MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn2bss Structured version   Unicode version

Theorem dvn2bss 22623
Description: An N-times differentiable point is an M-times differentiable point, if  M  <_  N. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvn2bss  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )

Proof of Theorem dvn2bss
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  S  e.  { RR ,  CC } )
2 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
3 elfznn0 11824 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  NN0 )
433ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  NN0 )
5 elfzuz3 11737 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
653ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
7 uznn0sub 11157 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
9 dvnadd 22622 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)  ->  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 ( M  +  ( N  -  M
) ) ) )
101, 2, 4, 8, 9syl22anc 1231 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
114nn0cnd 10894 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  CC )
12 elfzuz2 11743 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13123ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
14 nn0uz 11160 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1513, 14syl6eleqr 2501 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  NN0 )
1615nn0cnd 10894 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
1711, 16pncan3d 9969 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
1817fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
1910, 18eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M
) )  =  ( ( S  Dn
F ) `  N
) )
2019dmeqd 5025 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  =  dom  ( ( S  Dn F ) `
 N ) )
21 cnex 9602 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  CC  e.  _V )
23 dvnf 22620 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) --> CC )
243, 23syl3an3 1265 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  M
) : dom  (
( S  Dn
F ) `  M
) --> CC )
25 dvnbss 22621 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) 
C_  dom  F )
263, 25syl3an3 1265 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M )  C_  dom  F )
27 elpmi 7474 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
28273ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2928simprd 461 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  F 
C_  S )
3026, 29sstrd 3451 . . . 4  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  M )  C_  S
)
31 elpm2r 7473 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  { RR ,  CC } )  /\  ( ( ( S  Dn F ) `
 M ) : dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) --> CC 
/\  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M )  C_  S ) )  -> 
( ( S  Dn F ) `  M )  e.  ( CC  ^pm  S )
)
3222, 1, 24, 30, 31syl22anc 1231 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S ) )
33 dvnbss 22621 . . 3  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  (
( S  Dn
F ) `  M
)  e.  ( CC 
^pm  S )  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `  M ) ) `  ( N  -  M ) ) 
C_  dom  ( ( S  Dn F ) `
 M ) )
341, 32, 8, 33syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn ( ( S  Dn F ) `
 M ) ) `
 ( N  -  M ) )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
3520, 34eqsstr3d 3476 1  |-  ( ( S  e.  { RR ,  CC }  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  dom  ( ( S  Dn F ) `  N )  C_  dom  ( ( S  Dn F ) `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   {cpr 3973   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^pm cpm 7457   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521    + caddc 9524    - cmin 9840   NN0cn0 10835   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724    Dncdvn 22558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-icc 11588  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-rest 15035  df-topn 15036  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-limc 22560  df-dv 22561  df-dvn 22562
This theorem is referenced by:  taylplem1  23048  taylply2  23053  taylply  23054  taylthlem1  23058  taylthlem2  23059
  Copyright terms: Public domain W3C validator