Theorem dvnbss 21536

Description: The set of N-times differentiable points is a subset of the domain of the function. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvnbss	|- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F )

Proof of Theorem dvnbss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvnff 21531	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( S Dn F ) : NN0 --> ( CC ^pm dom F ) )
2	1	ffvelrnda 5953	. . . 4 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
3	2	3impa 1183	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) )
4		cnex 9475	. . . 4 |- CC e. _V
5		simp1 988	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> S e. { RR , CC } )
6		simp2 989	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
7		elpm2g 7340	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
8	4, 5, 7	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F e. ( CC ^pm S ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) ) )
9	6, 8	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ S ) )
10	9	simprd 463	. . . . 5 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F C_ S )
11	5, 10	ssexd 4548	. . . 4 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom F e. _V )
12		elpm2g 7340	. . . 4 |- ( ( CC e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
13	4, 11, 12	sylancr 663	. . 3 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) e. ( CC ^pm dom F ) <-> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) ) )
14	3, 13	mpbid 210	. 2 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( S Dn F ) ` N ) : dom ( ( S Dn F ) ` N ) --> CC /\ dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F ) )
15	14	simprd 463	1 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ N e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` N ) C_ dom F )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   C_ wss 3437   {cpr 3988   dom cdm 4949   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   ^pm cpm 7326   CCcc 9392   RRcr 9393   NN0cn0 10691   Dncdvn 21473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fi 7773  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-icc 11419  df-fz 11556  df-seq 11925  df-exp 11984  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-rest 14481  df-topn 14482  df-topgen 14502  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-limc 21475  df-dv 21476  df-dvn 21477

This theorem is referenced by:  dvn2bss  21538  dvnres  21539  cpnord  21543  dvnfre  21560  taylfvallem1  21956  taylply2  21967  taylply  21968  dvtaylp  21969  dvntaylp  21970  dvntaylp0  21971  taylthlem1  21972  taylthlem2  21973