22897  cpnord  22901  taylfvallem1  23324  tayl0  23329  taylply2  23335  taylply  23336  dvtaylp  23337  dvntaylp  23338  dvntaylp0  23339  taylthlem1  23340  taylthlem2  23341