Theorem dvnbss 22882

Description: The set of N-times differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnbss	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F )

Proof of Theorem dvnbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnff 22877	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S Dn F ) : NN0 --> ( CC ^pm dom F ) )
2	1	ffvelrnda 6022	. . . 4 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
3	2	3impa 1203	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
4		cnex 9620	. . . 4 |- CC e. _V
5		simp1 1008	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> S e. { RR , CC } )
6		simp2 1009	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
7		elpm2g 7488	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
8	4, 5, 7	sylancr 669	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
9	6, 8	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
10	9	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F C_ S )
11	5, 10	ssexd 4550	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F e. _V )
12		elpm2g 7488	. . . 4 |- ( ( CC e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
13	4, 11, 12	sylancr 669	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
14	3, 13	mpbid 214	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) )
15	14	simprd 465	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   {cpr 3970   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^pm cpm 7473   CCcc 9537   RRcr 9538   NN0cn0 10869   Dncdvn 22819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-limc 22821  df-dv 22822  df-dvn 22823

This theorem is referenced by:  dvn2bss  22884  dvnres  22885  cpnord  22889  dvnfre  22906  taylfvallem1  23312  taylply2  23323  taylply  23324  dvtaylp  23325  dvntaylp  23326  dvntaylp0  23327  taylthlem1  23328  taylthlem2  23329