Theorem dvnf 22065

Description: The N-times derivative is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnf	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Proof of Theorem dvnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnff 22061	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S Dn F ) : NN0 --> ( CC ^pm dom F ) )
2	1	ffvelrnda 6019	. . . 4 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
3	2	3impa 1191	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
4		cnex 9569	. . . 4 |- CC e. _V
5		simp1 996	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> S e. { RR , CC } )
6		simp2 997	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
7		elpm2g 7432	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
8	4, 5, 7	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
10	9	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F C_ S )
11	5, 10	ssexd 4594	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F e. _V )
12		elpm2g 7432	. . . 4 |- ( ( CC e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
13	4, 11, 12	sylancr 663	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
14	3, 13	mpbid 210	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) )
15	14	simpld 459	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {cpr 4029   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^pm cpm 7418   CCcc 9486   RRcr 9487   NN0cn0 10791   Dncdvn 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-rest 14674  df-topn 14675  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-limc 22005  df-dv 22006  df-dvn 22007

This theorem is referenced by:  dvn2bss  22068  dvnres  22069  cpnord  22073  taylfvallem1  22486  tayl0  22491  taylply2  22497  taylply  22498  dvtaylp  22499  dvntaylp  22500  dvntaylp0  22501  taylthlem1  22502  taylthlem2  22503