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Theorem dvnadd 19768
Description: The  N-th derivative of the  M-th derivative of  F is the same as the  M  +  N-th derivative of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvnadd  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  N ) ) )

Proof of Theorem dvnadd
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M
) ) `  0
) )
2 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  ( M  +  n )  =  ( M  + 
0 ) )
32fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  0 ) ) )
41, 3eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 n )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  <->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  0 )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  + 
0 ) ) ) )
54imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n ) ) )  <->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  0
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  0 ) ) ) ) )
6 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M
) ) `  k
) )
7 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  ( M  +  n )  =  ( M  +  k ) )
87fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k ) ) )
96, 8eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 n )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  <->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) ) ) )
109imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n ) ) )  <->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  k
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k ) ) ) ) )
11 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M
) ) `  (
k  +  1 ) ) )
12 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  +  n )  =  ( M  +  ( k  +  1 ) ) )
1312fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) )
1411, 13eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 n )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  <->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n ) ) )  <->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
16 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M
) ) `  N
) )
17 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  ( M  +  n )  =  ( M  +  N ) )
1817fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  N ) ) )
1916, 18eqeq12d 2418 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 n )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n )
)  <->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  N ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  n
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  n ) ) )  <->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  N
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  N ) ) ) ) )
21 recnprss 19744 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  S  C_  CC )
2221ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  S  C_  CC )
23 ssid 3327 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2423a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  CC  C_  CC )
25 cnex 9027 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  e.  _V
26 elpm2g 6992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  -> 
( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
2725, 26mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  { RR ,  CC }  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2827simplbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  dom  F 
C_  S )
2925a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  CC  e.  _V )
30 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
31 pmss12g 6999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( CC  C_  CC  /\ 
dom  F  C_  S )  /\  ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } ) )  ->  ( CC  ^pm 
dom  F )  C_  ( CC  ^pm  S ) )
3224, 28, 29, 30, 31syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( CC  ^pm  dom  F )  C_  ( CC  ^pm  S
) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( CC  ^pm  dom  F )  C_  ( CC  ^pm 
S ) )
34 dvnff 19762 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  D n F ) : NN0 --> ( CC 
^pm  dom  F ) )
3534ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  dom  F ) )
3633, 35sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
37 dvn0 19763 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  0 )  =  ( ( S  D n F ) `
 M ) )
3822, 36, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 0 )  =  ( ( S  D n F ) `  M
) )
39 nn0cn 10187 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
4039adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
4140addid1d 9222 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  0 )  =  M )
4241fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n F ) `  ( M  +  0 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  M ) )
4338, 42eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 0 )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  0 ) ) )
44 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  k
)  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k ) )  ->  ( S  _D  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 k ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k )
) ) )
4522adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  S  C_  CC )
4636adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
47 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
48 dvnp1 19764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  CC  /\  (
( S  D n F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  k
) ) )
4945, 46, 47, 48syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k ) ) )
5040adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  M  e.  CC )
51 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  CC )
53 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  1  e.  CC )
5550, 52, 54addassd 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( M  +  k )  +  1 )  =  ( M  +  ( k  +  1 ) ) )
5655fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  (
( M  +  k )  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) )
57 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
58 nn0addcl 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  +  k )  e.  NN0 )
5958adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( M  +  k )  e.  NN0 )
60 dvnp1 19764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  ( M  +  k )  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  (
( M  +  k )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) ) ) )
6145, 57, 59, 60syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  (
( M  +  k )  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) ) ) )
6256, 61eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) ) ) )
6349, 62eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) )  <->  ( S  _D  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 k ) )  =  ( S  _D  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k )
) ) ) )
6444, 63syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 k )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  k )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6564expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) )  -> 
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( S  e. 
{ RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  k )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  k ) ) )  ->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
( S  D n
( ( S  D n F ) `  M
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
675, 10, 15, 20, 43, 66nn0ind 10322 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  N )
) ) )
6867com12 29 . 2  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `
 M ) ) `
 N )  =  ( ( S  D n F ) `  ( M  +  N )
) ) )
6968impr 603 1  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  D n ( ( S  D n F ) `  M ) ) `  N )  =  ( ( S  D n F ) `
 ( M  +  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   dom cdm 4837   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^pm cpm 6978   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   NN0cn0 10177    _D cdv 19703    D ncdvn 19704
This theorem is referenced by:  dvn2bss  19769  dvtaylp  20239  dvntaylp  20240  dvntaylp0  20241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-icc 10879  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-limc 19706  df-dv 19707  df-dvn 19708
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