MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dvn1 22959
Description: One times iterated derivative. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
dvn1  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )

Proof of Theorem dvn1
StepHypRef Expression
1 0p1e1 10743 . . 3  |-  ( 0  +  1 )  =  1
21fveq2i 5882 . 2  |-  ( ( S  Dn F ) `  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( S  Dn F ) `
 1 )
3 0nn0 10908 . . . 4  |-  0  e.  NN0
4 dvnp1 22958 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
)  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( ( S  Dn F ) `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( S  _D  (
( S  Dn
F ) `  0
) ) )
53, 4mp3an3 1379 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
0  +  1 ) )  =  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 0 ) ) )
6 dvn0 22957 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  0
)  =  F )
76oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  ( S  _D  ( ( S  Dn F ) `
 0 ) )  =  ( S  _D  F ) )
85, 7eqtrd 2505 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  (
0  +  1 ) )  =  ( S  _D  F ) )
92, 8syl5eqr 2519 1  |-  ( ( S  C_  CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )  ->  (
( S  Dn
F ) `  1
)  =  ( S  _D  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NN0cn0 10893    _D cdv 22897    Dncdvn 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-dvn 22902
This theorem is referenced by:  dvtaylp  23404  taylthlem1  23407  dvnmptconst  37913
  Copyright terms: Public domain W3C validator