MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn2bss Structured version   Unicode version

Theorem dvn2bss 22311
Description: An N-times differentiable point is an M-times differentiable point, if  M  <_  N. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvn2bss  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )

Proof of Theorem dvn2bss
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
3 elfznn0 11782 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
433ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  NN0 )
5 elfzuz3 11696 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 uznn0sub 11123 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
9 dvnadd 22310 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
101, 2, 4, 8, 9syl22anc 1230 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
114nn0cnd 10861 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  CC )
12 elfzuz2 11702 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13123ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
14 nn0uz 11126 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1513, 14syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
1615nn0cnd 10861 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
1711, 16pncan3d 9939 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
1817fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
1910, 18eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
2019dmeqd 5195 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
21 cnex 9576 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  CC  e.  _V )
23 dvnf 22308 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) --> CC )
243, 23syl3an3 1264 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  M
) : dom  (
( S  Dn
F ) `  M
) --> CC )
25 dvnbss 22309 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) 
C_  dom  F )
263, 25syl3an3 1264 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M )  C_  dom  F )
27 elpmi 7439 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
28273ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2928simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  F 
C_  S )
3026, 29sstrd 3499 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M )  C_  S
)
31 elpm2r 7438 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) --> CC 
/\  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M )  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  M )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
3222, 1, 24, 30, 31syl22anc 1230 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
33 dvnbss 22309 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  Dn
F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) ) 
C_  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) )
341, 32, 8, 33syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
3520, 34eqsstr3d 3524 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   {cpr 4016   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^pm cpm 7423   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    - cmin 9810   NN0cn0 10802   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683    Dncdvn 22246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-icc 11547  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-rest 14802  df-topn 14803  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-limc 22248  df-dv 22249  df-dvn 22250
This theorem is referenced by:  taylplem1  22736  taylply2  22741  taylply  22742  taylthlem1  22746  taylthlem2  22747
  Copyright terms: Public domain W3C validator